INFERENCIA ESTADÍSTICA: CONTRASTES DE HIPÓTESIS

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1 INFERENCIA ESTADÍSTICA: CONTRASTES DE HIPÓTESIS Autor: Clara Laguna 6.1 INTRODUCCIÓN En el tema anterior estudiamos cómo a partir de una muestra podemos obtener una estimación puntual o bien establecer un intervalo más o menos aproximado para encontrar los parámetros que rigen la ley de probabilidad de una variable aleatoria definida sobre la población. En la práctica nos encontramos con situaciones en las que existe una idea preconcebida sobre una característica de la población que estamos estudiando. Por ejemplo, cuando nos planteamos si los niños de las distintas comunidades españolas tienen la misma altura. Este tipo de circunstancias son las que nos llevan al estudio de la parcela de la Estadística Inferencial conocida como Contraste de Hipótesis (también denominado Test de Hipótesis o Contraste de significación). Si lo pensáis, una hipótesis no es más que una creencia sobre la población, principalmente sobre alguno de sus parámetros (media, proporción ). Si queremos contrastarla, se debe establecer antes del análisis. El test será la herramienta que nos permitirá extraer conclusiones a partir de la diferencia entre las observaciones y los resultados que se deberían obtener si la hipótesis de partida fuese cierta. El contraste de hipótesis Implica, en cualquier investigación, la existencia de dos teorías o hipótesis implícitas, que denominaremos hipótesis nula e hipótesis alternativa, que de alguna manera reflejarán esa idea a priori que tenemos y que pretendemos contrastar con la realidad. De la misma manera aparecen, diferentes tipos de errores que podemos cometer durante el procedimiento. No olvidemos que las conclusiones que obtengamos para una población cualquiera, se habrán apoyado en el análisis de sólo una parte de ésta. De la probabilidad con la que estemos dispuestos a asumir estos errores, dependerá, por ejemplo, el tamaño de la muestra requerida. Los contrastes de hipótesis se realizan: Suponiendo a priori que la ley de distribución de la población es conocida. Extrayendo una muestra aleatoria de dicha población. Si la distribución de la muestra es diferente de la distribución de probabilidad que hemos asignado a priori a la población, concluimos que probablemente sea errónea la suposición inicial. 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 1-11

2 Ejemplo 6.1: Una situación en la que podríamos utilizar un contraste de hipótesis sería: Un estudio afirma que la media de las alturas de los chicos aragoneses de 17 años es de 178 cm. Visitamos un instituto y escogemos a diez chicos al azar; su altura media es de 171 cm. Podemos pensar que los muchachos de este instituto tienen una altura diferente de la del conjunto de chicos de Aragón? En la situación anterior suponemos cierta hipótesis y debemos decidir, a partir de nuestras observaciones, si tenemos suficientes evidencias para poder rechazarla. Cómo lo haremos? Utilizaremos probabilidades. 6.2 HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA En un contraste de hipótesis se decide si cierta hipótesis H 0 que denominamos hipótesis nula puede ser rechazada o no a la vista de los datos suministrados por una muestra de la población. Para realizar el contraste es necesario establecer previamente una hipótesis alternativa H 1 que será admitida cuando H 0 sea rechazada. Normalmente H 1 es la negación de H 0, aunque esto no es necesariamente así. La hipótesis nula H 0, es la hipótesis de partida (la que contrastamos). Debe recoger el hecho que queramos someter a prueba. La hipótesis alternativa H 1 es la que, como su nombre indica, ofrecemos como alternativa a la nula. Esta hipótesis, representa que se ha producido un cambio con respecto a la situación descrita por la hipótesis nula. Para poder plantear correctamente las hipótesis, debemos entender bien la estructura estadística que se encuentra tras los datos y, por tanto, deberemos conocer qué distribución siguen. Las hipótesis se expresarán normalmente en términos de algún parámetro de la distribución de los datos que estudiamos. Volviendo al ejemplo 6.1: Sabemos, por ejemplo, que la variable altura sigue una distribución normal. Por tanto, una altura es una observación de una variable N(µ,σ 2 ). Supondremos también que σ es conocida y es igual a 3. Entonces, cuando decimos que los chicos de 17 años tienen una altura media de 178 cm, en realidad proponemos que la hipótesis nula expresada en términos del parámetro µ es ésta: H 0: µ = Para detectar si las alturas no siguen esta media, debemos coger como hipótesis alternativa: H 1: µ 178 (hipótesis bilateral) 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 2-11

3 Figura Pero si quisiéramos detectar si los chicos son más altos de 178 cm, la hipótesis alternativa debería ser: H 1: µ > 178 (hipótesis unilateral) Figura Mientras que si quisiéramos detectar si son más bajos de 178 cm, debería ser: H 1: µ < 178 (hipótesis unilateral) Figura 6.3 Por tanto, como acabamos de ver en el ejemplo, la hipótesis alternativa puede ser bilateral (figura 6.1), si el parámetro es diferente del valor correspondiente a la hipótesis nula, o unilateral (figura 6.2 y 6.3), si sólo lo compara en una dirección. Una vez planteadas las hipótesis nula y alternativa, debemos tomar una decisión a partir de las observaciones. Existen dos decisiones posibles: 1) Aceptar la hipótesis nula 2) Rechazar la hipótesis nula 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 3-11

4 Por otro lado, hay dos situaciones posibles: a) La hipótesis nula es cierta b) La hipótesis nula es falsa Esto hace que podamos cometer dos clases de errores diferentes: podemos aceptar la hipótesis nula cuando ésta es falsa o podemos rechazar la hipótesis nula cuando es cierta, tal como se ve en la tabla siguiente: Podemos medir estos errores con la probabilidad de que se den las situaciones respectivas. Así, podemos considerar los errores siguientes: El error de tipo I es la probabilidad de que rechacemos la hipótesis nula cuando ésta es cierta. El error de tipo II es la probabilidad de que aceptemos la hipótesis nula cuando ésta es falsa. Ahora necesitamos una regla de decisión que nos permita determinar si debemos aceptar o rechazar la hipótesis nula a partir de las observaciones. Puesto que podemos cometer dos tipos de errores diferentes, nos interesaría tomar la decisión que minimizara los dos. La solución de este problema no es fácil. Normalmente, la experiencia nos enseña que cuando establecemos una regla de decisión que reduce mucho uno de los errores, el otro aumenta. Dado que no podemos hacer pequeños los dos errores al mismo tiempo, utilizaremos la siguiente estrategia: buscaremos reglas de decisión que nos permitan tener limitado el error de primer tipo, considerado más grave. Es decir, el error que cometemos cuando decidimos rechazar la hipótesis nula y ésta es cierta. Esta estrategia 1 es conservadora, tendemos a no rechazar la hipótesis nula excepto si los resultados son muy poco probables con ésta. Una buena forma de hacer pequeños los dos errores y, por tanto, de mejorar nuestros resultados, es aumentar el tamaño de las muestras que utilizamos. 6.3 EL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN El intervalo de aceptación o más precisamente, de no rechazo de la hipótesis nula, se establece fijando una cantidad α suficientemente pequeña denominada nivel de 1 La estrategia de decisión que utilizamos aquí se basa en los resultados de Neyman y Pearson, dos importantes matemáticos del siglo XX. 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 4-11

5 significación, de modo que la probabilidad de que el estadístico que estamos estudiando tome un valor fuera del mismo (región crítica) cuando la hipótesis nula es cierta, sea inferior o al 100 α%. De manera que, si H 0 es correcta el criterio de rechazo sólo se equivoca con probabilidad α, que es la probabilidad de que una muestra ofrezca un valor del estadístico estudiado extraño fuera del intervalo de aceptación (en la región crítica, figura 6.4). El nivel de significación α de un contraste es el error máximo de tipo I (rechazar H 0 cuando es cierta) que estamos dispuestos a asumir. La probabilidad de cometer el error de tipo I es el nivel de significación α, mientras que la probabilidad de cometer el error de tipo II la denotamos por la letra β. α = P [rechazar H 0 H0 es cierta] β = P [no rechazar H 0 H0 es falsa] El nivel de significación hay que fijarlo cuando se comienza el estudio. Se suele utilizar el valor estándar de α=0,05. Otros niveles utilizados son del orden de 0,1, de 0,01 o incluso de 0,001 (si queremos aumentar la precisión). Un nivel α = 0,05 significa que, aunque la hipótesis nula sea cierta, los datos de cinco de cada cien muestras nos harán rechazarla. Es decir, aceptamos que podemos rechazar la hipótesis nula de forma equivocada cinco de cada cien veces. Figura Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 5-11

6 Observaciones: Cuanto menor sea el valor de α que fijemos, más tendencia tendremos a aceptar la hipótesis nula. El caso extremo sería fijar un nivel de significación 0, de manera que aceptaríamos siempre la hipótesis nula y nunca se daría el error de tipo I, pero está claro que si tenemos que aceptar siempre, el estudio que hemos llevado a cabo no nos aporta nada nuevo. Al tomar un α muy pequeño tendremos que β se puede aproximar a uno. Lo ideal a la hora de definir un test es encontrar un compromiso satisfactorio entre α y β (aunque siempre a favor de H 0). La potencia de un contraste (1-β) es la capacidad de una prueba para detectar una diferencia cuando ésta realmente existe, es decir: Potencia del contraste = 1-β = P [rechazar H 0 H0 es falsa] Los errores de tipo I y II están relacionados de manera que cuando α decrece β crece. Por tanto no es posible encontrar tests que hagan tan pequeños como queramos ambos errores simultáneamente. De este modo es siempre necesario privilegiar a una de las hipótesis, de manera que no será rechazada a menos que su falsedad se haga muy evidente. El hecho de tener acotado el error de tipo I hace que nuestros contrastes sean conservadores y tiendan a aceptar la hipótesis nula, a menos que haya evidencias muy claras de que tenemos que rechazarla. Cuando aceptamos la hipótesis nula, no estamos seguros de que sea realmente cierta, ya que no controlamos el error de tipo II (el error que cometemos cuando aceptamos la hipótesis nula y ésta es falsa). Cuando rechazamos la hipótesis nula, estamos seguros de que tenemos que rechazarla porque tenemos acotado el error de tipo I (el error que cometemos cuando rechazamos la hipótesis nula y ésta es cierta). Aceptamos o no rechazamos? Puesto que cuando aceptamos la hipótesis nula no estamos demasiado seguros, normalmente, en lugar de decir Aceptamos la hipótesis nula, decimos No rechazamos la hipótesis nula. 6.4 EL CONCEPTO DE ESTADÍSTICO DE CONTRASTE Una vez fijadas las hipótesis, así como el error de tipo I que estamos dispuestos a asumir, para decidir si rechazamos la hipótesis nula o no, utilizaremos el llamado estadístico de contraste. Consiste en definir un estadístico T relacionado con la hipótesis que deseamos contrastar. A continuación, suponiendo que H 0 es verdadera se calcula un intervalo, denominado intervalo de aceptación de la hipótesis nula (T i, T s), de manera que al calcular sobre la muestra T = T c el criterio a seguir sea: 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 6-11

7 Si T c (Ti, Ts) no rechazamos H 0 Si T c (Ti, Ts) rechazamos H 0 y aceptamos H 1 Ejemplo 6.2: Recordad que si tenemos una muestra de tamaño n de una distribución N(µ,σ 2 ) _ x entonces la variable sigue una distribución normal estándar. n En el caso de las alturas de los chicos, sabemos que si tenemos una muestra de alturas de n chicos escogidos al azar, bajo la hipótesis nula (µ=178) podemos definir la variable: Este valor es una observación de una ley N(0,1). Si la hipótesis nula es cierta, el valor observado z debería estar en la zona en la que la distribución normal estándar concentra una mayor probabilidad, es decir, alrededor del cero. Si nos sale un valor muy alejado del cero, este valor será poco probable bajo la hipótesis nula, y nos llevará a decidir rechazarla, ya que pensaremos que su aparición no puede ser debida al azar, sino al hecho de que la hipótesis nula debe de ser falsa. Ahora bien, hasta qué punto debe ser poco probable para decidir rechazarla? Esto vendrá dado por el nivel de significación fijado. Si hacemos el contraste H 0: µ = 178 contra H 1: µ 178. Un valor del estadístico de contraste cercano a 0 es más probable bajo H 0 que bajo H 1. De este modo, utilizaremos la regla de decisión siguiente: donde Aceptaremos H 0 si z z 2 Rechazaremos H 0 si z > z 2 z es el llamado valor crítico Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 7-11

8 Figura 6.5. Zona de aceptación de H0 En la figura 6.5 vemos que la parte del gráfico con una línea más gruesa corresponde a la zona en la que queremos aceptar la hipótesis nula. La hipótesis alternativa influye a la hora de decidir. En los contrastes bilaterales, se dice que la probabilidad de las dos colas (la parte que corresponde a la zona donde tenemos que rechazar la hipótesis nula) debe ser α. Para determinar el valor crítico zα/2, sólo hay que imponer que el error de tipo I (probabilidad de rechazar H 0 cuando es cierta) sea menor o igual que el nivel de significación α, es decir: Donde Z es la distribución del estadístico de contraste. En este caso, bajo la hipótesis nula, sigue una distribución normal estándar. Por ejemplo, para α=0,05 encontramos (recordad las tablas de la normal) que zα/2=1, LA SIGNIFICACIÓN (p-valor) En muchos casos, para resolver un contraste de hipótesis no calcularemos el valor crítico, sino que utilizaremos el llamado p-valor. La significación o p-valor es la probabilidad del resultado del estadístico de contraste observado o de uno más alejado cuando la hipótesis nula es cierta. Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor de estadístico obtenido en la muestra. El p-valor asociado a una observación del estadístico de contraste es el menor nivel de significación que nos permite rechazar la hipótesis nula. Cuando el p-valor sea pequeño, indicará que el valor del estadístico de contraste que hemos observado tenía una probabilidad pequeña de salir bajo la hipótesis nula y, por tanto, deberemos rechazar la hipótesis nula. En cambio, cuando sea grande, indicará 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 8-11

9 que era un valor bastante probable bajo la hipótesis nula y, por tanto, es lógico que aceptemos H 0. Si el p-valor es inferior al nivel de significación α, rechazaremos la hipótesis nula. Si el p-valor es superior o igual al nivel de significación α, aceptaremos la hipótesis nula. El p-valor siempre es conocido después de realizar el contraste de hipótesis. Se dice que el contraste es estadísticamente significativo si p-valor < α. En caso contrario, si p-valor > α el contraste no es significativo. 2 Siguiendo con el ejemplo de las alturas, podemos ver (figura 6.5) que si el valor obtenido para la altura media extraída de una muestra es de 175 cm, no rechazaríamos nuestra hipótesis nula de partida, ya que la probabilidad de la región crítica que comienza exactamente en ese valor (en color verde) es mayor que la probabilidad α. En este caso el contraste no es significativo (p>α). Figura 6.5. Ejemplo de aplicación del p-valor En el ejemplo de las alturas, imaginad que nuestro estadístico de contraste observado es 1,61 y denotamos por Z una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar, que es la ley del estadístico de contraste bajo la hipótesis nula. Supongamos, además, que hemos fijado un nivel de significación α=0,1. Así: Si hacemos el contraste H 0: µ = 178 contra H 1: µ 178, entonces el p-valor es (probabilidad de las dos colas) 3 : 2 Para entenderlo mejor os recomiendo que veáis la presentación sobre contrastes de hipótesis. 3 El valor P (Z<1,61) para α=0,1 se obtiene de las tablas de la distribución normal. 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 9-11

10 Luego no rechazamos H 0. Fijaos en que para calcular el p-valor, calculamos la probabilidad de que la variable Z tome un valor más alejado que el valor 1,61 observado. Estas probabilidades en muchas ocasiones no se pueden calcular con tablas estadísticas, por lo que hay que utilizar un software estadístico. Podemos describir el procedimiento para plantear y resolver un contraste de hipótesis en cinco etapas: 1) Fijar las hipótesis nula y alternativa. 2) Fijar un nivel de significación. 3) Determinar el estadístico de contraste y su ley. 4) Calcular el p-valor asociado a nuestro estadístico de contraste calculado. 5) Comparar el p-valor con el nivel de significación y tomar una decisión. 6.6 CONTRASTES DE HIPÓTESIS FRENTE A INTERVALOS DE CONFIANZA Se recomienda que nunca se presenten en las publicaciones sólo valores p como resumen de la información estadística de una investigación, sino que se acompañen siempre de Intervalos de Confianza. La ventaja del I.C. sobre la significación estadística es que pasamos de expresar el resultado en una escala dicotómica a expresarlo en una escala continua, que aporta mucha más información. El valor p será significativo, sólo cuando el I.C. no incluya el 0 (no incluya la H 0). Si el intervalo de confianza que hemos calculado no contiene al valor correspondiente a la Hipótesis nula, se puede afirmar que el contraste es significativo. Ejemplo 6.3: El peso en gramos de las manzanas de una explotación agraria sigue una distribución normal de desviación típica 3,5. Un estudio nos dice que el peso medio es de 155gr y queremos comprobar si eso es cierto. Queremos contrastar H 0: µ = 155 contra H 1: µ 155 Para hacerlo, hemos cogido una muestra aleatoria de 42 manzanas y hemos obtenido una media de 163,8. Primero debemos encontrar un intervalo de confianza del 95% para la media de la distribución. Recordad que se puede obtener a partir de la fórmula siguiente: 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 10-11

11 que en nuestro caso nos da el intervalo (162,74, 164,85). Sabemos que de cada cien muestras que consideremos, el valor auténtico de la µ estará, como mínimo, en noventa y cinco de los intervalos correspondientes. Por eso, si el valor que queremos contrastar a la hipótesis nula cae dentro del intervalo, aceptaremos la hipótesis nula. En este caso, puesto que 155 (162,74, 164,85), debemos rechazar la hipótesis nula. 06. Inferencia estadística: Contrastes de hipótesis 11-11