BLOQUE I : NUMEROS Y ALGEBRA

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1 BLOQUE I : NUMEROS Y ALGEBRA ) Calcula y simplifica : ( ) ( ). 8. ( 9 ) a).0 4 ; b) + ; c) + +. : ; d). : 4 ; e) log = 4.log.log ; f) ; + y ; h) log 6 + log 8 ln g) ( ) 4 ) Resuelve las ecuaciones : a) = 0; b) ; c) = ; d) ln =. ln ; e) 0 + = ; f).cos cos = 0 ) Si log = 0,48, calcula (sin utilizar la calculadora) el logaritmo (en base 0) de cada uno de estos números: a) 0 b) 9 c) 9 4) Comprueba que: log 000 a log 0 a = 4 log a ) Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes: a) + 4 = + b) = 0 9 6) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 7) Resuelve el sistema: = y 6 y = + = y + y =

2 8) Resuelve los siguientes sistemas: a) y = 0 y + = 6 b) log + log y = log log y = 9) Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de Gauss: + y + z = y + z = y + z = 0) Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación: a) 4 0, b) + > ) Resuelve el sistema de inecuaciones: ( ) ( ) < 4

3 BLOQUE II : TRIGONOMETRIA Y COMPLEJOS ) Calcula las restantes razones trigonometricas, sabiendo que: a) cos = 4, 70º<<60º b) tg= 4, 80º<<70º c) cotg=-, 90º<<80º ) Resuelve los triángulos: a) a= m, b= 8 m, A= 0º b) c= 78 m, A= 0º, B= 8º 47 c) a=4 m, b= m, c=6 m ) Uno de los lados de un triángulo es doble que el otro y el ángulo comprendido vale π. Halla los otros dos ángulos. 4) Halla el área del triángulo ABC, sabiendo que a= m, B=0º y C= 4º. B a c C b A ) Dado el triángulo, determinado por las rectas : +4.y-=0,.+y-=0, 4.-.y+7=0 Hallar: a) Coordenadas de los vértices. b) Altura del triángulo. c) Su área. 6) Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de º. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40º. Cuál es la altura de la antena?

4 7) Halla los lados y los ángulos de este triángulo: 8) Demuestra la igualdad: sen ( + y ) sen( y ) = sen sen y 9) Resuelve la siguiente ecuación: cos cos = 4 0) Resuelve: sen o o ( + 4 ) + sen ( 4 ) = ) Resuelve el siguiente sistema, dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: a) b) sen sen y = sen + sen y = sen sen y = cos cos y = 4 ) Calcula : a) ( 6 + i ) b) 4 + i c) 6 60º 00º d) = a + bi 70º ) Calcula 8 z, sabiendo que z = + i. 4) Hallar dos números complejos sabiendo que su diferencia es un número real (parte imaginaria 0), su suma tiene de parte real y su producto vale +8i. 4

5 BLOQUE III : GEOMETRIA ANALITICA Y CONICAS ( ) ) Dado el vector u, 4, halla: ( ) a) El ángulo que forma con v,. ( ) b) El valor de k para que w, k sea perpendicular a u. ( ) ( ) ) Dados los vectores a, e y, b, halla los valores de a y b para que e y sean perpendiculares, y que y =. ) Halla la ecuación de la recta que pasa por (-,) y pendiente m= -. Dibujala. 4) a) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por los puntos P(, ), Q(, 4). b) Averigua la posición relativa de la recta obtenida en a ) con la recta: = t s: y = + t ) Averigua la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: = t r: y = + 4t 6) Averigua el ángulo que forman las rectas: + y + 4 = 0; y = 7) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, ) y forma un ángulo de 4 con la recta r : 4 y + = 0. 8) Halla los vértices, los focos y la ecentricidad de la siguiente cónica: + 4y 8y + 4 = 0 9) Halla la ecuación de la parábola de vértice V(, ) y que pasa por el punto P(, ). 0) Hallar las coordenadas de los focos, vértices y ecentricidad de la hipérbola de ecuación: y = 9 6 ) Hallar la ecuación reducida de la elipse que pasa por (,) y su vértice es el punto (8,0). ) Calcula la posición relativa de la recta. + y =, respecto a la circunferencia: + y y + = 0.

6 BLOQUE IV : FUNCIONES. LIMITES Y DERIVADAS ) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = b) y = 9 c) d) ) Asocia a cada gráfica su ecuación: b) y = a) y = + ( + ) c) y = I) II) d) y = 4 III) IV) ) Representa la función y=f()=... si... < o.. si si... > Es continua? 4) Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones analíticas: a) y = + 4 b) y = c) y = 4 d) y = I) II) 6

7 III) IV) ) Halla la epresión analítica de la recta cuya gráfica es: 6) Sabiendo que ºC (grados centígrados) equivalen a 9ºF (grados Farenheit), y que 0ºC son 86ºF, averigua cuántos grados centígrados son 70ºF. 7) Representa la siguiente función: < = si y + 4 si 8) La siguiente gráfica es la de y = f (). Representa, a partir de ella, las funciones: y = f + a) ( ) b) y = f ( + ) Esta es la gráfica de la función y = f ( ). Representa, a partir de ella, la función y = f ( ) : 9) Calcula la función inversa de: f ( ) = 0) Las funciones f y g están definidas por f ( ) = y g ( ) = +. Calcula : b) a) ( f o g)( ) ( g o g o f )( ) 7

8 ) Dibuja la gráfica de: ) Considera la siguiente gráfica y responde: y = - log a) Cuál de estas es su epresión analítica? y = sen y = cos y = + cos y = + sen b) Cuál es su dominio de definición? c) Es una función continua? d) Es periódica? Cuál es su periodo? e) Qué valores mínimo y máimo alcanza? ) Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas en +infinito a) lim ( + 7) + b) lim ( ) + c) lim ( ) + 4) Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas en -infinito a) lim ( ) + b) lim ( + + 7) ) Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: a) lim( + ) b) lim( + ) 6) Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: a) lim b) + lim 0 + c) lim ( ) 7) Calcula los siguientes límites de funciones racionales, si eisten; caso contrario halla los límites laterales: + + a ) lim b ) lim c ) lim + + 8) Calcula los siguientes límites de funciones racionales simplificando previamente los factores comunes para los que se anula: 4 ( + ) a ) lim b ) lim c ) lim ) Calcula los siguientes límites de funciones racionales: a) lim + b) 4 lim + c) 6 lim + 7 0) Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: a) lim( ( + )( + ) ) b) lim( 4 ) 8

9 ) a) Estudia la continuidad de: f ( ) = si 0 si > 0 b) Representa su gráfica. ) Dada la función: si f ( ) = si > a) Estudia su continuidad. b) Represéntala gráficamente ) Halla la derivada de la función f() = en =, aplicando la definición de derivada. 4) Halla la derivada de las siguientes funciones: a) y= 4. cos ( ) b) y=. arc. sen( ) + c) y=.cos + sen. sen. d) y=ln e. log( e) y= ). + f) y= 4 ) Halla y representa gráficamente los puntos de tangente horizontal de la función: f = 8 + 6) Dada la siguiente función:. ( ) ( ) = f 4 7 a) Es creciente o decreciente en =? Y en =-? b) Halla los tramos en los que la función es creciente y en los que es decreciente. 7) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función: 4 f ( ) = + 4 8) Dada la función: 4 f ( ) = halla sus asíntotas y representa la posición de la curva respecto a ellas. 9) Dibuja la gráfica de la función: f ( ) = 0) Estudia y representa las funciones a) y =, b) y= +. 9

10 BLOQUE V : ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ) Se ha medido la temperatura en grados centígrados y la presión atmosférica en mm en una ciudad durante una semana obteniéndose los siguientes datos: Temperatura (ºC) Presión (mm) Calcula la temperatura media y la temperatura mediana de la semana. Hubo más dispersión en las temperaturas o en las presiones atmosféricas? ) Dada la variable X por la siguiente tabla de frecuencias: X f i 8 6 Calcula la media y la desviación típica utilizando la calculadora. ) El número de errores cometidos en un test por un grupo de personas viene reflejado en la siguiente tabla: Nº errores Nºpersonas Halla la mediana y los cuartiles inferior y superior, y eplica su significado. 4) En una empresa de mensajería trabajan 4 empleados y 6 directivos. El sueldo medio de todos ellos es de 909. Cuál será el sueldo medio de los directivos si sabemos que el del resto de los empleados es de 780? ) Se ha pasado una prueba de preguntas a los 0 estudiantes de un centro escolar. Los resultados obtenidos se recogen en el siguiente tabla: Nº DE ACIERTOS PORCENTAJE 0% 4% 0 % a) Calcula el número de alumnos que respondió correctamente a todas las preguntas. b) Calcula la media de aciertos de la población. c) Calcula la desviación típica. 6) La edad de los visitantes de una eposición está recogida en la siguiente tabla: EDAD [,) [,) [,4) [ 4,) [,6) [ 6,7) Nº VISITANTES a) Representa los datos en un gráfico adecuado. b) Halla, σ y C.V

11 7) Se ha medido el nivel de colesterol en cuatro grupos de personas sometidas a diferentes dietas. Las medias y las desviaciones típicas son las que figuran en esta tabla: DIETA A B C D, 88,6 0, 8 σ 7,4,6 9, 4,6 Las gráficas son, no respectivamente: Asocia a cada dieta la gráfica que le corresponde. 8) La siguiente tabla muestra el nº de gérmenes pátogenos por cm de un determinado cúltivo según el tiempo transcurrido. N º horas N º germenes 0 0 a) Halla la recta de regresión. b) Cuántos gérmenes habrá al cabo de 6 horas?. Es buena la predicción?. 4 9) Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a ) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas: a) Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. Cómo es la relación entre las variables? 0) En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de º de bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la siguiente tabla: a) Halla la recta de regresión de Y sobre X. b) Qué nota media de Ingles obtendria un alumno con un, en matematicas?

12 ) Una urna tiene ocho bolas rojas, amarilla y siete verdes. Si se etrae una bola al azar calcular la probabilidad de: a) Sea roja. b) Sea verde. c) Sea amarilla. d) No sea roja. e) No sea amarilla. ) Se etrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, blancas y 6 negras, cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? ) Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: a) La probabilidad de que salga el 7. b) La probabilidad de que el número obtenido sea par. c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. 4) En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua etranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 0% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea chica? ) De una baraja de 48 cartas se etrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: a) Las dos sean copas. b) Al menos una sea copas. c) Una sea copa y la otra espada. 6) En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el % tiene ojos castaños y el % tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene los cabellos castaños, cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c) Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? 7) En un aula hay 00 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 0 usan gafas, y son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, qué probabilidad hay de que sea hombre? 8) Se supone que de cada 00 hombres y 600 de cada 000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos: a) Con una persona sin gafas. b) Con una mujer con gafas. 9) En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide: a) Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? b) Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? c) Y si la llave escogida es la correcta, cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?