6. Inferencia con muestras grandes. Informática. Universidad Carlos III de Madrid

Transcripción

1 6. Inferencia con muestras grandes 1

2 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 2

3 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes Sea X una v. aleatoria de interés con distribución cualquiera y con En el tema anterior vimos que si n es grande (n>30) 1 Z 0 3

4 Z N(0,1) 1- α α /2 α / z Informática. α/2 z Universidad Carlos III α/2 de Madrid 4

5 Si tomásemos infinitas muestras, y con cada una calculásemos el intervalo x ± z α /2 Entonces, el 100(1-α)% de esos intervalos tendría el valor de μ σ n Z N(0,1) 1- α α /2 α / z Informática. α/2 z Universidad Carlos III α/2 de Madrid 5

6 Sólo una muestra Sólo un intervalo En la práctica: El intervalo sí o no contendrá a μ A la incertidumbre de si lo contendrá le llamaremos confianza Z N(0,1) 1- α α /2 α / z Informática. α/2 z Universidad Carlos III α/2 de Madrid 6

7 intervalo de confianza de nivel de confianza 100 (1-α)% para μ σ IC(1 α) : μ x z ± α /2 n Ejemplo Una muestra aleatoria extraída de una población con σ²=100 de n=144 observaciones tiene una media muestral =160. se pide: (a) Calcular un intervalo de confianza del 95% para μ. (b) Calcular un intervalo de confianza del 90% para μ. (a) (b) Mayor confianza=más anchos 90% 95% X 7

8 Verdadero, falso o incierto? Cuestiones σ IC(1 α) : μ x z ± α /2 n El intervalo de confianza nos dice entre qué valores variará μ de unas muestras a otras Es imposible que μ esté fuera del intervalo de confianza El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si X es normal El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si X es normal Lo mejor será construir intervalos de confianza del 100%, así no tendremos incertidumbre El intervalo de confianza me dice entre qué valores estará la media poblacional con una confianza determinada Si tengo pocos datos, el intervalo de confianza puede no ser válido 8

9 σ IC(1 α) : μ x z ± α /2 n Es también un parámetro, y será desconocido Lo sustituimos por un estimador σˆ IC(1 α) : μ x z ± α /2 n Qué estimador usamos para σ²? 9

10 Qué estimador usamos para σ²? Método de los momentos: varianza muestral Se puede demostrar que es SESGADO subestima la verdadera varianza 10

11 Qué estimador usamos para σ²? es SESGADO Corregimos el sesgo Nuestro estimador oficial será el estimador insesgado Cuasivarianza Pseudo varianza Varianza corregida Varianza corregida por grados de libertad 11

12 intervalo de confianza de nivel de confianza 100 (1-α)% para μ sˆ IC(1 α) : μ x z ± α /2 n Ejemplo Se mide la duración de 200 componentes electrónicos hasta su avería. De esos 200 datos se tiene que la media muestral es 1300 horas y la cuasivarianza es (horas al cuadrado). Calcula un intervalo de confianza de μ de nivel de confianza 95% X = 1300 ˆ S n = 200 α = 0.05 z = = μ ± 200 μ [1286;1314] 12

13 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 13

14 2. Determinación del tamaño muestral Acabamos de ver que... intervalo de confianza de nivel de confianza 100 (1-α)% para μ σ IC(1 α) : μ x z ± α /2 n { x L} μ ± Cuál debe ser n para conseguir un L determinado? Lo estimo con alguna muestra piloto 14

15 Ejemplo Sea X el contenido de impurezas en un material obtenido en cierto proceso productivo (miligramos de impureza por kilogramo de producto obtenido). Se toma una muestra aleatoria de 200 observaciones obteniéndose una media muestral del consumo de 120 mg/kg y una desviación típica muestral 20 mg/kg. X = 120 Sˆ = 20 n 0 = 200 Estimar mediante un intervalo de un 95% de confianza el contenido medio de impurezas. Qué tamaño muestral sería necesario tomar para que L=1 mg? 15

16 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 16

17 3. Introducción al contraste de hipótesis Veamos la idea de contraste de hipótesis con un ejemplo Ejemplo Un fabricante de transistores del tipo BC547B sabe que cuando su producción se mantiene en los niveles de calidad deseables, el valor de la llamada ganancia en corriente de los transistores (conocida por β, adimensional) sigue una distribución normal de media 290 y varianza 760. β σ = 760 μ = 290 σ 2 = 760 Son en realidad estimaciones con muchísimos datos históricos. A efectos prácticos, los consideramos como si fuesen los poblacionales μ = 290 Cómo puedo saber si se mantiene el proceso en los mismos parámetros? Se mantiene la media? Ha aumentado la variabilidad? 17

18 Ejemplo β μ = 290 Cómo puedo saber si se mantiene el proceso en los mismos parámetros? σ = 760 σ 2 = 760 μ = 290 Se mantiene la media? Ha aumentado la variabilidad? Cómo lo puedo hacer? Son hipótesis que quiero comprobar Tomo una muestra de observaciones A la vista de los datos decido si mantengo o no la hipótesis (el objetivo no es estimar sino validar) Si x >> 290 Si x 290 parece muy probable que la media SI haya cambiado parece muy probable que la media NO haya cambiado A la vista de los datos, tomo la decisión que sea más plausible (nunca estaré seguro al 100%) Cómo me puede ayudar la estadística? 18

19 Ejemplo μ = 290 Veamos el método estadístico: β 2 σ = 760 σ = 760 Objetivo: Validar una hipótesis con los datos Contraste de hipótesis μ = 290 Las hipótesis serán restricciones sobre los parámetros X 1 X 2 X 3... X n ˆ 2 X, S Hipótesis nula H0 Hipótesis alternativa H1 Se mantiene la media? μ = 290 ó μ 290 alternativa bilateral Ha aumentado la variabilidad? 2 σ 760 ó 2 σ > 760 alternativa unilateral Entre H0 y H1 está todo el rango de valores posibles H0 debe tener siempre el signo = Se aceptará H0 salvo que haya mucha evidencia en contra 19

20 Ejemplo β 2 σ = 760 μ = 290 σ = 760 H0 H1 μ = 290 μ σ σ > 760 μ = 290 X, Sˆ X 1 X 2 2 X 3... X n Rechazamos H0 sólo si hay mucha evidencia en contra. Es decir, si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente En la sección siguiente veremos cómo obtener los límites de las regiones de aceptación y rechazo 20

21 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 21

22 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes Para contrastar una hipótesis sobre la media μ seguimos los siguientes pasos: PASO 1: Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. Queremos contrastar alguna de estas hipótesis, donde μ 0 es un valor concreto H H : μ= μ 0 0 : μ μ 1 0 H H : μ μ 0 0 : μ> μ 1 0 H H : μ μ 0 0 : μ< μ 1 0 Ejemplo En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores del proceso productivo mantiene la media en μ 0 =290 H0 H1 μ = 290 μ

23 PASO 2: Hallamos una medida de la discrepancia entre los datos y H0 Si la discrepancia es grande: se rechaza H0 Esa medida se denomina estadístico de contraste Cómo se busca el estadístico de contraste, que resuma la información relevante para un contraste? Usando las propiedades de los estimadores, e introduciendo la información de H0 Sabemos que, para muestras grandes Estadístico de contraste 23

24 Ejemplo En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores del proceso productivo mantiene la media en μ 0 =290 H0 H1 μ = 290 μ 290 Con 100 observaciones: Resume en un número la información para decidir entre H0 y H1 PASO 3: Para valorar el estadístico de contraste, buscamos una distribución de referencia que nos diga si es un valor grande o pequeño La distribución de referencia es la del estadístico de contraste cuando μ=μ 0 N(0,1) 24

25 PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0. Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente. Caso (a) PASO 1: PASO 2: PASO 3: H : μ = 290; H : μ T 0 = X 290 Sˆ / n T 0 ~N(0,1) Rechazamos H0 si x << 290 x >> 290 t 0 x 290 = << 0 sˆ / n t 0 x 290 = >> 0 sˆ / n Si H0 es falsa tenderemos a estar por esta zona N(0,1) Si H0 es falsa tenderemos a estar por esta zona 0 25

26 PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0 Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente. Caso (b) H : μ 290; H : μ > 290 T0 0 1 PASO 1: PASO 2: PASO 3: X 290 = T 0 ~N(0,1) Sˆ / n Rechazamos H0 si x >> 290 t 0 x 290 = >> 0 sˆ / n N(0,1) Si H0 es falsa tenderemos a estar por esta zona 0 26

27 PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0 Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente. Caso (c) H : μ 290; H : μ < 290 T0 0 1 PASO 1: PASO 2: PASO 3: X 290 = T 0 ~N(0,1) Sˆ / n Rechazamos H0 si x << 290 t 0 x 290 = << 0 sˆ / n Si H0 es falsa tenderemos a estar por esta zona N(0,1) 0 27

28 PASO 1: PASO 2: PASO 4: H : μ = μ ; H : μ μ (a) Rechazo H 0 Rechazo H 0 Acepto H 0 (a) H : μ μ ; H : μ > μ (b) (b) Acepto H0 Rechazo H0 PASO 3: H : μ μ ; H : μ < μ (c) N(0,1) Rechazo H0 Acepto H0 (c) La región de rechazo está donde señala H 1 28

29 Metodología general para hacer un contraste de hipótesis PASO 1: PASO 2: PASO 3: PASO 4: Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. Estadístico de contraste Distribución de referencia Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo Qué área ocupa la región de rechazo? Rechazo H 0 Acepto H 0 La región de rechazo ocupa un área pequeña Ese área se llama α=nivel de significación Su valor lo decide el analista Suele ser α=0.05, 0.10, 0.01? Valor crítico 29

30 Ejemplo En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores del proceso productivo mantiene la media en μ 0 =290 H0 H1 μ = 290 μ 290 Con 100 observaciones: Nivel de significación, α=0.05 T 0 ~N(0,1) Acepto H 0 Rechazo H 0 Rechazo H 0 1 α/2=0.025 α/2= Rechazamos H Valores críticos 30

31 Ejemplo En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores del proceso productivo mantiene la media en μ 0 =290 H0 H1 μ = 290 μ 290 Con 100 observaciones: Nivel de significación, α=0.05 T 0 ~N(0,1) La diferencia entre la media de la muestra (282.3) y la de la hipótesis (290) es significativa (al 5%) Concluimos, con un nivel de significación del 5%, que la media poblacional ha cambiado 31

32 Cuestiones Verdadero, falso o incierto? Mediante un contraste de hipótesis buscamos el respaldo de los datos a alguna suposición sobre la población Si rechazo la hipótesis de que μ=100 con α=0.05, la conclusión es que es imposible que μ=100 Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con α=0.05. Con unos datos obtengo x = y el contraste me lleva a Aceptar H 0. Entonces quiere decir que con un nivel de significación de 0.05 μ=104.3 Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con α=0.05. Con unos datos obtengo x = y el contraste me lleva a Aceptar H 0. Entonces quiere decir que con un nivel de significación de 0.05 x = 100 Si tomamos pocos datos, el contraste puede ser erróneo Un analista puede aceptar una hipótesis nula con α=0.05, pero rechazarla con α=

33 Ejemplo Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años tienen una estatura media de μ 0 =177 cm. Se toman las alturas de 50 jóvenes madrileños en ese rango de edad y resulta x = 175.9cm sˆ = 5.93cm Hay evidencia suficiente para decir que los jóvenes madrileños tiene una estatura media inferior a la nacional? PASO 1: Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. Dos opciones Estatura media inferior Estatura media no inferior μ <177 μ 177 H H 0 1 : μ 177 : μ <

34 Ejemplo H H 0 1 : μ 177 : μ < 177 Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años tienen una estatura media de μ 0 =177 cm. Se toman las alturas de 50 jóvenes madrileños en ese rango de edad y resulta x = 175.9cm sˆ = 5.93cm Hay evidencia suficiente para decir que los jóvenes madrileños tiene una estatura media inferior a la nacional? PASO 2: Estadístico de contraste PASO 3: Distribución de referencia N(0,1) PASO 4: Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo La diferencia entre la media muestral (175.9) y la hipótesis nula no es significativa (al 5%) Rechazo H 0 Acepto H 0 α=0.05 La diferencia observada se atribuye, con un nivel de significatividad del 5%, a la variabilidad de la muestra y no a diferencias reales -3-2 Valor crítico=

35 El resultado del contraste (sólo n datos) La verdad (que nunca sabré con sólo n datos) H0 cierta (H1 falsa) H0 falsa (H1 cierta) Acepto H0 (Rechazo H1) Rechazo H0 (Acepto H1) ACIERTO!! ERROR TIPO I Lo cometo con probabilidad α ERROR TIPO II Lo cometo con probabilidad que depende de cada caso ACIERTO!! Cuando demos la conclusión de un contraste debemos dar siempre el nivel de significación, para dar una medida de su precisión 35

36 Metodología general para hacer un contraste de hipótesis 1. Determinar H0 y H1 teniendo en cuenta que H0 debe tener el signo = y que el método favorecerá dicha hipótesis. 2. Buscar el estadístico de contraste que será la medida de discrepancia entre la muestra y H0. 3. A partir de las propiedades del estadístico de contraste, y el nivel de significación, delimitamos con los valores críticos las regiones de aceptación y rechazo. 4. Localizamos si el valor que toma el estadístico de contraste cae en la región de aceptación o en la de rechazo. 36

37 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 37

38 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor El resultado de un contraste tiene dos elementos: 1. Aceptamos o rechazamos H0 2. El nivel de significación α Conclusión del contraste Medida de su incertidumbre El nivel de significación es una medida de incertidumbre poco precisa Ejemplo Hacemos el contraste H < con α = 0.05 : μ μ ; H : μ μ Caso 1 Caso 2 Rechazo H 0 Acepto H 0 α = 0.05 Rechazo H 0 Acepto H 0 α = t 0 =-1.7 Rechazamos H0 t 0 =-3 Rechazamos H En ambos casos la conclusión sería la misma: Rechazamos con α=0.05 Sin embargo en el caso 2 estamos más seguros Cómo expresarlo? 38

39 Vamos a ver otra forma mejor de medir la incertidumbre del resultado del contraste El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo Caso 1 Rechazo H 0 Acepto H 0 α = 0.05 p-valor= t 0 =-1.7 Rechazamos H0 Como p-valor<α Rechazamos H0 El p-valor es más informativo que el nivel de significación 39

40 El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo Caso 2 Rechazo H 0 Acepto H 0 α = 0.05 p-valor= t 0 =-3 Rechazamos H0 Como p-valor<<α En este Caso 2 el p-valor es realmente Rechazamos H0 pequeño. Estamos mucho más seguros de nuestra conclusión 40

41 H : ϑ ϑ ; H : ϑ > ϑ Aceptamos H 0 Rechazamos H0 p-valor>α α t 0 p-valor<α t 0 41

42 H : ϑ ϑ ; H : ϑ < ϑ Rechazamos H 0 Aceptamos H 0 α p-valor>α t 0 p-valor<α Informática. t Universidad Carlos III de Madrid 0 42

43 H : ϑ = ϑ ; H : ϑ ϑ α /2 p-valor>α α /2 - t 0 t 0 p-valor: es la suma de las dos áreas p-valor>α - t 0 t 0 43

44 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 44

45 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza Intervalos de confianza para la media y contrastes usan la misma información T X μ = Sˆ / n N(0,1) T X μ Sˆ / n 0 0 = ~ N(0,1) H : μ = μ ; H : μ μ Rechazo H 0 Rechazo H 0 Se puede demostrar que la realización de un contraste de hipótesis bilateral H : μ = μ ; H : μ μ α /2 α /2 Acepto H 0 t 0 con nivel de significación α es equivalente a realizar un intervalo de confianza de nivel (1-a) y comprobar si μ 0 está dentro o fuera de dicho intervalo. 45

46 Ejemplo En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores del proceso productivo mantiene la media en μ 0 =290 H0 H1 μ = 290 μ 290 Con 100 observaciones: Contraste de hipótesis Rechazo H 0 Rechazo H 0 α/2=0.025 Acepto H 0 α/2=0.025 Rechazamos H 0 :μ= Intervalo de confianza de nivel (1-a) No contiene al

47 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 47

48 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes Estimación Queremos estimar la proporción de individuos p en una población que tendrá cierto atributo En una muestra de n individuos: el estimador es la proporción muestral Sea X i una variable de Bernoulli para el elemento i-ésimo de la muestra X i =1 si el elemento sí tiene el atributo X i =0 si el elemento no tiene el atributo EX ( ) = i Var( X ) = p(1 p) i p Por el Teorema Central del Límite, si n es grande 48

49 Intervalo de confianza Al ser una media muestral asintóticamente normal, se pueden usar los mismos resultados ya vistos para la media muestral EX ( ) Var X = μ 2 ( ) = σ / n X E( X) Var( X ) N(0,1) { X z Var } /2 ( X α ) μ ± 49

50 Intervalo de confianza Al ser una media muestral asintóticamente normal, se pueden usar los mismos resultados ya vistos para la media muestral Ejemplo Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche en una provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de tal forma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de personas con coche en la provincia 50

51 Tamaño muestral Cuanto debe vale n para tener un L determinado? Estimación previa con una muestra piloto Ejemplo Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche en una provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de tal forma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche. Calcula n para que en un intervalo del 95%, se tenga L=

52 Tamaño muestral Otra opción para calcular n es usar el valor de p(1-p) más desfavorable. Tendremos un valor de n sobredimensionado, pero que garantiza un intervalo de (1-a) p(1-p) p En el ejemplo anterior con L=

53 Contraste de hipótesis PASO 4: PASO 1: PASO 2: H : p= p ; H : p p (a) Rechazo H 0 Rechazo H 0 Acepto H 0 Z 0 = pˆ pq 0 0 p 0 / n (a) Rechazo H 0 H : p p ; H : p> p (b) (b) Acepto H 0 PASO 3: H : p p ; H : p< p (c) N(0,1) Rechazo H 0 Acepto H 0 (c) La región de rechazo está donde señala H 1 53

54 Ejemplo Un proceso productivo que fabrica semiconductores produce un 2% de artículos defectuosos cuando funciona adecuadamente. Se adquiere una nueva máquina basada en una tecnología más avanzada. Después de producir 200 artículos se encuentra que 2 son defectuosos. Se puede afirmar que la nueva máquina ha mejorado la calidad de la producción? La nueva máquina SI mejora el proceso p<0.02 Dos opciones La nueva máquina NO mejora el proceso p 0.02 Rechazo H 0 Acepto H 0 No podemos rechazar, con un nivel de significación del 5%, que el proceso siga igual

55 Tema 6: Inferencia con muestras grandes 1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes 2. Determinación del tamaño muestral 3. Introducción al contraste de hipótesis 4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes 5. Interpretación de un contraste usando el p-valor 6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud 55

56 8. Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud Sea θˆmv el estimador de máxima verosimilitud del parámetro q Los estimadores de máxima verosimilitud cumplen, para muestras grandes L(q) es la función soporte Intervalo de confianza Al ser asintóticamente normal, se pueden usar los mismos resultados que ya vimos anteriormente es la misma expresión que pero sustituyendo q por ˆMV θ 56

57 Ejemplo La velocidad de una molécula, según el modelo de Maxwell, es una variable aleatoria con función de densidad, En el tema anterior vimos que 57

58 Contraste de hipótesis PASO 4: PASO 1: PASO 2: H : θ = θ ; H : θ θ Rechazo H 0 Rechazo H 0 (a) Z 0 = ˆ θ MV θ 0 Var( ˆ θ ) MV (a) Acepto H 0 Rechazo H 0 H : θ θ ; H : θ > θ (b) (b) Acepto H 0 PASO 3: H : θ θ ; H : θ < θ (c) N(0,1) Rechazo H 0 Acepto H 0 (c) La región de rechazo está donde señala H 1 58