Trabajo de Verano. Matemáticas 1 o de Sociales

Transcripción

1 Trabajo de Verano. Matemáticas o de Sociales Departamento de Matemáticas. IES La Flota. Junio Nota importante: Para el examen de septiembre hay que traer un par de hojas de papel cuadriculado (de libreta), las tablas de la binomial y de la normal, calculadora y, opcionalmente, regla, colores, etc.. El Número Real. Del conjunto de números menores o iguales que y mayores que : dibuja su representación en la recta, exprésalo como intervalo y da su nombre, indica la correspondiente desigualdad.. Rellena cada casilla de la tabla con «Sí» o «No» según que cada número pertenezca o no al respectivo conjunto numérico. Los casos no evidentes tendrás que justificarlos. 5 = 8/ 9 = 4... N Z Q R. Clasifica los siguientes números según el conjunto numérico al que pertenecen: 5 ; 5; 6;...; 5 4; ; π 6; ; 64; 4. En los que son decimales (periódicos o no) has de calcular su fracción generatriz. 4. Al Sr. Pérez la han tocado en la lotería 7 6e, pero él dice que le han tocado 8 e. Al Sr. Martínez le han tocado 967e, pero él dice que le han tocado e. Calcula el error relativo que comete cada uno (con una precisión de hasta la décima) e indica cuál de los dos se equivoca más en su redondeo. 5. Dos biólogos cuentan el número de aves migratorias de dos especies diferentes. El primero cuenta 55 aves de la especie A cuando en realidad hay 55. El segundo recuenta 8 aves de la especie B cuando en realidad hay 85. Se pide: a) Encuentra el error absoluto y el error relativo en cada caso. Da el valor del error relativo redondeando a la centésima. Cuál de los dos biólogos ha errado más en su recuento? Justifícalo. 6. Extrae fuera del radical todos los factores que sea posible: a) 9 x y 8 664a 9 b 7 d) 584x 4 y 9 z 8 7. Realiza las operaciones con radicales dando el resultado lo más simplificado posible: a) 4 x 5 x d) 6 e) ( ) f) 7 7 g) h) Racionaliza y simplifica: a) d) 5+ 5 e) Expresa en notación científica los siguientes números: a) Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado tanto en notación científica como en número normal (con todas sus cifras): a) ( 7 ) (7 ) ( ) : (6 8 )

2 . A partir de la definición de logaritmo, calcula el valor de las siguientes expresiones: ( ) ) a) log () log (6) log 6 d) log e) log 6 (7) 9(. Utilizando la definición de logaritmo, calcula el valor de x en cada caso: a) log x = log x 5 = log f) log 5 ( ) = x d) log x = e) log x 9 = f) log 5 = x. Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarróllalas al máximo mediante las propiedades de x y x a los logaritmos: a) A = z A = A = 5 d) A = x y y z b c z t 4. Toma logaritmos en 7 = 68 t y despeja t. Después, utilizando la calculadora, encuentra el valor de t aproximando a la centésima. 5. La fórmula P = 5 (5 4) t nos da el número de individuos de una población, donde t es el tiempo en años. a) Cuántos individuos había en el instante inicial? Y al cabo de años? Cuánto tiempo ha de pasar para que se alcancen individuos? Da el resultado en años, meses y días.. Ecuaciones y Sistemas 6. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x(x ) (x+) = (x +) (x )(x+) = 9 x x x+ = d) x x = x y x+y = 7. Resuelve los sistemas: a) x y = 7 x y +z = 8. Resuelve por Gauss: a) x+y +z = x+y z = e) x 4 x +x = x f ) x+ = g) x = x h) x x = x y = 5 x y = x+y +z = x y +z = x y +z = x+y = x +y = x+y z = 5 x+y +5z = x+y z = 9. Tres bocadillos de jamón y cinco de queso cuestan e. Por otra parte, dos bocadillos de jamón y cuatro de queso cuestan 7e. Qué cuesta cada tipo de bocadillo?. El producto de dos números vale 4 y la suma de sus inversos vale. Encuentra dichos números. Has de tener en cuenta que el inverso de un número n es n. En una biblioteca, entre novelas, biografías y diccionarios, hay 76 libros. Hay tantas novelas como biografías y diccionarios juntos, y el número de biografías es el triple que el de diccionarios. Cuántos libros hay de cada clase?. Un jardín rectangular tiene 8 m de perímetro y m de diagonal. Cuáles son sus dimensiones?. Queremos vallar un jardín rectangular de 6 m de área y 4 m de perímetro. Qué dimensiones tiene? 4. La suma de las edades de tres hermanos es de 4 años. El mayor tiene los mismos años que los otros dos juntos. La suma de las edades del mayor y del menor es un año menos que el doble de la edad del mediano. Plantea un sistema que te permita calcular las edades de los tres hermanos.. Inecuaciones 5. Resuelve las siguientes inecuaciones dando la solución tanto mediante intervalos como gráficamente:

3 a) x x+ > x 5 x x x +6x x x d) x x+ 5 4 e) x 4 4x < f ) x + x (x ) 5 x 6. Resuelve el sistema de inecuaciones con una incógnita dando la solución tanto mediante intervalos como gráficamente: x (x ) > 8 ( x) x (x ) > 5 ( x) a) x +4x x +x+ > 7. Encuentra el recinto determinado por las siguientes inecuaciones con dos incógnitas así como los vértices del mismo. x x x y y y a) x+y 5 d) x+y x y x+y 5 y x y x 4x+y x y 6 8. Las edades de un hijo y de su padre difieren en 8 años. En qué edades del hijo los años del padre sobrepasarán al triple de los del hijo? Cuántos años cumplirá el padre cuando ya no ocurra esto? 9. Qué número positivo se podrá sumar al numerador y el denominador de la fracción 9 4 para que la nueva fracción esté comprendida entre y 5, sin ser igual a éstas? 4. Funciones. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = 5x 4x f(x) = x x +x f(x) = x + d) f(x) = 5 x x e) f(x) = x+ f ) f(x) = x x + g) f(x) = x +9 x 4 x 4x +x+ h) f(x) = x 6x +5x i) f(x) = x x+. Indica las características gráficas de la siguiente función. Y Di el nombre, haz la representación gráfica e indica las características de las funciones:

4 a) y = 7 y = 6 x y = x+4 x d) y = x 4. Lo mismo para las siguientes: a) y = ( ) x 8x y = log x y = log x d) y = 5 x + 4. Lo mismo para las las funciones definidas a trozos: x si x < a) f(x) = x 4 si x x si x < f(x) = 4x x si x < 4 si x > 4 f(x) = x si x < x si x si x < d) f(x) = x 4 si x [,] x si x 5. De las siguientes funciones, di su nombre y encuentra su ecuación. Y Y a) Dada la función f(x) = x x : a) Calcula su función inversa f (x). Cuál es el dominio de f(x)? Y el de f (x)? 7. Dada la función f(x) = x, se pide: a) Haz su representación gráfica e indica sus características x+ principales. Encuentra su función inversa f (x). 8. Dada la función f(x) = 4 x, se pide: a) Su nombre y su dominio. Haz una tabla de valores adecuada y representa la función. x 9. Representa la función f(x) = +x si x < e indica sus características. x x si x > 4. De las siguientes funciones, di su nombre y encuentra su ecuación. Y Y a) -5

5 4. Un depósito de 5 litros que está vacío se llena en minutos. Permanece lleno durante minuto y a continuación se vacía en otro minuto. Sigue vacío otros minutos. Después vuelve a repetirse el proceso de llenado y vaciado de la misma forma indefinidamente. a) Representa gráficamente la función tiempo cantidad de agua. Es función periódica? Si lo fuese, cuál es su período? Cómo estará el depósito al cabo de una hora? En el primer cuarto de hora, cuántos minutos permanece lleno el depósito? 4. Indica las características gráficas de la siguiente función. Y Límites, Continuidad y Derivadas ( ) n 4. Calcula los límites demostrando todos los pasos: a) lím n n n n+ 44. Calcula los siguientes límites: ( ) +x a) lím x x x x+ ( 5x ) x+ 5 lím x x +7 lím x x+5 x+ ( ) x+ x d) lím x x+5 x +x e) lím x x 4 x f ) lím x x+ g) lím ( x +x x x) x ( n ) n lím n n + ( x h) lím x x + i) lím x 5x x 4 ) x ( ) x+ x+ j) lím x x+ 45. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de las funciones: a) y = x 5 y = x x+ x y = x x +9 x 4 x x si x 46. Estudia la continuidad de la función f(x) = si x > x+ discontinuidad. x 47. Ídem f(x) = x si x < en x =. x 8 si x en x = y clasifica la posible 48. Estudia la continuidad de la función f(x) = x 4 x +x y clasifica las posibles discontinuidades. 49. Utilizando la definición de derivada calcula f ( ), siendo f(x) = x+5.

6 5. Utilizando la definición de derivada calcula f (), siendo f(x) = x x. Comprueba el resultado derivando por las reglas de derivación. 5. Deriva y simplifica (mientras sea posible) las siguientes funciones: a) y = x 4 x +4x y = 4 x 5 y = x x d) y = (x ) e x e) y = x+ x f ) y = x + x g) y = (x ) e x h) y = lnx x i) y = (x x) 5 j) y = (e x +lnx) 7 k) y = x 4 + ( ) x+ l) y = ln x x ) m) y = ln( ( ) x n) y = ln x+ 5. La población de una determinada especie viene dada por la fórmula p(t) = t t+5, donde el tiempo t va en meses y el número de individuos de la población p va en cientos. a) Encuentra el crecimiento medio de la población entre el instante inicial y el quinto mes. Cuál es la fórmula general de la velocidad de crecimiento de esta población? Cuál fue la velocidad de crecimiento de la población el quinto mes? 5. Un vehículo se mueve según la fórmula e = t t, donde e va en metros y t en segundos. a) Halla la velocidad media entre el instante inicial y los 5 segundos. Halla la velocidad instantánea para t = s. 54. La cotización en bolsa de una empresa a lo largo del tiempo viene dada por C = ( ) t, donde t va en semanas y C en euros. Cuál es el crecimiento medio de la cotización entre las semanas a y 5 a? Y la velocidad de crecimiento en la a semana? 6. Estadística 55. Se mide la longitud del pie (en cm) a personas y al agruparlos por intervalos se obtiene la tabla siguiente: i [,) [,) [,4) f i 6 4 a) Forma la tabla para hallar la frecuencia relativa acumulada (H i ) y dibuja el polígono de frecuencias relativas acumuladas. Encuentra el valor exacto de la mediana. En qué percentil exacto estará una persona cuyo pie mide cm?. 56. En una empresa se analiza la variable =«Edad de los trabajadores», y se obtiene la tabla siguiente: Edad [5, 5) [5, 45) [45, 55) [55, 65) N o Trabajadores Forma la tabla de frecuencias relativas acumuladas y contesta a lo siguiente: a) Representa la información tanto en un histograma como en un diagrama de sectores. Dibuja el polígono de frecuencias relativas acumuladas. A partir del polígono, encuentra aproximadamente el valor de la mediana. d) Calcula exactamente la edad correspondiente al percentil P 9. e) En qué percentil se encuentra un trabajador de 5 años? Realiza el cálculo con exactitud. f ) Encuentra el valor de los siguientes parámetros: media, desviación típica y coeficiente de variación.

7 57. Consideramos las variables e Y que representan los días de lluvia al año en Murcia y en Albacete, respectivamente. Tras tomar estos datos durante años, se han obtenido los siguientes valores: = días, σ = 4 días; Y = 45 días, σ Y = 5 días. a) En dónde están más dispersos los datos de lluvia, en Murcia o en Albacete? Justifica la respuesta. En cuántos de los años de datos los días de lluvia en Murcia estuvieron entre 4 y 4 días? Justifícalo. Si la covarianza vale 8, cuál es el coeficiente de correlación lineal? Cómo dirías que es la dependencia lineal entre estas dos variable e Y? d) Calcula las dos rectas de regresión para σ Y = 8. e) Cuántos días de lluvia se esperan en Albacete si en Murcia ha habido 5 días de lluvia? Es fiable esta estimación? Justifícalo. 58. Se calculan los parámetros estadísticos de dos variables e Y y se obtiene: = 5, σ = 4, Y = 5, σ Y = y σ Y =. a) Justifica cuál de las dos variables está más agrupada. Calcula r. Qué puedes decir de la dependencia estadística que hay entre e Y y de las estimaciones que se pueden hacer con las rectas de regresión lineal? Encuentra las rectas de regresión lineal. Estima cuál será el valor que se espera de Y para un = y cuál el que se espera de para Y = Las notas de 8 alumnos en lengua () e inglés (Y) vienen reflejadas en la tabla: Y a) Representa la nube de puntos. Calcula la media y la desviación típica de ambas variables. Cuál de las dos está más dispersa? Justifícalo. Encuentra la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. d) Halla la recta de regresión lineal de Y sobre. Estima la nota que un alumno sacará en inglés si en lengua ha obtenido un 5. Es fiable esta estimación, por qué? 6. Estudiamos la relación entre las variables =«N o de coches», e Y =«N o de TV», en hogares de familias murcianas, y se obtienen los siguientes resultados: Y\ Realiza los cálculos necesarios para encontrar el valor del coeficiente de correlación lineal (de Pearson). Indica el grado de dependencia estadística entre estas variables y comenta el grado de fiabilidad de las estimaciones que pudieran hacerse. 7. Probabilidad y Distribuciones de Probabilidad 6. Una bolsa contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Se extrae una bola al azar y si es blanca se devuelve a la bolsa, pero si es negra no se devuelve. Tras esto se saca una segunda bola. a) Organiza esta situación con un diagrama de árbol. Probabilidad de que las dos bolas sean negras. Probabilidad de que la segunda bola sea negra. d) Si la segunda bola sale negra, cuál es la probabilidad de que la primera también haya sido negra?

8 6. Entre los profesores del instituto se realiza una encuesta sobre el periódico que leen: 5 leen El País, 55 La Verdad y 5 El Mundo; leen El País y La Verdad, 5 La Verdad y El Mundo, y El País y El Mundo; y sólo hay 5 que leen los tres periódicos. Se elige un profesor al azar. a) Organiza la información mediante un diagrama de conjuntos. Probabilidad de que el profesor elegido no lea ningún periódico. Probabilidad de que lea sólo El Mundo. d) Probabilidad de que lea La Verdad pero que no lea El País. e) Probabilidad de que lea El País sabiendo que lee La Verdad. 6. En un grupo de 4 personas hay 6 que fuman. Se sabe que las posibilidades de que una persona que fuma acabe padeciendo cáncer es del 9%; sin embargo, si la persona no fuma, las posibilidades de padecer cáncer son sólo del 5%. Se elige una persona al azar. a) Organiza estos datos de forma adecuada. Probabilidad de que la persona elegida padezca cáncer. Qué porcentaje representa? Cuántas personas de estas 4 se espera que padezcan cáncer a lo largo de la vida? Si se sabe que la persona elegida acaba padeciendo cáncer, cuál es la probabilidad de que sea fumadora? 64. Se lanza un dado tres veces. Calcula las siguientes probabilidades: a) Que salgan tres números pares. Que sumen 8 puntos. Que sumen 4 puntos. 65. En una clase de 4 o hay alumnos, de los cuales 8 son chicas. De ellos, hay 9 chicas y 5 chicos que hacen matemáticas B (y el resto matemáticas A). Se elige un alumno al azar: a) Organiza la información de manera adecuada. Cuál es la probabilidad de que el elegido sea un chico? Y la probabilidad de que sea una chica que estudia matemáticas A? d) Y la probabilidad de que sea una chica sabiendo que estudia matemáticas A? 66. Utiliza las tablas para encontrar las probabilidades que se piden: a) Si B(5, 4), calcula P( = ). Si B(7, 5), calcula P( < 4). Si Z N(,), calcula P(Z <,57), P(Z > 96) y P( 5 < Z < 5). d) Si N(8,), tipifica y calcula P( ), P( < 5) y P(7 < < ). 67. La probabilidad de que una cría de ardilla sea macho es de 45. Resulta que una pareja de ardillas tienen una camada de cuatro crías. Contesta a lo que se te pide: a) Clasifica la v.a. =«N o de crías macho» Probabilidad de que las cuatro crías sean machos (pon la fórmula pero usa la tabla). Probabilidad de que haya dos machos (pon la fórmula pero usa la tabla). d) Probabilidad de que haya al menos dos hembras (usa la tabla). 68. Se sabe que la probabilidad de que un iphone salga con algún defecto es 5. En un control de calidad se eligen seis al azar. Considera la v.a. =«N o de iphone defectuosos» y calcula las siguientes probabilidades (has de escribir las fórmulas correspondientes pero, para hallar el valor, has de utilizar las tablas. a) Probabilidad de que dos estén defectuosos. Probabilidad de que los seis sean defectuosos. Probabilidad de que al menos cinco estén correctos.

9 69. La edad (en años) de un grupo de personas sigue una distribución normal N(5,). Se elige una persona al azar: a) Cuál es la probabilidad de que tenga menos de 4 años? Cuál es la probabilidad de que esté entre y 47 años? Si el grupo está formado por 5 personas, cuántas tendrán más de 5 años? 7. Se sabe que la probabilidad de que una bombilla sea defectuosa es 5. En un control de calidad se eligen siete bombillas al azar. a) Clasifica la v.a. =«N o de bombillas defectuosas». Probabilidad de que las siete sean defectuosas. Probabilidad de que dos bombillas estén defectuosas. d) Probabilidad de que al menos cinco estén correctas. 7. Los pesos de 5 estudiantes están distribuidas normalmente con una media de 6 kg y una desviación típica de 8 kg. Considera la v.a. que nos da el peso de cada alumno. Se elige un estudiante al azar. a) Indica el tipo de distribución de. Probabilidad de que pese menos de 7 kg. Qué porcentaje de estudiantes representa? Probabilidad de que pese entre 55 y 65 kg de peso Cuántos estudiantes se encontrarán entre estos límites de peso? 7. Se sabe que en la costa cantábrica un 5 % de los días hay niebla. La probabilidad de que un barco tenga algún accidente en un día de niebla es de 8, y la de tener accidente en un día sin niebla es de 5. a) Cuál es la probabilidad de que un barco tenga un accidente? Si resulta que se ha producido un accidente, cuál es la probabilidad de que haya sido en un día de niebla?