ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Lucía Palma Murillo
hace 6 años
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1 ESTADÍSTICA INFERENCIAL

2 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 10 Nombre: Pruebas de hipótesis referentes al valor de la media de la población Contextualización En estadística existen dos métodos para la estimación de parámetros poblacionales: Estimación puntual. Estimación por intervalos de confianza. En la estimación puntual se emplean métodos matemáticos avanzados para calcular estimadores teóricos de diversas distribuciones de probabilidad. Este tipo de procedimientos se denomina puntual en el sentido de que obtiene fórmulas para el cálculo exacto expresado como una cantidad de un parámetro poblacional. Por otra parte, la estimación por intervalos de confianza se utiliza cuando, debido a las características de la población, no es posible estimar el valor de un parámetro de manera puntual. En este caso, se procede a calcular un rango dentro del cual se tiene una determinada certeza o confianza de que el parámetro poblacional investigado existe.

3 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 2 Introducción al Tema Actualmente los conteos poblacionales no solamente funcionan como medida de conocimiento para el gobierno que rige el estado, sino que también puede ser utilizado por empresas que se dedican a la mercadotecnia y la publicidad, pues mediante los segmentos de población en cuanto a edad, sexo y nivel de vida se pueden establecer medidas en los productos que se comercializan dentro del país, por parte del gobierno se pueden conocer las medidas para los medicamentos que se distribuyen en las distintas zonas de la región o el conteo y control de estadísticas para empleo, entre muchas cosas mas.

4 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 3 Explicación Método de intervalos de confianza para pruebas de hipótesis referentes a la media. Intervalo al (1 )100% de confianza para la media poblacional μ. Muestra grande (n > 30). Para calcular este tipo de intervalo se utiliza la siguiente fórmula: Donde: corresponde al valor de z que determina un área bajo la curva de la distribución normal de es la desviación estándar poblacional. es la media de la muestra Como la mayoría de los casos se desconoce la desviación estándar poblacional, puede emplearse la siguiente aproximación: En donde s es la desviación estándar de la muestra. Ejemplo: Supóngase que se desea estimar el tiempo promedio de vida de la memoria ram de una computadora portátil. Para ello se analiza una muestra de 50 equipos y se obtiene una duración media de horas con una desviación estándar de 190 horas. Estimar el verdadero valor promedio de la vida de la memoria r am mediante un intervalo de confianza al 90 por ciento. Solución: Con base en el enunciado del problema, se tienen los siguientes datos: = 1520 horas s = 190 horas (1 α) = 0.9 α= 0.1 n= 50

5 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 4 En consecuencia: = ( ) = Es decir, puede afirmarse con una confianza de 90% que el verdadero valor de la vida media de la memoria ram objeto de estudio está dada por el siguiente intervalo: < µ < Intervalo al (1 )100% de confianza para la media poblacional μ. Muestra pequeña (n < 30) Para estimar la media poblacional empleando muestras con menos de 30 elementos, se emplea la fórmula: En donde la distribución t se basa en (n 1) grados de libertad y el valor tα/2 se toma de la tabla de valores críticos de la t de Student. Cabe mencionar que se asume que la población de la cual se extrae la muestra se distribuye aproximadamente como una normal. Ejemplo: Supóngase que para el ejemplo anterior, únicamente es posible seleccionar una muestra de cinco equipos, con lo que se obtiene una duración media de horas con una desviación estándar de 185 horas. Estimar el verdadero valor promedio de la vida de la memoria ram mediante un intervalo de confianza al 90 por ciento. Solución: Con base en el enunciado del problema, se tienen los siguientes datos:

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 5 = 1532 horas s= 185 horas (1 α)= 0.9 α= 0.1 n= 5 Grados de libertad: 5 1= 4 En consecuencia: =1532 = 1532 176.

6 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 5 = 1532 horas s= 185 horas (1 α)= 0.9 α= 0.1 n= 5 Grados de libertad: 5 1= 4 En consecuencia: =1532 = Es decir, puede afirmarse con una confianza de 90% que el verdadero valor de la vida media de la memoria ram objeto de estudio está dada por el siguiente intervalo: < µ < Pruebas respecto a la media del proceso en el control estadístico de procesos El control estadístico de procesos se relaciona estrechamente con el control de calidad. Este concepto cobra especial interés en el campo de la industria y el sector productivo. Una de las principales herramientas para el control estadístico de procesos es la gráfica de control, la cual se obtiene al graficar periódicamente las mediciones de una variable en el tiempo. La variación que se presenta en una variable que mide una determinada característica de calidad de un producto obedece a una causa identificada o bien a una variación de carácter aleatorio. Se dice que un proceso de producción se encuentra en control si la variación de las características de calidad del producto sólo obedece al azar.

7 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 6 Conclusión Los intervalos son medios de control que se utilizan para reducir el numero de datos que se presentan en un documento, es decir, si se desea hacer un conteo estadístico del número 1 al , no es necesario poner de un número en uno, sino que se crean intervalos de las cantidades que se deseen, pueden ser de 10 en 10, o de 1000 en 1000, para representar de mejor manera la situación, esto es útil, pues al momento de graficar no se utiliza un espacio mayo y se puede apreciar la curva de comportamiento en la representación. Gracias a los intervalos se reduce el número de operación y las fórmulas funcionan de la misma manera, reduciendo el trabajo y presentado un nivel de confianza aceptable en el resultado final.

8 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 7 Gráfica de control para medias Este tipo de gráficas se utiliza para vigilar una cierta característica de calidad de un producto y se basa en el análisis de varias muestras aleatorias. Si se define la media como una variable de calidad de un proceso, se utiliza la gráfica para el control de medias como herramienta de análisis del proceso. En esta gráfica, se traza una línea central que representa el valor medio μ del proceso y se obtiene calculando el promedio del promedio de las muestras analizadas, denotado por. Paralelas a ésta, se trazan dos líneas: a la que se encuentra en la parte superior de la línea central se le denomina límite de control superior (LCS); y a la que se encuentra en la parte inferior, límite de control inferior (LCI). Estas líneas delimitan la región en la que se espera se encuentren las medias de las muestras observadas. Si, en efecto, las medias se encuentran dentro de esta región, se dice que el proceso está en control. La línea central y los límites de control se determinan con las siguientes expresiones: LCS= LCS= Donde: k = Número de muestras, cada una de tamaño n = Media de la i-ésima muestra. R i = Rango de i-ésima muestra. A 2 = Valor tomado de tablas especializadas para el control de calidad.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 8 Ejemplo: Considera la siguiente tabla en la que se consignan observaciones provenientes de diez muestras cada una con cuatro elementos acerca de medidas en pulgadas de una

9 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 8 Ejemplo: Considera la siguiente tabla en la que se consignan observaciones provenientes de diez muestras cada una con cuatro elementos acerca de medidas en pulgadas de una determinada refacción: Realiza la gráfica de control para la media. Solución. De los datos de la tabla se tiene que: k= 10 n= 4 = = 0.3 A2= (Valor obtenido de tablas especializadas de control de calidad). Estas tablas pueden consultarse en textos de control estadístico de la calidad. Consecuentemente: LCS = (0.3) LCS = LCI = (0.3) LCI = Con lo que se obtiene la siguiente figura:

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11 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 10 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes elementos. 1. Corresponde al valor de z que determina un área bajo la curva de la distribución normal de α / 2: 2. Expresa la confianza del intervalo: 3. Supongamos que se desea estimar el tiempo promedio de vida de la memoria ram de una computadora portátil. Para ello se analiza una muestra de 45 equipos y se obtiene una duración media de 1500 horas con una desviación estándar de 105 horas. Si se estima el verdadero valor promedio de la vida de la memoria ram mediante un intervalo de confianza al 95%, responde lo siguiente: 3.1 El valor de (1 α) es igual a: 3.2 El valor de α es igual a: 3.3 El valor de z α/2 viene dado por: 3.4 El intervalo de confianza está dado por:

12 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 11 Bibliografía García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica. Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana. Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill. Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana. Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM.

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