Cap 7 Intervalos de Confianza

Transcripción

1 Cap 7 Intervalos de Confianza Mate

2 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN 7.1-2

3 Estadísticas inferencial Ahora discutimos estadística inferencial -el proceso de generalizar la información obtenida de una muestra de una población. El area de la estadística inferencial en el cual trabajaremos se conoce como estimación: se utilizan datos de la muestra para estimar el valor de algún parámetro desconocido 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-3

4 Estimador Un estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos de la muestra y que proporciona información sobre el valor del parámetro. Un estimador puntual es el valor de un estadístico que estima el valor real de un parámetro. Por ejemplo, la media muestral, x, es un estimador puntual de la media poblacional Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-4

5 Ejemplo 1: Calcular un estimador puntual Monedas de un centavo acuñadas después de 1982 son de 97.5% de zinc y 2.5% de cobre. Los siguientes datos representan los pesos (en gramos) de 17 de estos centavos seleccionados al azar Tratando los datos como una muestra aleatoria simple, calcule un estimador puntual para la media poblacional de los pesos de monedas de un centavo acuñadas después de Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-5

6 Solución El estimador puntual para la media poblacional es El estimador puntual para es 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-6

7 Intervalo de confianza Sabemos que estadísticos como x varían de una muestra a otra. Por ejemplo, una muestra aleatoria diferente de 17 monedas podría dar lugar a una estimador puntual diferente de la media de la población. Por lo tanto, resultaría más útil saber cuán bueno es nuestro estimado. Con este fin, se construye un intervalo de confianza que consiste de un intervalo de valores, y una cierta probabilidad de que ese intervalo incluye el parámetro desconocido Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-7

8 Intervalo de confianza Un intervalo de confianza para un parámetro desconocido se compone de un intervalo de números. El nivel de confianza representa la proporción esperada de intervalos que contendrán el parámetro si se obtiene un número grande de muestras diferentes. El nivel de confianza se denota (1- ) 100%, donde 0< es el error que estamos dispuestos a permitir Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-8

9 Ejemplo: Si α = 0.05 el nivel de confianza es (1 0.05)*100% = 95% Interpretación: Si se construyen 100 intervalos de confianza diferentes, cada uno basado en una muestra diferente de la misma población, esperaríamos que 95 de los intervalos incluyeran al parámetro que estamos estimando y que 5 no lo incluyeran Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-9

10 Valores críticos Bajo ciertas condiciones, si tomamos muchas muestras, la distribución de probabilidad para cierta proporción en las muestras es aproximadamente normal. Un valor crítico es el número en la escala horizontal que separa los valores Z que son raros o pocos probables para la proporcion de los valores que no son raros. El número z /2 es un valor crítico que separa un área igual a /2 en el lado derecho de la curva normal, si z es positivo o un área igual a /2 en el lado derecho de la curva normal si z es negativo Pearson Prentice Hall. All rights reserved

11 Valores críticos comunes Tabla 4 muestra algunos de los valores críticos comunes utilizados en la construcción de confianza intervalos Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-11

12 Determinar z 2 para un nivel de confianza de 95% Nivel de confianza 95% = 5% 2 = 2.5% =.025 -z z Area bajo la curva 2 2 a la izquierda de z=1.96 es Zα= 1.96 es el 2 valor que tiene 97.5% del área bajo la curva a su izquierda Valores Críticos 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

13 Ejemplo: Determinar el valor crítico para un nivel de confianza Determine el valor crítico que corresponde con el nivel de confianza dado. a) 94% Usamos α = α = 0.06 Por lo que Z0.06 = Z Buscamos en la tabla el valor que tiene una cantidad de área igual a , o sea 0.97 hacia su izquierda. El valor más cercano a es que corresponde a Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-13

14 Ejemplo: Determinar el valor crítico para un nivel de confianza Determine el valor crítico que corresponde con el nivel de confianza dado. b) 80% Usamos α = α = 0.2 Por lo que Z0.2 = Z Buscamos en la tabla el valor que tiene una cantidad de área igual a 1 0.1, o sea 0.9 hacia su izquierda. El valor más cercano a 0.9 es que corresponde a Pearson Prentice Hall. All rights reserved 9-14

15 Definición Cuando se utilizan datos de una muestra aleatoria simple para estimar una proporción poblacional p, el margen de error observado entre el valor real, p y el valor observado p, se denota por E. También llamado el error máximo del estimado se puede calcular con la siguiente fórmula: donde z /2 es el valor crítico, p es la proporción estimada y n es el tamaño de la muestra

16 Intervalo de confianza para estimar una proporción p para una población 1. La muestra es una muestra aleatoria simple. 2. Se satisfacen las condiciones para una distribución :hay un número fijo de ensayos, los ensayos son independientes, hay dos categorías de los resultados, y las probabilidades se mantienen constantes para cada ensayo. 3. Hay al menos 5 éxitos y 5 fracasos

17 Intervalo de confianza para estimar una proporción p para una población p ˆ E < p < pˆ + E donde Decimos que el intervalo de confianza es (p ˆ E, p ˆ + E)

18 Ejemplo: Una encuesta realizada por el Pew Research Center poll de 1501 adultos estadounidences seleccionados aleatoriamente mostró que 70% de los que respondieron creen en calentamiento global. Para esta muestra n = 1501 y pˆ 0.70 a. Determinar el margen de error, E, que corresponde a un nivel de confianza de 95%. b. Hallar un intervalo de confianza, a un nivel de 95% para la proporción poblacional p

19 Verificamos: muestra aleatoria simple número fijo de ensayos, 1501 ensayos son independientes dos categorías de resultados(cree o no cree or does not); probabilidad constante. núm. de éxitos y fracasos son al menos a) Use la fórmula para hallar el margen de error

20 Ejemplo: continuación b) intervalo de confianza (95%) pˆ E p pˆ E p p

21 La proporción de los jugadores zurdos de béisbol profesional Ejemplo: En una muestra aleatoria simple de 59 jugadores de beísbol, se determina que hay 15 zurdos. Determinar un intervalo de confianza de 95% alrededor de esta proporción. Solución: Hay 15 jugadores de béisbol zurdos en la muestra por lo que la proporción de la muestra es p = Para construir un intervalo de confianza de 95% usamos z α 2 = Use la fórmula para hallar el margen de error

22 La proporción de los jugadores zurdos de béisbol profesional Cont: Construir intervalo de confianza pˆ E p pˆ E El intervalo de confianza es ( , ) = (0.143, 0.365) Interpretación Si se construyen 100 intervalos de confianza diferentes, cada uno basado en una muestra diferente de la población de jugadores de béisbol, esperamos que en 95 de las muestras, la proporción de jugadores zurdos caiga en el intervalo

23 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA MEDIA

24 El margen de error, E, en un intervalo de confianza de (1- ) 100% para el cual se conoce está dado por E z 2 n donde n es el tamaño de la muestra Nota: Requerimos que la población de la que se extrajo la muestra se distribuye normalmente, o que el tamaño de las muestras sea mayor o igual a

25 Intervalo de confianza para estimar una media, μ, para una población con conocido x E < μ < x + E donde E z 2 Decimos que el intervalo de confianza es n ( x E, x + E)

26 Ejemplo: Construir un intervalo de confianza Construya un intervalo de confianza de 99% alrededor de la media poblacional del peso (en gramos) de mondedas acuñadas después de Asumir que =0.02 gramos y que la población se distribuye normalmente Copyright , 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved

27 z 2 z0.02 z Buscamos en la tabla el valor Z que tiene un área igual a 0.99 a su izquierda. Z Margen de error: z n Intervalo de confianza: x = ( x E, x E) =( , ) = (2.452, 2.476) Tenemos 99% de confianza en que el peso medio de las monedas acuñadas después de 1982 está entre y gramos