INFERENCIA ESTADÍSTICA

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1 INFERENCIA ESTADÍSTICA 1. DEFINICIÓN DE INFERENCIA ESTADÍSTICA Llamamos Inferencia Estadística al proceso de sacar conclusiones generales para toda una población a partir del estudio de una muestra, así como determinar si son fiables y representativos, o no, los resultados obtenidos. Por ejemplo, para los estudios estadísticos cuyo objeto es: Conocer la estatura media de las españolas mayores de edad: requeriría excesivo tiempo y dinero tallar una a una a los millones de mujeres objeto del estudio o Conocer la proporción de cerillas defectuosas de una partida: sería absurdo probar cada una de ellas, pues esto supondría destruir toda la partida Pero lo que pretendemos hacer es algo como lo siguiente: Podemos intuir la estatura media de las españolas mayor edad (media poblacional p,) a partir de la estatura media observada en algunas de ellas (media muestral ) o Podemos aproximar la proporción de cerillas defectuosas a partir de la proporción observada en la muestra AI trabajar con muestras, hay que diferenciar los parámetros observados en la muestra (llamados parámetros estadísticos o estadísticos ) de los parámetros reales correspondientes a la población (llamados parámetros poblacionales o simplemente parámetros). La fiabilidad de las conclusiones acerca de la población, obtenidas a partir de una muestra, dependerá de lo representativa que sea la muestra elegida (por ejemplo, para ver el comportamiento de una población de personas no podemos tomar como muestra únicamente a 5 personas, ) De ahí la importancia de una buena elección de la muestra. Llamamos muestreo probabilístico al proceso de elegir, al azar, una muestra de una población. Podemos distinguir varios tipos: Muestreo aleatorio simple: Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la población y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra. Muestreo aleatorio sistemático: Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra. Ejemplo: Si hemos de elegir 40 elementos de un grupo de 600. Se elige al azar un elemento de salida, que supongamos es el 6. Posteriormente se calcula el cociente 600 : 40 = 15. El resto de los elementos serán los que tengan los números: , ,..., Muestreo aleatorio estratificado: Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato. En un centro, hay 2000 alumnos, 720 en 3o de ESO, 700 en 4o de ESO, 340 en 1o de Bachillerato, y 240 en 2o de Bachillerato. Si deseamos tomar una muestra de 100 alumnos, para conocer la opinión que tiene el alumnado sobre una medida que ha tomado el Consejo Escolar, cómo elegirías un muestra de 100 alumnos por muestreo aleatorio estratificado? Solución: 3º de ESO: 36 alumnos; 4º de ESO: 35 alumnos; 1º de Bachillerato: 17 alumnos; 2º de Bachillerato: 12 alumnos. A partir de ahora, para esta unidad, vamos a considerar que las muestras se obtienen por muestreo aleatorio simple con reemplazamiento. Pág: 1/6

2 2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS Si tenemos una población de parámetros desconocidos μ y σ, (media y desviación típica) y tomamos una muestra, podemos calcular la media muestral, x 1, que tendría cierta relación con μ (la media de la población). Podríamos tomar otra muestra, de igual tamaño, y calcular de nuevo su media muestral x 2, que también estaría relacionada con μ. Así sucesivamente, considerando varias muestras y haciendo las medias muestrales respectivas, tenemos una serie de medias, relacionadas de alguna manera con μ. Vamos a llamar a la función que asigna a cada muestra su media, Variable aleatoria Media Muestral, (x) y a la distribución que sigue esta variable aleatoria le llamo Distribución muestral de las medias. Sin pararnos en su demostración, podemos extraer la siguiente conclusión Las medias de las muestras de tamaño n extraídas de una población de parámetros μ y σ, siguen una distribución: X N μ, σ n Si la población sigue una distribución normal, entonces X es normal (Teorema Central del Límite) Si la población no sigue una distribución normal, si n 30, entonces X se aproxima a una normal (ley de los grandes números) Ejemplo: A: La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 1,62 m y la desviación típica 0,12 m. Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m? B. Una máquina fabrica bombillas que tienen una duración media de 700 horas y una desviación típica de 150 horas. Cuál es la probabilidad de que la media de duración en una muestra de 100 bombillas sea menor o igual a 650 horas? Solución: 0,0004 C.La masa de las peras de una cosecha se distribuyen normalmente con media 125 g y una desviación típica de 20 g. a) Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 130 g? b) Cuál es la probabilidad de que el peso medio en una muestra de 25 peras sea mayor de 130 g? Solución: a) 0,4013; b) 0,1056 D.Una fábrica produce piezas con una longitud media de 10 cm y una desviación típica de 1 cm. a) Cuál es la probabilidad de que la longitud media en una muestra de 50 piezas sea superior a 10,5 cm? b) Si se toman 25 muestras de 50 piezas cada una, en cuantas cabe esperar que la longitud media esté comprendida entre 9,8 cm y 10,3 cm? Solución: a) 0,0002; b) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En ocasiones, podemos realizar experimentos que presentan las siguientes características: Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos sólo la posibilidad de éxito o fracaso. La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión. Pág: 2/6

3 A los experimentos de este tipos, les decimos que siguen una distribución Binomial, y se representa por B (n,p), donde n es el número de veces que se repite el experimento y p es la probabilidad de éxito en el experimento Por tanto, podemos resumir lo siguiente: Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parámetros n y p, y lo representaremos por B (n, p). En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por: P X =k = n k pk q n k Aunque no la vamos a demostrar, en una distribución binomial B (n, p), el número esperado de éxitos o media, viene dado por μ = n p. La desviación típica, σ = npq. La varianza es σ 2 = npq. 4. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS PROPORCIONES Nos planteamos ahora determinar qué proporción de una población posee un cierto atributo, por ejemplo si es fumador o no fumador, si tiene ordenador o no, si tiene alergia o no, etc... El estudio de este tipo de proporciones es equiparable al de una distribución binomial (donde sólo hay dos posibilidades). Si la proporción de éxito es p y la de fracaso q, y se toma una muestra de la población de tamaño n, al igual que en el caso anterior, para cada muestra tendremos una proporción muestral que denotaremos por ˆp y una desviación típica muestral que denotaremos por sˆp. Las proporciones muestrales de tamaño n 30, extraídas de una población en la que la probabilidad de éxito es p, se ajustan a una normal X N p, p q n Ejemplos: A. En unas elecciones, el 52 % de la población votó al candidato A. Si antes de las elecciones se hubiese hecho un sondeo en una muestra de 500 habitantes, cuál hubiese sido la probabilidad de obtener menos de un 50 % de votos para ese candidato, suponiendo que se ha mantenido la intención de voto? Solución: 0,1814 B. Al 75 % de los jóvenes de una ciudad les gusta el cine. Si seleccionamos 25 muestra de 100 jóvenes cada una, en cuántas cabe esperar que el porcentaje de jóvenes cinéfilos esté comprendido entre el 70 % y el 80 %? Y si las muestras fueses de 1000 jóvenes? Solución: 19; DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS Supongamos ahora que queremos comparar las medias de dos poblaciones diferentes ( μ 1 y μ 2) Como hemos realizado anteriormente, tomamos muestras de tamaño n 1 de la primera población, y calculamos sus medias. (x 11, x 12,x 13,...). Hacemos lo mismo con la segunda población, es decir,m tomamos muestras de tamaño n 2 y calculamos sus medias (x 21, x 22,x 23,...). Lo que pretendemos es comparar la diferencias entre las medias muestrales. Ésta sigue la siguiente distribución: X 1 X 2 N μ 1 μ 2, σ² 1 n 1 σ² 2 n 2 Pág: 3/6

4 Si la población sigue una distribución normal, entonces X 1-X 2 es normal (Teorema Central del Límite) Si la población no sigue una distribución normal, si n 1 30 y n 2 30, entonces X 1-X 2 se aproxima a una normal (ley de los grandes números) 6. ESTIMACIÓN Uno de los objetos de la estadística es deducir el comportamiento de una población a partir del comportamiento de una muestra. En particular, es frecuente estimar (aproximar) un parámetro de la población (media, varianza, ) a partir del estadístico obtenido de una muestra, o al menos, averiguar entre qué limites se encuentra el parámetro con una probabilidad determinada. Si se realiza lo primero (estimar un parámetro) se dice que la estimación es puntual; Por el contrario si averiguamos los límites entre los que se encuentra, estamos realizando una estimación por intervalos de confianza. 7. INTERVALO CARACTERÍSTICO Sea X una v.a. que se distribuye normalmente, un intervalo característico es un intervalo simétrico entorno a la media (μ-k, μ+k) en el que la probabilidad de que un valor de la variable esté en ese intervalo es p, es decir : P[μ-k < x < μ+k] = p. = 1-α. Llamamos valor crítico a la probabilidad que dejamos fuera del intervalo característico y lo notaremos con α. Es claro entonces que la probabilidad que queda en el intervalo será p 8. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Es el procedimiento utilizado para conocer las características de un parámetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra. Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una estimación de un valor de un parámetro de la población; pero también necesitamos precisar un: Intervalo de confianza : Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un nivel de confianza específico. Nivel de confianza: Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza. Error de estimación admisible: Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN El intervalo de confianza, para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α, siendo x la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es: σ x z α/ 2 n, x z σ α/ 2 n Pág: 4/6

5 El error máximo de estimación es: σ E= z α/2 n Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el error. Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-α, mayor es el error. Tamaño de la muestra n= z α/ 2 σ n 2 Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamaño de la muestra. Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamaño de la muestra. Ejemplos: A. El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos. Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes. B. Las especificaciones de un fabricante de botes de pintura dicen que el peso de los botes sigue una distribución normal de media 1 kg de pintura y una desviación estándar de 0,1 kg. a) Cuál es la media y la desviación estándar de la media muestral de los pesos de una muestra aleatoria simple de 20 botes? b) Se ha comprado un lote del que se ha tomado una muestra de 20 botes y en el que la media de los pesos obtenidos es de 0,98 kg, Construye un intervalo de confianza del 95 % para la media. C. Las alturas, expresadas en centímetros, de los estudiantes de segundo de Bachillerato se distribuyen normalmente con una desviación típica de 20 cm. En un colectivo de 500 estudiantes de segundo de Bachillerato se ha obtenido una media de 160 cm. a) Calcula, con una probabilidad del 98 %, entre qué valores estará la media de la altura de la población total de estudiantes de segundo de Bachillerato. b) Interpreta el significado del intervalo obtenido. D. Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar una posible ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia, expresada en días, de 800 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados: x = 8,1 días; s = 9 días. Se pide obtener un intervalo de confianza del 95 % para la estancia media. Solución: I = (7,476; 8,723) E. Se hizo una encuesta aleatoria entre 130 estudiantes universitarios, de los cuales 85 eran mujeres, sobre el número de horas que estudian diariamente fuera del aula, obteniéndose una media de 3,4 horas. a) Si la desviación típica es de 1,1 horas, obtener un intervalo de confianza, al 98%, para la media del número de horas que estudian diariamente fuera del aula los estudiantes universitarios. 9. ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Si en una población, una determinada característica se presenta en una proporción p, la proporción p', de individuos con dicha característica en las muestras de tamaño n, se distribuirán según: N p, pq n Pág: 5/6

6 Intervalo de confianza para una proporción p' z p' q ' α /2 2 n, p' z p ' q' α/ n El error máximo de estimación es: p' q' E= z α/2 n Ejemplos: A. En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analizó una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrándose que 90 de ellos eran defectuosos. Qué nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones? B. Si en una muestra de tamaño 30 hay 12 alumnos con dos o más hermanos, halla un intervalo de confianza del 75 % para la proporción de dichos alumnos en la población. C. De una muestra aleatoria de 2100 personas de una población hay 630 que leen un determinado diario. Calcular el intervalo de confianza para la proporción poblacional para un nivel de confianza del 99 % D. Para conocer el cociente intelectual de los estudiantes de una universidad, de qué tamaño conviene tomar la muestra para que, con una confianza del 98 %, la media muestral y la poblacional no difieran en más de 3 puntos? Se sabe que la desviación típica poblacional es de 15 puntos. E. En el Juzgado de cierta ciudad se presentaron en el año 2005 un total de 5500 denuncias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 5 % de ellas. Entre las denuncias seleccionadas se determinó que 55 habían sido producidas por violencia doméstica. Determinar, justificando la respuesta: a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de denuncias por violencia doméstica en esa ciudad en el año b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 99 %. F. Supongamos que queremos estudiar la producción media de leche al día de un determinado tipo de vacas con un error menor que 0,5 litros y un nivel de confianza del 0,95 %. Si de estudios anteriores sabemos que la desviación típica es de 1,5 litros, qué tamaño de muestra debemos tomar? Solución: n = 35 G Queremos determinar el porcentaje de estudiantes que necesitan gafas. De un estudio realizado hace tres años sabemos que el 65 % de ellos usaban gafas. a) Qué tamaño de muestra debemos coger para cometer un error máximo del 5 % con un nivel de riesgo del 5 %? b) Si no tenemos información previa, qué tamaño de muestra debemos tomar? Solución: a) n = 350; n = 385 Pág: 6/6