Determinación del tamaño de muestra (para una sola muestra)

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1 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Determinación del tamaño de muestra (para una sola muestra) Este procedimiento determina un tamaño de muestra adecuado para la estimación o la prueba de hipótesis con respecto a alguno de las siguientes: 1. la media μ de la distribución normal.. la desviación estándar de una distribución normal 3. la proporción de éxitos θ en una distribución binomial 4. la tasa de eventos λ de una distribución de Poisson. El procedimiento encuentra un tamaño de muestra cuyo objetivo puede ser alguno de los siguientes: 1. Generar un intervalo de confianza para el parámetro con una banda o amplitud determinada.. Proporcionar la potencia necesaria a una prueba de hipótesis con respecto al valor del parámetro. Folio Stat de Ejemplo: samsize1.sgp Datos muestrales: Ninguno. Captura de datos El primer cuadro de diálogo mostrado de este procedimiento se usa para especificar el problema de interés para el analista. 005 por StatPoint, Inc. Determinación Tamaño de Muestra (Una Muestra) - 1

2 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Parámetro: Se refiere al parámetro a ser estimado. Se asume que una muestra aleatoria de tamaño n será tomada de una distribución específicada y sera usada para estimar o probar el valor del parámetro indicado. El procedimiento determinará un valor apropiado para n. Media Hipotética: El valor anticipado de la media μ. Si se realiza una prueba de hipótesis, ese valor se utilize en la hipótesis nula. Si se construye un intervalo de confianza, éste valor es usado únicamente si la amplitud deseada del intervalo se especifica en términos relativos (porcentaje). Desv. Std. Hipotética: el valor anticipado de la desviación estándar. Si realizamos una prueba de hipótesis para, éste valor constituye la hipótesis nula. Si se construye un intervalo de confianza para, este valor es usado únicamente si la amplitud deseada del intervalo se especifica en términos absolutos (no porcentaje). Si realizamos una prueba de hipótesis para μ, entonces éste valor es una parte crítica de los cálculos y debería ser conocido de manera precisa o ser un estimador confiable de los datos anteriores. Proporción Hipotética: el valor anticipado de la proporción binomial θ. Si realizamos una prueba de hipótesis, éste valor forma la hipótesis nula. Si construimos un intervalo de confianza, el valor es usado como estimación preliminar en los cálculos. Tasa Hipotética: el valor anticipado de la tasa de Poisson λ. Si realizamos una prueba de hipótesis, éste valor forma la hipótesis nula. Si construimos un intervalo de confianza, el valor es usado como estimación preliminar en los cálculos. Por ejemplo, el cuadro de diálogo de arriba indica el deseo de estimar la media de una distribución normal, con media μ=10 y desviación estándar de =3. El Segundo cuadro de diálogo proporciona información acerca del propósito del análisis: 005 por StatPoint, Inc. Determinación Tamaño de Muestra (Una Muestra) -

3 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Control: especifica el propósito entre las siguientes opciones: 1. Error absoluto: se construye un intervalo de confianza para el parámetro. Ese intervalo no debe desviarse del estimador puntual del parámetro en alguna dirección más allá que la distancia absoluta W indicada.. Error relativo: se construye un intervalo de confianza para el parámetro. Ese intervalo no debe desviarse del estimador puntual del parámetro en alguna dirección más allá que el porcentaje relative P indicado. Esto es idéntico al caso del error absoluto con W igual a P veces el parámetro especificado. 3. Potencia: si se construye una prueba de hipótesis la potencia de la prueba 100 (1-β) %, debe igualar el porcentaje especificado cuando el verdadero valor del parámetro se desvía de la hipótesis nula por la indicada Δ = Diferencia a detectar. La potencia es definida como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa. Si se va a realizar una prueba de dos colas, entonces la potencia debe ser alcanzada por arriba y por abajo del valor del parámetro especificado por la hipótesis nula. 4. Tamaño de la muestra: se refiere al tamaño de la muestra predeterminada n. Ésta opción es usada para ilustrar la curva de la potencia para un tamaño de muestra que no fue calculado por este procedimiento. Nivel de Confianza: el nivel de confianza 100(1-α)% usado cuando se construyen intervalos de confianza. El valor α también es empleado como el nivel del Error Tipo I cuando probamos hipótesis. Un Error Tipo I ocurre cuando se rechaza la hipótesis nula y es verdadera. Hipótesis Alterna: Selecccionar No igual para una prueba de dos colas, Menos que si la hipótesis alternativa es que el parámetro es menor que el valor especificado por la hipótesis nula o Mayor que si la hipótesis alternativa es que el parámetro es mayor que el valor especificado por la hipótesis nula. Sigma: Cuando estimamos o probamos la media de una normal, si se asume que la desviación estándar es conocida (Prueba Z) o si ésta sera estimada a partir de los datos (Prueba t). Por ejemplo, el cuadro de diálogo de arriba indica que una prueba de dos colas será realizada: Hipótesis nula H 0 : μ = 10 Hipótesis alternativa H A : μ 10 La probabilidad de cometer el error Tipo I (rechazar una hipótesis nula cuando es verdadera) se denota como α = 5%, mientras que la probabilidad de un Error Tipo II (no rechazar una hipótesis nula cuando es falsa) se denota por β = 10% cuando la media verdadera cae a 7 o se eleva a por StatPoint, Inc. Determinación Tamaño de Muestra (Una Muestra) - 3

4 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 La siguiente tabla puede ser útil para recordar cómo se denota la probabilidad de los errores. No Rechazar H 0 Rechazar H 0 Decisión correcta Error Tipo I Riesgo = α H 0 es verdadera H 0 es falsa Error Tipo II Riesgo = β Decisión correcta potencia = 1-β Resumen del Análisis El Resumen del Análisis muestra el resultado buscado así como el tamaño de la muestra que permitirá alcanzarlo. Determinación del Tamaño de Muestra Parámetro a estimar: media normal Potencia deseada: 90.0% para la media = 10.0 versus media = 13.0 Tipo de alternativa: no igual Riesgo alfa: 5.0% Sigma: 3.0 (por estimar) El tamaño de muestra requerido es n=13 observaciones. En el ejemplo actual, se require una muestra de n = 13 observaciones para alcanzar la potencia deseada. La Curva de la Potencia. La curva de la potencia muestra el poder de una prueba de hipótesis específica cuando el tamaño de la muestra se denota en n. 1 Curva de Potencia alfa = 0.05, sigma = 3.0, n=13 Potencia (1 - beta) Media Verdadera Es posible observar que la potencia (probabilidad de rechazar la hipótesis nula) se encuentra solamente alrededor de α cuando la media verdadera se encuentra cerca a la media especificada por la hipótesis nula y tiende a 1-β cuando la diferencia varía en alguna dirección diferente a la especificada por la Diferencia a Detectar. 005 por StatPoint, Inc. Determinación Tamaño de Muestra (Una Muestra) - 4

5 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Cálculos Media Normal Intervalo de Confianza Si se asume como conocido, encuentra el valor más pequeño de n tal que: zα / (1) n Si será estimado a partir de los datos, encuentra el valor más pequeño de n tal que tα /, n 1 () n Media de una Normal Prueba de Hipótesis Si se asume como conocido, encuentra el valor más pequeño de n tal que ( z z ) α / β Δ n Si será estimado a partir de los datos, encuentra el valor más pequeño de n tal que ( t t ) α /, n 1 β, n 1 Δ n (3) (4) Sigma de una Normal Intervalo de Confianza Encuentra el valor más pequeño de n tal que: y ( n 1) 1 (5) χ α /, n 1 ( n 1) 1 (6) χ 1 α /, n por StatPoint, Inc. Determinación Tamaño de Muestra (Una Muestra) - 5

6 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Sigma de una Normal Prueba de Hipótesis Encuentra el valor más pequeño de n tal que: ( λz z ) α / ( λ 1) β n (7) donde o λ = si Δ > 0 (8) Δ Δ λ = si Δ < 0 (9) Proporción Binomial Intervalos de Confianza Encuentra el valor de n más pequeño tal que v1f1 α /, v v 1, θ (10) v v F 1 1 α /, v1, v y v3f1 α /, v4 v3f1 v, v 3 4 α /, v, v 3 4 θ (11) donde v nθ 1 = (1) v = ( n(1 θ ) 1) (13) v = ( nθ 1) (14) 3 v = n(1 ) (15) 4 θ Proporción Binomial Pruebas de Hipótesis Encuentra el valor de n más pequeño tal que el poder de la prueba no sea inferior al especificado, usando probabilidades exactas para la distribución binomial. 005 por StatPoint, Inc. Determinación Tamaño de Muestra (Una Muestra) - 6

7 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Tasa de Poisson Intervalos de Confianza Encuentra el valor de n más pequeño tal que: y χ1 α /,nλ λ (16) n χ α /,( nλ 1) n λ (17) Tasa de Poisson Pruebas de Hipótesis Encuentra el valor más pequeño de n tal que la potencia de la prueba no sea menor que la especificada, usando probabilidades exactas para la distribución de Poisson. Nota: Para todas las pruebas de una sola cola, se reemplaza α/ por α en las ecuaciones para las pruebas de hipótesis. 005 por StatPoint, Inc. Determinación Tamaño de Muestra (Una Muestra) - 7