Cap. 7 : Pruebas de hipótesis

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1 Cap. 7 : Pruebas de hipótesis Alexandre Blondin Massé Departamento de Informática y Matematica Université du Québec à Chicoutimi 20 de junio del 2015 Modelado de sistemas aleatorios Ingeniería de sistemas, producción y ambiental A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 1 / 53

2 Tabla de contenidos 1. Contexto 2. Nivel de confianza 3. Poblacíon normal Media con varianza conocida Media con varianza desconocida Medias de dos poblaciones Varianza de una población normal 4. Bondad de ajuste A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 2 / 53

3 Prueba de hipótesis Habemos visto como estimar parámetros de manera puntual y con intervalos; Aqui, nos interesamos a probar si una hipótesis a cerca de una muestra parece razonable o no; Por ejemplo, se lanza un dado 100 veces y se notan los resultados : Es el dado trucado? Resultados Números Para contestar se utiliza una prueba χ 2 de Pearson. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 3 / 53

4 Hipótesis La hipótesis que queremos verificar se llama hipótesis nula, denotada por H 0 ; En varios casos, la hipótesis nula sera de la forma siguiente: θ = θ 0, θ θ 0 y θ θ 0, donde θ es un parámetro desconocido y θ 0 es un valor que deseamos verificar si es coherente con la muestra; Cuando la muestra es coherente con la hipótesis nula, dicemose que la hipótesis se acepta; De otra manera, dicemos que se rechaza. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 4 / 53

5 Aceptación y rechazo Hay que tener cuidado con la terminología; Aceptar una hipótesis no significa que es verdadera, pero que no es incoherente con los datos de la muestra; Rechazar una hipótesis significa que los datos parecen incompatibles con esta hipótesis; Suponemos que deseamos probar la hipótesis H 0 : θ < 1 para una población normal con una muestra de tamaño 10 con media 1,25; En varios casos, H 0 se acepta porque no tenemos razones suficientes para rechazar la hipótesis. Pero si la media es 3,1, parece muy improbable que la hipótesis θ < 1 sea razonable y entonces se rechaza. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 5 / 53

7 Hipótesis simples y compuestas Sea una población de distribution F θ, donde θ es el único parámetro desconocido de F ; Deseamos formular una hipótesis H 0 cerca de θ; Por ejemplo, H 0 : θ = 1 o H 0 : θ 1; En el caso θ = 1, si la hipótesis se acepta, entonces podemos describir completamente la distribución: dicemos que la hipótesis es simple; En el caso θ 1, no podemos describir completamente la distribución: dicemos que la hipótesis es compuesta. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 7 / 53

8 Zona crítica Cualquiera hipótesis H 0 cerca de un parámetro θ induce una zona C de R n de tal manera que La hipótesis se acepta si (X 1, X 2,..., X n ) / C; La hipótesis se rechaza si (X 1, X 2,..., X n ) C; Por ejemplo, una prueba posible para una población normal de varianza 1 es que su media θ = 1 y induce la zona crítica { n C = (X 1, X 2,..., X n ) : i=1 X i 1 n > 1,96 }. n De hecho, es el complemento del intervalo de confianza para α = 0,95. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 8 / 53

9 Típos de errores Cuando se hace una prueba de hipótesis, algunos errores se pueden encontrar; Por ejemplo, es posible de rechazar H 0 mientras que la hipótesis es de hecho correcta: es un error de típo I; De lo contrario, si se acepta H 0 mientras que no es correcta, cometemos un error de típo II; Desupés de eso, intentaremos calcular las probabilidades cometer errors de típo I o II; La idea es de fijar un límite máximo α, que se llama nivel de significado para un error de típo I; Se elige un valor para α (en general 0,1, 0,05 o 0,005) y se construye una prueba garantizando que la probabilidad de un error de típo I no puede ser mayor que α. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 9 / 53

11 Los varios casos Como en el capítulo precedente, la prueba depiende del conocimiento de los parámetros: Prueba de la media cuando la varianza es conocida; la varianza es desconocida; Prueba de la igualdad de las medias de dos poblaciones normales cuando las varianzas son conocidas; las varianzas son desconocidas y iguales; las varianzas son desconocidas y diferentes; Prueba de la varianza. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 11 / 53

13 Varianza conocida (1/3) Sea una muestra X 1, X 2,..., X n de tamaño n de una población normal de media desconocida µ y de varianza conocida σ 2 ; Deseamos probar la hipótesis nula H 0 : µ = µ 0 con respecto a la hipótesis alternativa H 1 : µ µ 0. Parece razonable aceptar H 0 si X esta bastante cerca de µ 0 ; La zona crítica es de la forma C = { (X 1, X 2,..., X n ) : X µ 0 > c }, donde c es un valor bien elegido. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 13 / 53

14 Varianza conocida (2/3) Supoenmos que deseamos un nivel de significado α, para obtenir un error de típo I menor o igual a α. Buscamos c que satisface Pero sabemos que la variable es normal estándar. P ( X µ 0 > c ) = α. Z = X µ 0 σ/ n Entonces obtenemos ( P Z > c ) n = α σ P ( Z > c ) n = α σ 2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 14 / 53

15 Varianza conocida (3/3) Entonces c n σ = z α/2 c = z α/2σ n. Así, se rechaza H 0 si n X µ 0 > z σ α/2 ; Y se acepta H 0 si n σ X µ 0 z α/2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 15 / 53

16 Ejemplo (1/2) Un señal µ se envia del punto A al punto B; El valor recibido en B sigue una distribución normal de media µ y de desviación estándar 2. La persona que recibe el señal tiene una buena razón creer que µ = 8. Prueben esta hipótesis si el señal se envia 5 veces y que la media muestral es 9,5. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 16 / 53

17 Ejemplo (2/2) Notamos que n 5 σ X µ 0 = 1,5 1,68. 2 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 17 / 53

18 Ejemplo (2/2) Notamos que n 5 σ X µ 0 = 1,5 1,68. 2 Valores posibles para diferentes niveles de significado son: z 0,1/2 1,645, z 0,05/2 1,96 y z 0,005/2 = 2,81. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 17 / 53

19 Ejemplo (2/2) Notamos que n 5 σ X µ 0 = 1,5 1,68. 2 Valores posibles para diferentes niveles de significado son: z 0,1/2 1,645, z 0,05/2 1,96 y z 0,005/2 = 2,81. Entonces, se rechaza la hipótesis si α = 0,1, pero se acepta si α = 0,05 ou α = 0,005. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 17 / 53

20 El valor p En general, se acepta o se rechaza la hipótesis según el valor de α; El valor p (en inglés p-value) es el valor crítico donde pasamos de la aceptación al rechazo; Entonces, probamos una hipótesis y calculamos su valor p; Pues, decidimos aceptar o no, según el contexto; Cuando p es grande, se acepta la hipótesis; De lo contrario, si p es pequeño, se rechaza; Los niveles los mas frecuentes son 0,01, 0,05 y 0,1. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 18 / 53

21 Ejemplo En el ejemplo precedente, suponemos ahora que los 5 valores enviados tienen una media de X = 8,5; Creemos que el verdadero valor es µ = 8; Entonces n σ Luego, el valor p es X µ 0 5 = 4 = 0,559. P ( Z > 0,559) = 2P (Z > 0,559) = 2 0,288 = 0,576. Porque nos deseamos probar una hipótesis con un nivel mayor que 0,576, se acepta H 0 ; Si la media muestra era X = 11,5, entonces el p valor sería 0,00005, y entonces rechazaríamos H 0. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 19 / 53

22 Error de típo II (1/2) Hasta ahora, habemos estudiado solamente errores de típo I; Qué pasa con errores de típo II, es decir la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis? Claramente, la probabilidad depiende de µ; Entonces, se define β(µ) = P ( X µ 0 σ/ n ) z α/2 = P ( z α/2 X ) µ0 σ/ n z α/2, la función de eficacia que represente la probabilidad de aceptar H 0 mientras que la media es µ. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 20 / 53

23 Error de típo II (2/2) Pero sabemos que Entonces β(µ) = P = P = P = P Z = X µ σ/ n ( z α/2 X µ0 ( z α/2 µ ( z α/2 + µ0 µ N (0, 1). ) σ/ n z α/2 σ/ n X µ0 µ σ/ z α/2 µ ) n σ/ n σ/ n X µ σ/ n z α/2 µ0 µ ) σ/ n ) ( µ0 µ σ/ n z α/2 Z µ0 µ σ/ n + z α/2 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 21 / 53

24 Ejemplo (1/2) En el ejemplo del señal, sea H 0 : µ = 8; Suponemos que el valor verdadero es 10; Luego n 5 σ (µ 0 µ) = 2 2 = 5. Si α = 0,05, entonces z 0,025 = 1,96 y obtenemos ( P Z ) ( 5 + 1,96 P Z ) 5 1,96 = 0,392. Así, la probabilidad de aceptar H 0 mientras que es falsa es cerca de 0,392. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 22 / 53

25 Poder estadístico (1/2) Definición La función 1 β(µ) se llama poder estadístico de la prueba. Es la probabilidad que se rechaza H 0 mientras que µ es el valor verdadero; Nota El poder estadístico se utiliza a veces para calcular el tamaño minimal de la muestra para que el error de típo II sea minimal; A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 23 / 53

26 Poder estadístico (2/2) Más precisamente, sea β la probabilidad de aceptar H 0 mientras que la media verdadera es µ 1. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 24 / 53

27 Poder estadístico (2/2) Más precisamente, sea β la probabilidad de aceptar H 0 mientras que la media verdadera es µ 1. Se aproxima β por β P ( Z µ ) 0 µ 1 σ/ n + z α/2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 24 / 53

28 Poder estadístico (2/2) Más precisamente, sea β la probabilidad de aceptar H 0 mientras que la media verdadera es µ 1. Se aproxima β por β P ( Z µ ) 0 µ 1 σ/ n + z α/2. Entonces n z β (µ 0 µ 1 ) σ + z α/2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 24 / 53

29 Poder estadístico (2/2) Más precisamente, sea β la probabilidad de aceptar H 0 mientras que la media verdadera es µ 1. Se aproxima β por β P ( Z µ ) 0 µ 1 σ/ n + z α/2. Entonces Luego n z β (µ 0 µ 1 ) σ + z α/2. n (z α/2 + z β ) 2 σ 2 (µ 1 µ 0 ) 2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 24 / 53

30 Ejemplo Siempre el mismo ejemplo del señal; Sea la hipótesis H 0 : µ = 8; Suponemos que el nivel de significado es α = 0,05; Cuál es el tamaño de la muestra necesario para tener una probabilidad mayor que 75 % rechazar H 0 si µ = 9,2? En este caso, tenemos β = 0,25 y, como z α/2 1,96, z β 0,65, obtenemos n (1,96 + 0,67)2 4 (1,2) 2 19,21. Significa que un tamaño de n = 20 es sufficiente. Nota: β(9,2) 0,235, entonces si n = 20, hay 76,5 % que la hipótesis µ = 8 se rechaza mientras que la media es 9,2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 25 / 53

32 Prueba de t (1/2) Ahora deseamos probar la media cuandao la varianza es desconocida; Las hipótesis son H 0 : µ = µ 0 y H 1 : µ µ 0. Como no conocemos σ, se estima con la varianza muestral n S 2 i=1 = (X i X) 2. n 1 Se rechaza H 0 si es bastante grande. X µ 0 S/ n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 27 / 53

33 Prueba de t (2/2) Sabemos de los capítulos precedentes que T = X µ 0 n(x S/ n = µ0 ) S sigue una distribución de Student con n 1 grados de libertad cuando µ = µ 0. Consecuamente, se propone la prueba siguiente Se acepta H0 si n(x µ0 ) S t α/2,n 1, Se rechaza H0 si n(x µ0 ) S > t α/2,n 1. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 28 / 53

34 Ejemplo (1/2) En una clínica, se estudia el nivel colesterol de 220 o más; Se prueba una nueva medicación reducir sobre 50 volontarios; Suponemos que la reducción promedio es de 14,8 con desviación estándar 6,4; Qué conclusión se puede sacar? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 29 / 53

35 Ejemplo (1/2) En una clínica, se estudia el nivel colesterol de 220 o más; Se prueba una nueva medicación reducir sobre 50 volontarios; Suponemos que la reducción promedio es de 14,8 con desviación estándar 6,4; Qué conclusión se puede sacar? Primero, tenemos H 0 : µ = 0 y H 1 : µ 0. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 29 / 53

36 Ejemplo (1/2) En una clínica, se estudia el nivel colesterol de 220 o más; Se prueba una nueva medicación reducir sobre 50 volontarios; Suponemos que la reducción promedio es de 14,8 con desviación estándar 6,4; Qué conclusión se puede sacar? Primero, tenemos H 0 : µ = 0 y H 1 : µ 0. La estadística de prueba es T = nx S = 14,8 50 6,4 16,352. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 29 / 53

37 Ejemplo (2/2) Consecuamente, se rechaza la hipótesis nula; Pero no significa que los cambios se explican por la medicación; Otras posibilidades: Efecto placebo; La temperatura durante la prueba, etc. Es importante evitar lo más posible las otras causas potenciales; Por ejemplo, es una buena idea separar en dos grupos, uno con la medicación y el otro con placebo. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 30 / 53

38 Otro ejemplo (1/2) Una compañia que vende neumáticos dice que la vida promedio de sus neumáticos es 40K kilometros; Para verificar, se prueba una muestra de 12 neumáticos: i Vida Qué podemos concluir? Las hipótesis son H 0 : µ y H 1 : µ < También X = 37,2833 y S = 2,7319. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 31 / 53

39 Otro ejemplo (2/2) En este caso, la estadística es T = 12(37, ) 2,7319 = 3,4448. Como la cantidad es menor que t 0,05,11 = 1,796, entonces H 0 se rechaza con α = 0,05; De hecho, el valor p es este caso es P (T 11 < 3,4448) = P (T 11 > 3,4448) 0,0028. Entonces, la hipótesis se rechaza para cualquiera α 0,003. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 32 / 53

41 Varianzas conocidas (1/2) Nos interesamos a las pruebas de hipótesis que verifican si dos poblaciones normales tienen la misma media; Sean (X i ) 1 i n y (Y i ) 1 i m dos muestras independentes de dos poblaciones normales de medias µ x y µ y y de varianzas conocidas σ 2 x y σ 2 y; Entonces las hipótesis son H 0 : µ x = µ y y H 1 : µ x µ y. Claramente, H 0 se rechaza si X Y no esta cerca de 0. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 34 / 53

42 Varianzas conocidas (2/2) Recordemos que X Y N ( µ x µ y, σ2 x n + σ2 y m Entonces, una prueba razonable es: ). Se acepta H0 si X Y σx/n 2 + σy/m 2 z α/2. Se rechaza H0 de otra manera, es decir si X Y > z α/2. σx/n 2 + σy/m 2 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 35 / 53

43 Varianzas desconocidas (1/2) Si las varianzas son desconocidas, debemos calcular las varianzas muestrales n Sx 2 i=1 = (X i X) 2 n y S 2 i=1 y = (Y i Y ) 2. n 1 n 1 Suponemos que las varianzas son iguales, es decir que σ 2 = σ 2 x = σ 2 y; Recordemos que S 2 p = (n 1)S2 x + (m 1)S 2 y n + m 2 (se llama la desviación estándar identificada). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 36 / 53

44 Varianzas desconocidas (2/2) Proponemos la prueba de t siguiente: Se acepta H0 si X Y t α/2,n+m 1. Sp(1/n 2 + 1/m) Se rechaza H0 si X Y > t α/2,n+m 1. Sp(1/n 2 + 1/m) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 37 / 53

46 Prueba de la varianza (1/2) Qué pasa con la varianza de una población normal? Sea (X i ) 1 i n una muestra de media µ y de varianza σ 2 ; Las hipótesis son H 0 : σ 2 = σ0 2 y H 1 : σ 2 σ0, 2 donde σ 2 0 es un número dado. Recordemos que (n 1)S 2 σ 2 sigue una distribución χ 2 con n 1 grados de libertad. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 39 / 53

47 Prueba de la varianza (2/2) Entonces, proponemos la prueba siguiente Se acepta H0 si χ 2 1 α/2,n 1 (n 1)S2 σ 2 0 χ 2 α/2,n 1. Se rechaza H0 de otra manera. La primera etapa es calcular c = (n 1)S2 σ0 2. Y se calcula el valor p que es 2 mín(p (χ 2 n 1 < c), 1 P (χ 2 n 1 < c)). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 40 / 53

49 Contexto A veces, deseamos determinar si un modelo probabilístico es correcto para un fenómeno aleatorio dado; Por ejemplo, podemos pensar que el número de accidentes industriales que suceden cada día en una fábrica sigue una distribución de Poisson; Para probar esta hipótesis, se puede observar el número de accidentes que suceden dentro de días consecutivos y verificar si es razonable que la distribución sea de Poisson; Este típo de prueba se llama bondad de ajuste (en inglés, goodness of fit test). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 42 / 53

50 Bondad de ajuste En general, tenemos primero que dividir el espacio de observaciones en zonas o en intervalos; Entonces, se cuenta el número de observaciones que son en cada zona; Luego se compara el número de observaciones con las que tendríamos en teoría; Si la diferencia entre los datos y los valores teoréticos es demasiada grande, hay que rechazar la hipótesis nula; Según que conocemos algunos parámetros o todos los parámetros de la distribución, la prueba varia. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 43 / 53

51 Parámetros todos conocidos (1/2) Para i = 1, 2,..., n, sea Y i una variable aleatoria que puede ser {1, 2,..., k}; Sea p 1, p 2,..., p k la probabilidad que obtengamos los valores 1, 2,..., k; Deseamos probar si para cada Y {Y 1, Y 2,..., Y n }, la función de probabilidad de Y se describe con los valores p i : H 0 : P (Y = i) = p i, para i = 1, 2,..., k; La hipótesis alternativa es H 1 : P (Y = i) p i, para al menos uno i {1, 2,..., k}. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 44 / 53

52 Parámetros todos conocidos (2/2) Para i = 1, 2,..., k, sea X i el número de Y j que son iguales a i; Entonces la cantidad (X i np i ) 2 es un indicador de la probabilidad que p i sea igual a P (Y = i); Mas precisamente, si es número es grande, entonces debemos rechazar H 0. La prueba es la siguiente. Sea k (X i np i ) 2 T =. np i i=1 Entonces se rechaza H 0 si T χ 2 α,k 1 ; Luego, el valor p es P (χ 2 k 1 T ). Esta prueba se llama prueba de χ 2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 45 / 53

53 Prueba de χ 2 Es más simple utilizar la fórmula siguiente para calcular T : ( k ) T = Xi 2 /np i n. i=1 También, esta prueba es una aproximación: se acepta en general la estimación si (i) np i 1 para i = 1, 2,..., k; (ii) al menos 80 % de los valores np i son mayores que 5. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 46 / 53

54 Ejemplo (1/2) Un contratista compra bombillas de una fábrica. Dicen que la calidad de las bombillas no es uniforme, pero que hay 4 categorías (A, B, C, D, E) con probabilidades respectivas 0,15, 0,25, 0,35, 0,20, 0,05. Sin embargo, el contratista tiene duda que hay demasiadas bombillas de típo E. Para verificar, compra 30 bombillas y prueba su calidad. Tiene 3 de típo A, 6 de típo B, 9 de típo C, 7 de típo D y 5 de type E. Cuál es la conclusión? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 47 / 53

55 Ejemplo (2/2) Calculamos la estadística T A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 48 / 53

56 Ejemplo (2/2) Calculamos la estadística T = , , , , ,05 30 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 48 / 53

57 Ejemplo (2/2) Calculamos la estadística T = = , , , , , , , , , ,3476. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 48 / 53

58 Ejemplo (2/2) Calculamos la estadística T = = , , , , , , , , , ,3476. El valor p es P (T 9,3476) P (χ 2 4 9,348) 0,053. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 48 / 53

59 Ejemplo (2/2) Calculamos la estadística T = = , , , , , , , , , ,3476. El valor p es P (T 9,3476) P (χ 2 4 9,348) 0,053. Entonces, la hipótesis no se rechaza a un nivel 0,05, pero a todo nivel mayor que 0,053, de tal manera que hay duda. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 48 / 53

60 Con parámetros desconocidos Es también posible proponer una prueba cuando los parámetros son parcialmente conocidos; Suponemos que estudiamos el número de accidentes cada día en una fábrica con una media λ desconocida; Sean Y 1, Y 2,..., Y n los números de accidentes por día en una muestra. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 49 / 53

61 Con parámetros desconocidos Es también posible proponer una prueba cuando los parámetros son parcialmente conocidos; Suponemos que estudiamos el número de accidentes cada día en una fábrica con una media λ desconocida; Sean Y 1, Y 2,..., Y n los números de accidentes por día en una muestra. Problema: hay un infinito de valores posibles. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 49 / 53

62 Con parámetros desconocidos Es también posible proponer una prueba cuando los parámetros son parcialmente conocidos; Suponemos que estudiamos el número de accidentes cada día en una fábrica con una media λ desconocida; Sean Y 1, Y 2,..., Y n los números de accidentes por día en una muestra. Problema: hay un infinito de valores posibles. Solución: dividir los valores posibles en grupos. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 49 / 53

63 Dividir el espacio en zonas Por ejemplo, podemos divisir el espacio así: Région 1 : 0 accidente Région 2 : 1 accidente Région 3 : 2 o 3 accidentes Région 4 : 4 o 5 accidentes Région 5 : más de 5 accidentes A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 50 / 53

64 Dividir el espacio en zonas Por ejemplo, podemos divisir el espacio así: Région 1 : 0 accidente Région 2 : 1 accidente Région 3 : 2 o 3 accidentes Région 4 : 4 o 5 accidentes Région 5 : más de 5 accidentes Las probabilidades por grupo si la media es λ son: P 1 = P (Y = 0) = e λ P 2 = P (Y = 1) = λe λ P 3 = P (Y = 2) + P (Y = 3) = e λ λ 2 P 4 = P (Y = 4) + P (Y = 5) = e λ λ e λ λ e λ λ P 5 = P (Y > 5) = 1 (P 1 + P 2 + P 3 + P 4). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 50 / 53

65 Estimar los parámetros desconocidos Segundo problema: No conocemos λ; Solución: Se estima λ con máxima verosimilitud; Entonces, calculamos la estadística T = k i=1 (X i nˆp i ) 2 nˆp i, donde X i es el número de Y j que son contenidos en el grupo i, para i = 1, 2,..., k, y ˆp i es una estimación de la probabilidad p i cuando λ se substitue por ˆλ; Si hay m parámetros estimados con EMV, entonces se propone rechazar H 0 si T χ 2 α,k 1 m, es decir que se pierde un grado de libertad por parámetro estimado. Entonces el valor p es P (χ 2 k 1 m T ). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 51 / 53

66 Ejemplo (1/2) Suponemos que el número de accidentes cada semana es Prueben la hipótesis que el número de accidentes sigue una distribución de Poisson. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 52 / 53

67 Ejemplo (1/2) Suponemos que el número de accidentes cada semana es Prueben la hipótesis que el número de accidentes sigue una distribución de Poisson. El número total de accidentes es 95. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 52 / 53

68 Ejemplo (1/2) Suponemos que el número de accidentes cada semana es Prueben la hipótesis que el número de accidentes sigue una distribución de Poisson. El número total de accidentes es 95. La máxima verosimilitud para λ es ˆλ = 95/30 3, A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 52 / 53

69 Ejemplo (2/2) Las probabilidades de los 5 grupos son ˆp 1 0,04214, ˆp 2 0,13346, ˆp 3 0,43434, ˆp 4 0,28841, ˆp 5 0, Los valores observados son X 1 = 6, X 2 = 5, X 3 = 8, X 4 = 6 y X 5 = 5. Entonces, la estadística es T = 5 (X i 30ˆp i ) 2 21, ˆp i i=1 El valor p es P (χ 2 3 > 21,99) 1 0, , Entonces se rechaza la hipótesis que tengamos una distribución de Poisson. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 7 53 / 53