DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

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1 Probabilidad DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved

2 Combinando métodos descriptivos y probabilidades En este capítulo vamos a construir distribuciones de probabilidad mediante la presentación de los resultados posibles, junto con las frecuencias relativas que esperamos. Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved

3 Variables aleatorias Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio Su valor se determina al azar. Variables aleatorias de denotan como X. Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved

4 EJEMPLO Variables aleatorias Supongamos un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento los siguientes serían variables aleatorias: 1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x= 2, 3, 4,..., Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y = 0, 1, Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2. 6-4

5 Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria discreta tiene una cantidad finita de valores. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo. Los valores de una variable aleatoria discreta se pueden representar en una recta numérica como puntos separados por un espacio. 6-5

6 Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Suelen estar asociadas al resultado de tomar una medida. Los valores de una variable aleatoria continua se pueden representar en una recta numérica de una manera ininterrumpida. 6-6

7 EJEMPLO contínuas Distinguir entre variables aleatorias discretas y Determinar si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas. Nombrar los posibles valores para la variable aleatoria. a) El número de bombillas que se funden durante el próximo año en una habitación que tiene 10 bombillas de luz. b) El número de preguntas en una clase de una hora. c) El tiempo transcurrido entre llamadas al 911. d) cantidad de agua consumida en un mes 6-7

8 Variables aleatorias - ejemplo Variable aleatoria: Y = nº de caras al lanzar tres veces una moneda Posibles valores de Y: 0, 1, 2, 3 Si se lanza una moneda 3 veces los posibles resultados son: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX} La variable aleatoria Y: - Toma valor 0 cuando ocurre el suceso XXX - Toma valor 1 cuando ocurre XXC,XCX ó CXX - Toma valor 2 cuando ocurre CCX,CXC ó XCC - Toma valor 3 cuando ocurre CCC 6-8

9 Distribuciones de probabilidad Una distribución de probabilidad proporciona los valores posibles de la variable aleatoria X y sus correspondientes probabilidades. Una distribución de probabilidad se puede dar en forma de una tabla, como gráfica o fórmula matemática. 6-9

10 Requisitos para una distribución de probabilidad P(x) = 1 donde x asume todos los valores posibles. 0 P(x) 1 para cada valor individual de x.

11 EJEMPLO Una distribución de probabilidad discreta La tabla a la derecha muestra la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, donde X representa el número de DVDs que una persona alquila de una tienda de videos en una sola visita. x P(x)

12 EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta. x P(x)

13 EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta. x P(x)

14 EXAMPLE Identifying Probability Distributions Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta. X P(x)

15 Histograma de probabilidades Un histograma de probabilidades es un histograma en el que el eje horizontal corresponde a los valores de la variable aleatoria y el eje vertical representa la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria. 6-15

16 Probability EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento de la derecha, representa el número de DVDs que una persona alquila en una sola visita a una tienda de videos. x P(x) DVDs Rented at a Video Store Number of DVDs Rented 6-16

17 EJEMPLO Determinar la distribución de probabilidad Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad para la variable aleatoria, X = el número de caras luego de tirar una moneda justa 3 veces. EEE EEF EFE EFF x F(x) FEE x P(x) FEF FFE FFF 6-17

18 EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento lanzar una moneda 3 veces. S ={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX} X = nº de caras al lanzar una moneda tres veces x P(x) 1 8 = = = =

19 Media de una variable aleatoria discreta La media de una variable aleatoria discreta está dado por la siguiente fórmula μ x = x P x donde x es el valor de la variable aleatoria y P(x) es la probabilidad de observar el valor x. 6-19

20 EJEMPLO Calcular la media de una variable discreta aleatoria Calcular la media de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita. X x P( x) x P(x)

21 Valor esperado Debido a que la media de una variable aleatoria discreta representa lo que esperamos que ocurra a largo plazo, también se llama el valor esperado, E (X), de la variable aleatoria. 6-21

22 EJEMPLO Calcular el valor esperado para una variable aleatora discreta Supongamos que una compañía de seguros de vida vende un año de póliza de seguro de vida por $250,000 a una mujer de 49 años de edad por $ 530. Según el Instituto Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28, la probabilidad de que la mujer va a sobrevivir el año es de Calcule el valor esperado de esta póliza para la compañía de seguros. Lo que espera ganar si el asegurado sobrevive Lo que espera ganar si el asegurado sobrevive x P(x) ,000 = -249, E(X) = 530( ) + (-249,470)( ) = $

23 Varianza y desviación estándar para v.a. La varianza de una variable aleatoria discreta está dada por la fórmula: La desviación estándar : 6-23

24 EJEMPLO Calcular σ y σ 2 para una variable aleatoria discreta Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita. x P(x) x P(x) x 2 P( x) x X x X X 6-24

25 La distribución de probabilidad binomial 6-25

26 Criterios para un experimento de probabilidad binomial Un experimento se dice que es un experimento binomial si 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. Cada repetición del experimento se llama un ensayo. 2. Los ensayos son independientes. Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos. 3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes (o disjuntos), el éxito o el fracaso. 4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento. 6-26

27 Notación usada en la distribución de probabilidad binomial Número de ensayos independientes del experimento se denota n Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 p, la probabilidad de fracaso. Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces 0 < x < n. 6-27

28 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 7. Criterios Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. 6-28

29 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas. Criterios: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. 6-29

30 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar las razones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelos aleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvieron a tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo que seleccionar. Criterios: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. 6-30

31 EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial 1ER ENSAYO 2ND ENSAYO 3ER ENSAYO 4TO ENSAYO RESULTADO EEEE EEEF EEFE EEFF EFEE EFEF EFFE EFFF Número. de éxitos en el experimento? De acuerdo con el Informe al Consumidor de Air Travel, sus aviones más grandes lograron un 79.0% de vuelos a tiempo en Mayo de Suponer que se seleccionan 4 vuelos al azar en mayo del 2008 y X es el número de vuelos que estuvieron a tiempo. Construya una distribución de probabilidad para la variable aleatoria X usando un diagrama de árbol. FEEE FEEF FEFE x 0 P(x) FEFF FFEE FFEF FFFE FFFF

32 La distribución de probabilidad binomial La probabilidad de obtener x número de éxitos en n ensayos independientes en un experimento de probabilidad binomial es P x = C x p x n 1 p n x donde x=0, 1, 2,, n y p es la probabilidad de éxito. 6-32

33 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al menos 3 automóviles. (a)en una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3 autos? 6-33

34 EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = Para construir un histograma de probabilidad binomial, primero obtenemos la distribución usando la fórmula anterior. Luego, construimos el histograma de probabilidad de la distribución. X P(X) 6-34

35 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches?? 6-35

36 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches? 6-36

37 Media y desviación estándar de una variable Un experimento de probabilidad binomial, con n ensayos independientes y una probabilidad de éxito de p, tiene una media y una desviación estándar dada por las siguientes fórmulas μ x = np y σ x = np(1 p). 6-37

38 EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos. μ x = np σ x = np(1 p) 6-38