Práctica 5: Estimación de parámetros. Una población.

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1 Práctica 5: Estimación de parámetros. Una población. 1. Considere el conjunto f1; 3; 5; 7; 9g (a) Enumere todas las muestras de tamaño 2 que pueden ser seleccionadas con reposición de ese conjunto. Calcule la media de cada una de ellas (b) Describa la distribución de la media muestral x (c) Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria x. Compare estos valores con los de la media poblacional y la varianza poblacional Si una población normal tiene un desvío estándar de 25, cuál es el desvío de las medias muestrales si se hacen respectivamente 16, 50 y 100 observaciones? Qué puede concluir con respecto al desvío de las medias muestrales a medida que aumenta el número de observaciones? 3. Las alturas de una clase de plantas están distribuidas en forma normal, con media = 39 y dispersión = 2. (a) Si se observa una planta al azar, cuál es la probabilidad de que su altura esté entre 38 y 40 cm? (b) Cuál es la probabilidad de que su altura supere los 40 cm? (c) Si se registran las alturas de 30 plantas, cuál es la probabilidad de que la altura promedio esté entre 38 y 40 cm? (d) Si se registran las alturas de 30 plantas, cuál es la probabilidad de que la altura promedio exceda los 40 cm? 4. Una variable aleatoria tiene distribución normal con media desconocida y desvío estándar = 5. Calcule la probabilidad de que x diste de menos de una unidad si el tamaño muestral es de 25, 100 y 225 respectivamente. Qué puede concluir? 5. Si se especi ca que la esperanza de la variable aleatoria "cantidad de kilómetros recorridos por litro" de un vehículo es 12 y tiene una desviación estándar de 2. Es posible calcular la probabilidad de que la media de una muestra de 10 recorridos sea menor o igual que 10 km/lt si el vehículo funciona de acuerdo a las especi caciones? De no ser posible establezca los supuestos necesarios para poder calcular dicha probabilidad. 6. Si la distribución de la variable aleatoria producción de leche de un establecimiento lácteo (en cientos de litros) se aproxima a una distribución normal con media (a) Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 5 exceda el valor 75? Se sabe por estudios previos que el desvío poblacional es (b) Cuál es la producción promedio sólo superada por un 5% de las producciones promedio de muestras de tamaño 5? 7. Cierta población tiene media 400 y desvío estándar 40. Se seleccionan muchas muestras de tamaño 46 y se calculan las medias. (a) Qué valor es de esperar que tenga la media de todas esas medias muestrales? 1

2 (b) Qué valor se esperaría para el desvío estándar de todas las medias muestrales? (c) Qué forma es de esperar tenga la distribución de todas las medias muestrales? 8. Si en una población de abejas el 15% está parasitado, calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 100 tenga las siguientes proporciones de individuos parasitados: (a) mayor o igual a 0,2 (b) entre 0,1 y 0,2 (c) no más de 0,12 9. Calcule el valor de 2 0 tal que: (a) P ( 2 2 0) = 0:05, para 10 grados de libertad (b) P ( 2 2 0) = 0:025, para 18 grados de libertad (c) P ( 2 2 0) = 0:01, para 12 grados de libertad. 10. Los diámetros de los tallos de determinada clase de forrajeras se distribuyen en forma normal, con media = 40 y varianza 2 = 8: Determine la probabilidad de que la varianza de una muestra de tamaño 16 sea mayor a En un experimento diseñado para estimar el número medio de latidos del corazón por minuto se examinaron 49 personas seleccionadas al azar de la población en estudio y el promedio de estas observaciones fue de 63. Suponiendo que el número de latidos es una variable aleatoria con distribución normal con = 10, calcule intervalos de 90, 95 y 99% de con anza para. Compare las amplitudes de los intervalos. 12. Repita el ejercicio anterior, suponiendo que la muestra fue de 500 observaciones. Compare las amplitudes de los intervalos; justi que las diferencias entre estas amplitudes. 13. Se desea obtener un intervalo de con anza para el peso medio de cierta especie del cual se supondrá que se distribuye normalmente con una varianza de 400. Si se toma una muestra de 10 individuos y el promedio resulta de 16, cuál sería el intervalo de 95% de con anza? 14. Con los datos del ejercicio anterior, cuál será el intervalo si la varianza es igual a 25? Compare las amplitudes de ambos intervalos y justi que la diferencia. 15. Para estimar la longitud promedio de ciertos peces se tomó una muestra aleatoria de 50 ejemplares adultos y se obtuvo x = 36 cm. Si se supone que = 12 cm: (a) calcule un intervalo de 95% de con anza para, (b) suponga que se desea un intervalo de amplitud 4, de qué tamaño deberá ser la muestra? (c) qué tamaño deberá tener la muestra si se desea una amplitud igual a 2? 16. En un estudio de medidas de los picos de los papamoscas vespertinos se estimó con un 90% de con anza que la longitud del pico de los machos tenía una media de 8:14 0:021. Suponiendo que el coe ciente de variación es de 4:67%, deduzca cuántos individuos se utilizaron en el estudio. 2

3 17. En un estudio diseñado para establecer la relación entre un medicamento y cierta anomalía en los embriones de pollo, se inyectaron con el medicamento 50 huevos fecundados al cuarto día de incubación. En el vigésimo día de incubación se examinaron los embriones y se observó la presencia de la anomalía en 12 de ellos. Calcule los intervalos de 90, 95 y 99% de con anza para el verdadero valor de la proporción de embriones con anomalía. 18. Un epidemiólogo desea saber qué proporción de adultos que viven en una gran área metropolitana tienen el subtipo AY del virus B de la hepatitis. Determinar el tamaño de la muestra para estimar una proporción real cercana al 0.03 con una con anza del 95% sabiendo que la amplitud del intervalo para la proporción es de Se está estudiando cierta característica en una población con un nivel de 95% de con anza en las estimaciones. Se toma una muestra de la cual se obtienen los siguientes valores: 66, 46, 54, 58 y 55. Obtenga un intervalo para la varianza poblacional, suponiendo que la distribución es normal. 20. Calcule un intervalo de con anza para la varianza de una variable aleatoria normal de la que se han observado los siguientes valores trabajando con un 10% de riesgo. x i n i Se toma una muestra aleaoria de 21 estudiantes y se obtienen una media muestral de 65 kg y una varianza muestral de 7.5 kg.. Suponiendo que los pesos tienen una distribución normal: (a) encuentre un intervalo de 90% de con anza para 2. (b) cómo resolvería el ejercicio si el valor 7,5 correspondiera al estimador sesgado de la varianza? 22. Calcule el valor de t 0 tal que: (a) P (t t 0 ) = 0:025, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con 8 grados de libertad (b) P (t t 0 ) = 0:01, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con 15 grados de libertad (c) P (jtj t 0 ) = 0:01, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con 15 grados de libertad (d) P (jtj t 0 ) = 0:80, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con 22 grados de libertad. 23. A partir de una muestra aleatoria simple de 16 individuos se obtuvieron los siguientes valores 3

4 de arsénico en orina: paciente paciente 1 0: : : : : : : : : : : : : : : :011 construya un intervalo de 95% de con anza para la media de la población. 24. El archivo de datos PIG describe el peso inicial y la ganancia en peso de un grupo de cerdos que fue dividido en cuatro subgrupos. A cada uno de estos grupos se le asignó un dieta diferente. Se registró también la edad de cada animal. (a) Obtenga intervalos del 95% y 99% de con anza para las medias de las variables PESO INICIAL y GANANCIA en cada subgrupo. (b) Obtenga intervalos del 95% y 99% de con anza para las varianzas de la variable GANAN- CIA en cada subgrupo. (c) Determine la mediana de EDAD y de na una variable categórica que divida los datos en un subgrupo cuya edad es menor o igual a la mediana y otro con edades mayores que la mediana. Describa grá camente los pesos iniciales de estos dos subgrupos, obtenga los parámetros descriptivos y calcule intervalos de 95% de con anza para las medias correspondientes. 25. Utilizando el lenguaje R: (a) Genere 1000 datos de una variable normal con media 10 y varianza 4, use para esto la función rnorm. (b) Seleccione una muestra de tamaño 50 del conjunto de datos utilizando la función sample. (c) Teniendo en cuenta el punto 2, calcule un intervalo para la media poblacional con una con anza del 95% y complete la primera la del cuadro. (d) Repita los puntos 2 y 3 dos veces más para completar la segunda y tercera la del cuadro. (e) Complete el resto del cuadro generando las muestras necesarias, variando el tamaño de las muestras y el nivel de signi cación e interprete. 4

5 n Mín. intervalo Máx. intervalo Amplitud 2 5% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 15 Resultados ; 3.53; a) 0.383; b) ; c) ; d) ; ; a) ; b) a) 400; b) a) ; b) ; c) a) ; b) 8.231; c) P 0: a) (60.64; 65.36); b) (60.20; 65.80); c) (59.33; 66.67) 12. a) (62.26; 63.73); b) (62.12; 63.87); c) (61.85; 64.15) 13. (3.6; 28.39) 14. (12.9; 19.1) 15. a) (32.67; 39.33); b) n ' 138; d) n = n ' a) (0.141; 0.339); b) (0.122; 0.358); c) (0.085; 0.395) 18. n ' 777 5

6 19. (18.81; 431.4) 20. (1.079; 2.899) 21. a) (4.77; 13.76); b) (5.016; 14.45) 22. a) 2.306; b) 2.602; c) 2.967; d) (9.63 x 10 3 ; ) 6