CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN POBLACIONES NORMALES

Transcripción

1 CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN POBLACIONES NORMALES Antonio Morillas A. Morillas: C. de H. en P. Normales 1

2 CONTRASTE EN POBLACIONES NORMALES En este tema, aplicaremos lo visto en el anterior para el caso de poblaciones normales: 1. Media: a. Varianza poblacional conocida b. Varianza poblacional desconocida. Diferencia de medias: a. Varianzas poblacionales conocidas b. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales c. Muestras apareadas A. Morillas: C. de H. en P. Normales

3 CONTRASTE EN POBLACIONES NORMALES 1. Varianza: a. Media poblacional conocida b. Media poblacional desconocida. Igualdad de varianzas: a. Medias poblacionales conocidas b. Medias poblacionales desconocidas 3. Proporción 4. Diferencia de proporciones A. Morillas: C. de H. en P. Normales 3

4 CONTRASTE DE LA MEDIA 1. VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA ( : Hipótes nula: H : = Distribución de la población bajo H : Estadístico de prueba: > < ~ N(, Rechazar H (Z /,Z 1-/ Z 1- Z X x~ N(, Z x ~ N(,1 n / n A. Morillas: C. de H. en P. Normales 4

5 CONTRASTE DE LA MEDIA 1.. VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA: Hipótes nula: H : = Distribución de la población bajo H : Estadístico de prueba: t X ~ N(,? x x ~ t s/ n s/ n1 n 1 > < Rechazar H t obs (t /, t 1-/ t obs t 1- t obs t A. Morillas: C. de H. en P. Normales 6

6 CONTRASTE DIFERENCIA DE MEDIAS 1. VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS (X e Y, ind.: Hipótes nula: x - y = ; con Distribución de las poblaciones bajo H : Estadístico de prueba: Z X ~ N(, ; Y ~ N(, x y ( ( ~ N(,1 n n x y x - y x - y > x - y < Rechazar H (Z /,Z 1-/ Z 1- Z A. Morillas: C. de H. en P. Normales 8

7 CONTRASTE DIFERENCIA DE MEDIAS. VARIANZAS DESCONOCIDAS, PERO IGUALES : Hipótes nula: x - y = ; con Estimador de la varianza común: Estadístico de prueba: ( n 1 sˆ ( n 1 sˆ n s n s s x y x y p n n n n ( ( ~ t s 1 n 1 n n n p x - y x - y > x - y < Rechazar H t obs (t /, t 1-/ t obs t 1- t obs t A. Morillas: C. de H. en P. Normales 9

8 CONTRASTE DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS 4. MUESTRAS APAREADAS: Objeto: evitar pobles alteraciones, debidas a factores externos, en el momento de la observación de ambas poblaciones Se toman n pares de observaciones y se trabaja con las diferencias, que se supone son extraídas aleatoriamente de la población de diferencias d i = x i -y i d i N( d, d d, es desconocida (menor que la disperón de la diferencia de medias d = E(d i = E(x i y i = E(x i E(y i = x - y = contraste sobre d Estadístico de prueba bajo H : d = : Reglas de deción, como en media con desconocida d d d i ~ t n s / n 1 n 1 d A. Morillas: C. de H. en P. Normales 13

9 1. MEDIA CONOCIDA: CONTRASTE DE LA VARIANZA Hipótes nula: H : ( x Estimador de la varianza poblacional: s i n ns Estadístico de prueba: ~ n Rechazar H (, obs / 1 / obs 1 obs A. Morillas: C. de H. en P. Normales 18

10 CONTRASTE DE LA VARIANZA 1. MEDIA DESCONOCIDA: Hipótes nula: H : Estimador de la varianza poblacional: ns Estadístico de prueba: ~ n1 s ( x x i n Rechazar H (, obs / 1 / obs 1 obs A. Morillas: C. de H. en P. Normales 19

11 CONTRASTE DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS 1. MEDIAS CONOCIDAS: - Hipótes nula: H : x 1 y n s x x n - Estadístico de prueba: x n n x ~ x x ~ F n, n n s n n y y y y n y y Rechazar H F ( F, F obs / 1 / F F obs 1 F F obs S Bajo H : x ~ F S n, n y A. Morillas: C. de H. en P. Normales 1

12 CONTRASTE DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS 1. MEDIAS DESCONOCIDAS: - Hipótes nula: H : x 1 y n xx s Estadístico de prueba: n x 1 n n x x ~ x ~ F n s n 1 n 1, n 1 yy n 1 y n 1 y y y Sˆ x ~ F Sˆ n 1, n 1 y Rechazar H F ( F, F obs / 1 / F F obs 1 F F obs A. Morillas: C. de H. en P. Normales

13 CONTRASTE DE LA PROPORCIÓN Hipótes nula: H : p = p Estadístico de prueba: pˆ xn / Muestras grandes: Muestras pequeñas: p p p > p p < p Z Z pˆ p pq n xnp np q Rechazar H (n grande (Z /,Z 1-/ Z 1- Z pˆ ~ Bnp (, ~ N(,1, proporción ~ N(,1, número de éxitos A. Morillas: C. de H. en P. Normales 4

14 CONTRASTE DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Hipótes nula: Estadístico: H : px py ; ( pˆxpˆy ( pxp Z y ~ N (,1 ; para n pq pyqy grande x x n x ny Para estimar p y q se utilizan las correspondientes a cada muestra Pero, H : p x -p y =, se utilizan las dos muestras en común: n pˆ n pˆ ˆ x x p y y n x n y n x n y Rechazar H p x -p y p x -p y > p x -p y < (Z /,Z 1-/ Z 1- Z A. Morillas: C. de H. en P. Normales 7

15 QUÉ HEMOS APRENDIDO EN LA LECCIÓN ª? Contraste de hipótes en poblaciones normales Fundamental: saber estadístico de prueba (curso anterior Definir región crítica, según Observar el valor muestral y decidir según confianza A. Morillas: C. de H. en P. Normales 9