OPCIÓN A. A1. Se ha realizado un test de habilidad espacial a un grupo de niños y se han obtenido los resultados reflejados en la siguiente tabla:

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1 Bloque III Solucionario Actividades de síntesis: Estadística y probabilidad OPCIÓN A A1. Se ha realizado un test de habilidad espacial a un grupo de niños y se han obtenido los resultados reflejados en la siguiente tabla: Puntuaciones [, 3) [3, 4) [4, ) [, 6) [6, 7) [7, ) N.º de niños a) Representa los datos en un histograma. c) Halla la desviación media. b) Calcula la mediana y la moda. d) Halla el rango intercuartílico. a) b) En la distribución hay 101 datos; por tanto, la mitad es 0,. La clase mediana es la cuarta, por lo que tomaremos como valor aproximado de la mediana su marca de clase: M 60 puntos La clase modal también es la cuarta, luego M 0 60 puntos. N. de niños O Puntuaciones c) Para los cálculos formamos la siguiente tabla: [L i, L s ) x i f i F i x i f i x i - x f i [, 3) ,7 [3, 4) ,46 [4, ) , [, 6) ,96 [6, 7) ,36 [7, ) , , Para calcular la desviación media hay que calcular previamente la media: x 30,97 puntos. 101 D x 10 74, 10,64 puntos 101 d) ,; Q ,7; Q 3 60 puntos RI Q 3 Q puntos A (PAU) La variable X representa ingresos familiares medidos en miles de euros, y la tasa de ahorro está expresada por la variable Y. Se dispone de los datos siguientes: X Y 1,0 0, 0,4 0,1 1, 0,4 0, 0, 0,6 0,1 a) Dibuja el diagrama de dispersión. b) Calcula y representa la recta de regresión de Y sobre X. c) Qué tasa de ahorro se puede predecir para un ingreso familiar de 0, miles de euros? a) Y x i y i x i y i x i y i Tasa de ahorro 1,0 0, 0,6 0,4 0, O y = 0,x 0,04 0, 0,6 1,0 1,4 1,6 X 1 0, 1 0,04 0, 0,4 0,1 0,16 0,01 0,04 1, 0,4, 0,16 0,6 0, 0, 0,64 0,04 0,16 0,6 0,1 0,36 0,01 0,06 4,3 1 4,41 0,6 1,06 b) x 4,3 0,6 y 1 0, s x 4, 41 0,6 0,144 s xy 1, 06 0,6 0, 0,04 0,04 Recta de regresión de Y sobre X: y 0, (x 0,6) y 0,1x 0,041 0,144 c) Tasa de ahorro: y 0,1 0, 0,041 0,99 miles de euros 10 Solucionario

2 A3 Se dispone de seis cartulinas con los números, 3, 4,, y 9. a) Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar con esos dígitos? b) Cuántos subconjuntos de tres cartulinas se pueden formar con ellas? a) VR 6, números 6! b) C 6,3 0 subconjuntos 3!3! A4 En una empresa, el 60% de los empleados son varones, el 30% ocupa cargos de responsabilidad y el 19% cumple ambas condiciones. Se elige un empleado al azar. a) Si es varón, cuál es la probabilidad de que ocupe un cargo de responsabilidad? b) Sabiendo que ocupa un cargo de responsabilidad, cuál es la probabilidad de que sea mujer? Sea el suceso R ocupa cargo de responsabilidad. Completamos la siguiente tabla de contingencia: Hombre Mujer R R C a) P(R / Hombre) 1 9 0, b) P(Mujer / R) 1 1 0,37 30 A La siguiente tabla define la función de probabilidad de una variable X: X i P i 0, 0,1 0, 0, 0,3 a) Comprueba que es una distribución de probabilidad y represéntala gráficamente. b) Cuál es la probabilidad de que X sea menor o igual que 0? c) Calcula las siguientes probabilidades: P(X 0), P(X,) y P(0 X 3). d) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable X. a) 0,4 Probabilidad 0,3 0, 0,1 O Variable X b) P(X 0) P(X 1) P(X 0) 0, 0,1 0,3 c) P(X 0) P(X 1) P(X ) P(X ) 0, 0, 0,3 = 0,7 P(X,) P(X 1) P(X 0) P(X 1) P(X ) 0, 0,1 0, 0, 0,7 P(0 X 3) P(X 0) P(X 1) P(X ) 0,1 0, 0, 0, d) 1 0, 0 0,1 1 0, 0, 0,3 1,9 1 0, 0 0,1 1 0, 4 0, 0,3 1,9,09,09,61 Solucionario 11

3 Solucionario A6 (PAU) La compañía aérea Avión sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de 10 minutos y desviación típica de minutos. Calcula la probabilidad de que: a) Un vuelo no tenga retraso. b) El próximo vuelo llegue con no más de 10 minutos de retraso. c) El próximo vuelo llegue con no más de 0 minutos de retraso. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de minutos de retraso de un avión. Se trata de una distribución N(10, ). a) P(X 0) P Z P(Z ) 1 P(Z... ) 1 0,977 0,0 b) P(X 10) P Z P(Z... 0) 0, c) P(X 0) P Z P(Z... ) 0,977 A7 (PAU) Un estudio realizado por una compañía de seguros de automóviles establece que una de cada cinco personas accidentadas es mujer. Si se contabilizan, por término medio, 169 accidentes cada fin de semana: a) Cuál es la probabilidad de que en un fin de semana haya más de 40 mujeres accidentadas? b) Cuál es la probabilidad de que en un fin de semana haya más de 144 hombres accidentados? c) Cuál es, por término medio, el número esperado de hombres accidentados cada fin de semana? a) Sea X la variable aleatoria discreta que expresa el número de mujeres accidentadas cada fin de semana. Esta variable sigue una B(169; 0,). n p 169 0, 33, n q 169 0, 13, La variable se puede aproximar mediante una distribución normal de parámetros 169 0, 33, y 169 0,, 0,. P (X 40) P (X 40,) P Z 40, 33,, P (Z 1,9) 1 P (Z 1,9) 1 0,901 0,09 b) Sea Y la variable que expresa el número de hombres accidentados cada fin de semana. Esta variable sigue una B(169; 0,). Aplicando el teorema de De Moivre resulta que la variable Y puede aproximarse por una distribución normal de parámetros 169 0, 13, y 169 0,, 0,. P(Y 144) P(Y 144,) P Z 144, 13,, P(Z 1,79) 1 P(Z 1,79) 1 0,9633 0,0367 c) Por término medio, el número esperado de hombres accidentados cada fin de semana es: 169 0, 13,. 1 Solucionario

4 OPCIÓN B B1 La medida, en cm, de la palma de la mano extendida de 100 alumnos viene dada por la siguiente tabla: a) N. de alumnos Medida en cm N.º de alumnos [17,1) 3 [1, 19) [19, 0) 1 [0, 1) 43 [1, ) 16 [, 3) 7 [3, 4) O Medida (cm) a) Representa gráficamente la distribución. b) Halla la media y la desviación típica. c) Halla la mediana. d) Calcula los cuartiles 1.º y 3.º [L i, L s ) x i f i F i x i f i x i f i [17, 1) 17, 3 3, 91,7 [1, 19) 1, [19, 0) 19, , [0, 1) 0, , 1 070,7 [1, ) 1, [, 3), , 343,7 [3, 4) 3, , 761, b) Utilizando los datos de la tabla tenemos: x , s , 0 1,696 s 1,9 c) La mitad de los datos es 0. Por tanto, la clase mediana es la cuarta, tomaremos como aproximación a la mediana la marca de la clase mediana: M 0, cm. d) ; Q 1 19, cm ; Q 3 1, cm B Se experimentó en ocho coches un aditivo, obteniéndose los siguientes resultados relativos a la reducción de óxidos de nitrógeno. Cantidad de aditivo (X) 1 1,, Reducción de óxidos (Y) a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X y el coeficiente de correlación. b) Qué reducción de óxidos tendrá lugar si se suministra una cantidad de aditivo igual a? c) Qué fiabilidad tiene esta estimación? Justifica tu respuesta. a) Formamos la tabla: x i y i x i y i x i y i ,, 7, , 10 6, , , x 4 3 s x 90, 3,31 s x,31 1, y s y , sy 41, 6,4 s xy 36 0, 9, ,06 r 0,97 1, 6,4 Recta de regresión de Y sobre X: y 1 9, 06 (x 0,3), 31 y 3,9x 0,3 b) y 3,9 0,3 19,3. La reducción en óxidos estimada es de 19,3. c) La estimación es bastante fiable, pues r es muy próximo a 1. Solucionario 13

5 Solucionario B3 En una asociación de la tercera edad programan hacer un viaje en invierno, otro en primavera y un tercero en otoño. La agencia de viajes les ofrece las siguientes opciones: Canarias, Benidorm, Palma, Lisboa, San Sebastián y Torremolinos. De cuántas formas distintas se pueden organizar los viajes? Influye el orden y no hay repetición. Se trata de V 6, Se pueden organizar los viajes de 10 formas. B4 Se consideran dos urnas. La primera está compuesta por 3 bolas blancas y 4 negras, y la segunda, por bolas blancas y 3 negras. Se lanza una moneda al aire: si sale cara, se elige una bola de la primera urna, y si sale cruz, se elige una bola de la segunda urna. a) Calcula la probabilidad de que la bola elegida sea blanca. b) Se sabe que la bola extraída es blanca. Calcula la probabilidad de que proceda de la primera urna. 1 3 B 4 N 3 7 B 1 B 3 N B a) , b) P (Urna 1 / B) 1 0, B (PAU) La proporción de parados varones en una ciudad es del 17%. Se seleccionan personas al azar. Halla las siguientes probabilidades: a) Que estén parados 3 varones. b) Que estén parados al menos. c) Que haya más de un parado y menos de 4. d) Cuántos parados se espera que haya entre los seleccionados? Sea X la variable aleatoria que expresa el número de parados que hay entre las ocho personas seleccionadas. Se trata de una distribución binomial de parámetros n y p 0,17, es decir, B (; 0,17). 3 a) P (X 3) 0,17 3 0,3 0,104 b) P (X ) P (X ) P (X 6) P (X 7) P (X ) 6 7 0,004 0, , ,00 0,17 0,3 3 0,17 6 0,3 0,17 7 0,3 1 0,17 c) P (1 X 4) P (X ) P (X 3) 0,646 0,104 0,3730 d) El número de parados entre las ocho personas seleccionadas es: 0,17 1,36. Es decir, se espera que haya un parado. 14 Solucionario

6 B6 (PAU). En las empresas multinacionales A y B, que tienen y empleados, respectivamente, el sueldo mensual de estos se ajusta a una distribución normal, con media de 100 euros y desviación típica de 60 euros en el caso de A, y con media de 000 euros y desviación típica de 00 euros en el caso de B. Cuál de las dos empresas tiene más empleados con sueldo mensual superior a 3000 euros? Empresa A: Sea X la variable que expresa el sueldo mensual de los empleados de esta empresa. La variable X sigue una distribución normal N(100, 60). P (X 3000) P Z P (Z 1,) 1 P (Z 1,) 1 0,967 0,03 Como la empresa A tiene empleados, el número de ellos con sueldo mensual superior a 3000 euros es: , Empresa B: Sea X la variable que expresa el sueldo mensual de los empleados de esta empresa. La variable X sigue una distribución normal N(000, 00). P (X 3 000) P Z P (Z ) 1 P (Z ) 1 0,977 0,0 Como la empresa B tiene empleados, el número de ellos con sueldo mensual superior a 3000 euros es: ,0 136 Por tanto, la empresa A tiene más empleados con sueldo mensual superior a 3000 euros que la empresa B. B7 Los pesos en kg de 0 jóvenes son: 1, 49,, 3, 49, 47, 4, 0, 43, 60, 4, 4, 6, 7, 46, 49,, 4, 3, 61 a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud, siendo el extremo inferior del primer intervalo 37,. b) Dibuja el histograma de frecuencias y calcula la media y la desviación típica de los datos agrupados. c) Compara la proporción de observaciones en el primer intervalo con lo que cabría esperar bajo una distribución normal de media 0 y desviación típica 6,4. a) [L i, L s ) x i f i x i f i x i f i b) [37,; 4,) [4,; 47,) [47,;,) [,; 7,) [7,; 6,) F. absolutas 6 4 O 37, 4, 47,, 7, Peso (kg) 6, b) x ,7 kg s 17 0,7 0 33,17 s 33,17,76 c) En el primer intervalo están el 10% de los datos. P (37, X 4,) P 0 37, Z 4, 0 6, 4 6, 4 P (1,9 Z 1,17) P (1,17 Z 1,9) 0,9744 0,790 0,094 Bajo la distribución normal se encuentran el 9,4% de los datos; por tanto, valores muy similares. Solucionario 1

7 Notas: Solucionario 16 Solucionario

8 Notas: Solucionario 17