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1 2.2.- Ha sido medida la distancia de frenado (en metros) de una determinada marca de coches, según el tipo de suelo y velocidad a la que circula, los resultados en 64 pruebas aparecen en el listado siguiente: 43, 40, 41, 50, 70, 35, 38, 50, 32, 35, 36, 45, 58, 30, 33, 45, 49, 46, 47, 51, 64, 36, 39, 51, 51, 48, 49, 53, 66, 38, 41, 43, 70, 45, 46, 55, 68, 40, 53, 55, 52, 49, 50, 59, 62, 45, 48, 60, 32, 30, 40, 39, 42, 30, 35, 40, 38, 36, 46, 45, 68, 50, 69, 69. Se pide: 1. Calcular las principales medidas de posición y dispersión para los datos anteriores. 2. Existe algún dato anormal?, en caso afirmativo, cuál o cuales son. 3. Agrupando los datos anteriores en cuatro intervalos de igual amplitud, comparar las medidas de posición ahora obtenidas con las del apartado Análisis gráfico de los datos según la agrupación anterior. 1. Medidas de Posición: Máximo: 70 m. ; Mínimo: 30 m. Moda: 45 m. Mediana: 46 m. Media: X = m. Cuartiles: C 1 = 39 m. C 2 Me = 46 m. C 3 = 52.5 m. Medidas de Dispersión: Rango: 40 Semi-rango inter-cuartilico: 6.75 Varianza: Desviación típica: Cuasi-Varianza: Cuasi-Desviación típica: Error Estándar: Coeficiente de Variación: % 2. Estudio de datos anormales: X minimo = 30 ; X máximo = 70 ; Zmin imo = dato normal Z = dato no normal máximo Estadística. Ejercicios Propuestos 1

2 Continuemos con los siguientes, empezando por el dato mayor siguiente: X = 69 ; Z = dato no normal X = 68 ; Z = dato normal 3. Y por tanto los datos siguientes también seran normales. Tabla de frecuencias: X * n i N i f i F i [30 40] (40 50] (50 60] (60 70] Medidas de Posición: Intervalo modal: (40-50] Media: X = Mediana o Segundo Cuartil, me C2 = C 1 = y C 3 = Medidas de Dispersión: Varianza: Desviación típica: Cuasi-varianza: Cuasi-desviación típica: Error Estándar: Coeficiente de Varianción: % 4. Representación gráfica de los datos según la agrupación anterior Histograma Estadística. Ejercicios Propuestos 2

3 Diagrama de Frecuencias Acumuladas Las puntuaciones obtenidas por 80 opositores en una determinada prueba fueron las siguientes: 68, 84, 75, 82, 68, 90, 62, 88, 76, 93, 75, 85, 59, 71, 93, 60, 73, 88, 79, 73, 61, 65, 75, 87, 74, 62, 95, 78, 63, 72, 60, 68, 74, 69, 77, 94, 75, 82, 78, 66, 96, 78, 89, 61, 75, 95, 60, 79, 83, 71, 75, 71, 65, 76, 85, 78, 97, 67, 62, 79, 65, 80, 73, 57, 88, 78, 62, 76, 52, 74, 77, 85, 75, 76, 63, 72, 81, 73, 67, 86. Agrupando los datos en 5 intervalos de igual amplitud, se pide: 1) En el supuesto de que sólo pasan el 25% de mayor nota, cuál será la puntuación mínima para superar la oposición?. 2) Están muy dispersas las notas? Estadística. Ejercicios Propuestos 3

4 3) Con los opositores se hacen tres grupos: el descrito en el primer apartado el 35% de nota inferior al anterior el resto Cuales serán las notas mínimas para cada uno de los grupos? y cuántos opositores habrá en cada grupo?. Tabla de frecuencias: X * n i N i f i F i [52 61] (61-70] (70-79] (79 88] (88-97] ) La puntuación mínima para superar la oposición será de ) C.V. = o bien 13.37% Con lo que los datos están poco dispersos, o lo que es lo mismo, la muestra es muy homogénea. 3) Los tres grupos pedidos son: 40% 35% 25% 52 G 3 P 40 G 2 P 75 C 3 G 1 97 La cota mínima del grupo G 1, corresponde al P 75 C 3 = , y hay 20 opositores en este primer grupo G 1. La cota mínima del grupo G 2, corresponde al P 40 = 72.18, y en este grupo hay 28 opositores. En el grupo G 3 que corresponde al resto, hay 32 opositores, la frecuencia absoluta acumulada al P 40. Estadística. Ejercicios Propuestos 4

5 3.8.- Los siguientes datos representan la distribución por Pesos de 70 empleados de un centro comercial, así como su distribución por Sexo: Pesos Total (n Pi ) Hombres (n Hi ) Mujeres (n Mi ) Se pide calcular: 1. Qué Pesos están más dispersos, los correspondientes a los Hombres o a las Mujeres? 2. Medidas gráficas, de posición y dispersión adecuadas a la variable Sexo de los empleados del centro comercial. 3. Medidas de dispersión para la variable Peso de los empleados del centro comercial. 4. Existe asociación entre la variable Peso y la variable Sexo de los empleados del centro comercial. Pesos * Marcas de Clase X i Total (n Pi ) Hombres (n Hi ) Mujeres (n Mi ) n=70 n H =44 n M =26 1. CV = ; CV = H M Con lo que la variable Peso se encuentra ligeramente más dispersa en el grupo Mujer 2. Medidas Gráficas Estadística. Ejercicios Propuestos 5

6 44 26 Hombre Mujer Medidas de Posición o Centralización: Moda: m o = Grupo Hombre, frecuencia absoluta 44 El resto de medidas de Posición, Dispersión y Forma no se pueden obtener al ser una variable de tipo Nominal. 3. Medidas de dispersión para la variable Peso de los empleados del centro comercial. 4. Tabla de frecuencias observadas X = S = ; S= M 2 M S = ; S = CVM = E.S. = 1.45 Pesos Hombres Mujeres n i n.j n=70 Tabla de frecuencias esperadas: Estadística. Ejercicios Propuestos 6

7 Pesos Hombres Mujeres n i n.j n=70 Las dos variables están relacionadas. Medidas de asociación adecuadas a las dos variables. Estadístico P de Pearson: P = C de Contingencia: C= 0.26 V de Cramer: V = En una jugada de cartas: cuál es la probabilidad de que a un determinado jugador, en la primera mano, le lleguen los cuatro Ases?. NOTA: Se supone que se reparten 5 cartas a cada jugador y que la baraja tiene 52 cartas. Sea el suceso A un jugador recibe en la primera mano los 4 Ases y otra carta cualquiera. P A = ( ) Se va a elegir al delegado de un cierto curso. De los 100 alumnos del curso, 51 apoyan al candidato A y 49 al B. Se sabe que sólo votará el 80% de los alumnos. Se pide, cuál será la probabilidad de que resulte elegido como delegado el candidato B?. NOTA: La votación se gana por mayoría simple. P( B) Estadística. Ejercicios Propuestos 7

8 5.4.- De los tres profesores que forman un equipo en un determinado Departamento, se decide que uno de ellos asistirá a un congreso. A fin de elegir quien ha de asistir, se dispone una urna con tres bolas, dos blancas y una roja. Los profesores extraen una bola por orden de antigüedad en el Departamento sin reposición. Irá al congreso el que saque la bola roja. Cuál de los tres profesores tiene más probabilidad de asistir al congreso?. Los tres miembros del Departamento tienen igual probabilidad de asistir al congreso Una caja contiene 1000 tornillos, de los cuales 50 son defectuosos. Calcular la probabilidad de que al sacar 10 al azar, x sean defectuosos. SOLUCIÓN Supuesto sin reposición del tornillo extraído ( ) P pedida casos favorables = = casos posibles x 10 x Supuesto reposición del tornillo extraído ( ) 10 = x x P pedida ( 10 x) Un Tahur que tiene marcadas las 16 figuras (As, Sota, Caballo y Rey) de una baraja de 40 cartas, juega con un Matemático. El juego consiste en escoger una carta y decidir si es o no As. Si la carta no está marcada, el Tahur dirá que no es As, y si está marcada dirá que si. El Matemático dirá siempre que no es As. Quién ganará?. SOLUCIÓN La estrategia del Matemático es más eficiente para ganar el juego. Estadística. Ejercicios Propuestos 8

9 6.1.- De una urna con tres bolas blancas y dos bolas negras, se extraen dos bolas al azar, (de una en un. Se pide: Construir el espacio muestral. Probabilidad de cada uno de los sucesos elementales. Ω= {B 1 B 2 ; B 1 N 2, N 1 B 2, N 1 N 2 } = 3 = 3 = 3 = P( BB ) ; P( B N ) ; P( N B ) ; P( N N ) Una urna contiene 8 bolas Blancas y 7 Negras. Realizamos la extracción de dos bola, en el supuesto de que hemos visto que una de ellas es Negra, cuál es la probabilidad de que la otra también sea Negra?. Si suponemos extracciones Sin Reposición. Sean los sucesos C Una de las bolas extraídas Negra, y D La otra bola también es negra ( D ) P C = Si suponemos extracciones Con Reposición. ( D ) P C = Un cierto mercado de ordenadores se lo reparten dos casas comerciales. En la casa M1, el 80% de la producción pertenece al tipo T1, el 5% al tipo T2 y el 15% al tipo T3. En la casa M2 los porcentajes son A, B y C respectivamente. Se pide: Estadística. Ejercicios Propuestos 9

10 Dar una expresión lo más simplificada posible de la proporción de ordenadores tipo T1 en el mercado. Sabiendo que A=92% y que el porcentaje de ordenadores tipo T1 en todo el mercado es del 89%, comparar las producciones totales de las dos marcas. c) Si el porcentaje de ordenadores tipo T2 en todo el mercado es del 5%, qué valor tomará B?. d) Para el valor de B anterior, cuál es la proporción de ordenadores tipo T3 de la marca M2 entre el total de ordenadores tipo T3 del mercado?. P( T1) = ( 0.8 k+ a P( M1) = 0.25 P( M2) = c) El porcentaje de ordenadores T2 en la casa M2 es del 5%. d) P( M2 ) % T3 = Se sabe que la probabilidad de que el jugador A dé en el blanco al lanzar un dardo es 1/4 y la probabilidad de que dé el jugador B es 1/3. Se pide: Si cada jugador dispara dos veces, cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado una vez por lo menos?. Si cada uno dispara una vez y el blanco es alcanzado solamente una vez, cuál es la probabilidad de que A haya dado en el blanco?. c) Si A dispara dos veces, cuántas veces debe disparar B para que el blanco sea alcanzado alguna vez, con probabilidad de al menos 0.9?. Sean los sucesos: X El jugador A da en el blanco. Y El jugador B da en el blanco. Z El blanco es alcanzado por lo menos una vez P(Z) = 3 4 Sean los sucesos I= X Y, II = X Y y W El blanco es alcanzado una vez Estadística. Ejercicios Propuestos 10

11 P ( ) I = 2 W 5 c) El jugador B debe disparar 4 veces para que el blanco sea alcanzado al menos una vez con probabilidad de al menos En un jardín botánico el 35% de las plantas son del tipo A, el 15% de otro tipo B y las restantes del tipo C. Una enfermedad E aparece en el 9% de las plantas de tipo A, en el 30% de las del tipo B y en el 10% de las C. Se elige al azar una planta y resulta tener la enfermedad E, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?. Sean los sucesos: A Planta del tipo A B Planta del tipo B C Planta del tipo C E Padecer la enfermedad ( B ) P E = El número de huevos en cada puesta de una determinadas aves pueden ser {0, 1, 2}. Sea X la v.a. que nos mide el número de huevos en cada puesta, y sabemos que: ( ) P X= 0 = 0.2 ( ) P X 1 = 0.7 ( ) P X 2 = 0.3 Se pide: Función de distribución de la v.a. X Calcular la desviación típica de la variable Estadística. Ejercicios Propuestos 11

12 X p(x) F(x) σ X = Una variable aleatoria X toma tres valores consecutivos x 1, x 2 = 4 y x 3 = 5, con probabilidades respectivas 0.5, p 2 y 0.2. Sabiendo que σ 2 = 0.61, determinar el valor de x 1 y de p 2, así como la correspondiente función de distribución. X x 1 = p(x) 0.5 p 2 = F(x) Sea ha comprobado que un gran número de fenómenos naturales en Física, Química, Biología, Medicina, etc. tienen asociada una v.a. X, cuya ley de probabilidades es Kx Ke si 0< X f ( x) = 0 en el resto, con K > 0 Se pide: Valor de la constante K, para que f(x) sea una función de densidad Para K = 0.1, calcular F(x). c) Para el valor de K del apartado anterior, calcular: P X 10 y P 50 < X < 100 ( ) ( ) f(x) no depende del valor de la constante K para ser una verdadera función de densidad, siempre que K > 0, tal y como se expresa en el enunciado. Estadística. Ejercicios Propuestos 12

13 c) 0 si 0 X = 1 e si 0 < X ( ) 0.1x F x 3 P( X 10) = ; P( 50< X < 100) = El volumen de negocio de una empresa familiar del sector informático, (expresado en miles de Euros), sigue una v.a. cuya función de densidad es: f ( x) Kx si 0 < X 16 0 en el resto 1 2 = Se pide: Calcular el volumen esperado de negocio de la citada empresa Determinar su función de Distribución c) La empresa deberá de cerrar si su volumen de negocio es inferior a Cuál es la probabilidad de que la empresa cierre?. d) La empresa ampliará capital si su volumen de negocio sobrepasa los Cuál es la probabilidad de que amplíe capital?. Determinado el valor de la constante K, la función de densidad de la variable aleatoria en estudio es: 1 1 x 2 si 0 < X 16 f( x) = 8 0 en el resto µ= E( X) = 5.3 Al expresarlo en miles de, el volumen de negocio esperado para la citada empresa es de Estadística. Ejercicios Propuestos 13

14 0 X 0 1 F( x) = x 0< X X> 16 c) d) P( X 1.5) = P( X 12) = El aumento en peso y altura de una determinada especie animal tiene por función de densidad conjunta: 2 0 X 1 f ( x,y) = K x y( 1 x ) ; 0 Y 1 Son independientes las dos variables?. Las dos variables X e Y son independientes La función de Distribución conjunta de dos variables X e Y es: X 0 0 Y 0 xy 0< X < 2 ( x+ y) 16 0 < Y < 2 x 0< X < 2 F( x,y) = ( x+ 2) 8 Y 2 y X 2 ( y+ 2) 8 0 < Y < 2 X 2 1 Y 2 Se desea saber si X e Y son independientes, y calcular Estadística. Ejercicios Propuestos 14

15 ( < < < < 3 ) P 0 X 1 ; 1 Y Las dos variables no son independientes. ( 3 ) 15 P 0 < X < 1;1< Y < = = Una empresa dedicada a la venta de equipos informáticos ofrece a sus clientes dos forma de pago: Pago al contado y Pago aplazado. Se sabe que el 20% de las unidades vendidas por esa empresa lo son bajo la forma de Pago al contado. En un periodo de tiempo determinado la empresa ha realizado 5 ventas, se pide: a.- Probabilidad de que dos o más lo hayan sido bajo la forma Pago al contado. b.-probabilidad de que dos o menos lo hayan sido bajo la forma Pago aplazado. P( pedida ) = P( pedida ) = Se pretende introducir un nuevo producto en el mercado, del que se es razonable esperar que sea demandado por el 4% de la población. Determinar la probabilidad de que, consultados 1000 personas, dicho producto sea demandado por: Por tres o más personas Por cinco o menos. P( pedid 1 Estadística. Ejercicios Propuestos 15

16 12 ( ) = P pedida El 60% de los clientes de un almacén paga con dinero en metálico y el 40% con tarjeta. Calcular la probabilidad de: De 10 clientes, 4 paguen en metálico El décimo cliente es el cuarto en pagar con dinero en metálico. P( pedid = P( pedida ) = Una máquina automática produce tornillos de uno en uno. Cada tornillo fabricado tiene una probabilidad 1% de ser defectuoso. Los tornillos fabricados, son defectuosos o no, independientemente de los demás tornillos. Calcular: Probabilidad de que el primer tornillo defectuoso que se fabrique, sea el que hace el número 50. Probabilidad de que el tornillo número 20 de los fabricados sea el quinto que sale defectuoso. 3 ( ) = P pedida 7 ( ) = P pedida Estadística. Ejercicios Propuestos 16

17 8.8.- Dos máquinas producen una misma pieza. En la primera el 2% de las piezas son defectuosas, el 5% de calidad aceptable y el resto sin defecto. En la segunda son el 3%, 4% y 93% respectivamente. Realizando un muestreo con reemplazamiento, se pide: Si elegimos la primera máquina, probabilidad de que la primera pieza defectuosa que se encuentre sea la extraída con el número 10. Qué distribución seguiría este suceso?. Probabilidad de que se tengan que escoger 15 piezas de la segunda máquina para encontrar 3 defectuosas. Qué distribución sigue la v.a. que mide este suceso? c) Si se mezcla la producción total de ambas máquinas (suponemos igual producción), y escogemos una pieza al azar, probabilidad de que sea defectuosa?. d) Si de la producción total tomamos dos piezas al azar y resultan estar en buenas condiciones, probabilidad de que ambas piezas pertenezcan a la misma máquina?. P( pedida ) = Situados en la Máquina nº 2, consideramos en este apartado solamente dos sucesos: D Pieza Defectuosa D Pieza No Defectuosa con probabilidades respectivas: P( D) = 0.03 ; P( D) = P( A B) = 0.97 La v.a. X b que nos medirá en que repetición del experimento aparece la tercera pieza X bn k= 3,p= 0.03 defectuosa, tendrá por distribución: ( ) b Luego: c) d) 3 ( ) = P pedida P( D) = Ppedida [ ] = La función de densidad de la vida de una válvula es: Estadística. Ejercicios Propuestos 17

18 x ;0 X< 5 20 K f ( x ) = ; X x 2 0 ; resto de valores la válvula es susceptible de avería, sabiendo que si dura mas de 28.5 horas, se recomienda su cambio. Calcular el valor de K, para que f(x) sea una verdadera función de densidad. Un equipo posee 9 válvulas como la descrita, calcular la probabilidad de que pasadas 28.5 horas, se repongan un mínimo de 3 válvulas. c) Qué periodo de garantía tendrán las válvulas, si el fabricante desea reparar, a su cargo, como máximo el 5% de ellas?. Obtenido el valor de K, la función de densidad es: x ;0 X< f ( x ) = 16 ; X x 2 0 ; resto de valores c) 4 ( ) = P pedida 1.41 horas Una persona dispone de dos velas (i = 1, 2), el tiempo en horas hasta que la vela i-esima se consume es un a v.a. con función de densidad: Estadística. Ejercicios Propuestos 18

19 f ( x )= 2 i x i ; 0< Xi < 3 i = 1,2 9 esta persona piensa usar las velas, una a una, en el supuesto de fallar la energía eléctrica, determinar: La media y la varianza del tiempo total en que se consumirán los dos velas. La probabilidad, si se dispusiera de 150 velas como las descritas, de que pueda estar sin luz al menos 10 días, en el supuesto de fallo de energía eléctrica. (suponemos que mantiene las velas encendidas todo el dí ( ) E X = 2+ 2= 4 V( X) = = P( pedid = El peso medio de las pasajeros de un avión es de 75 Kg. con desviación típica de 7.5 Kg. Cuántos pasajeros debe admitir el avión para que la probabilidad de que la carga total supere las 3 Tm. sea igual a 0.05? El número de pasajeros admitidos será de Un control al 100% de las bombillas fabricadas por un taller del ramo, ha permitido comprobar que de las bombillas fabricadas 758 eran defectuosas. Se estima la probabilidad p de fabricar una bombilla defectuosa a partir de los resultados anteriores y se designa por X a la v.a. aleatoria que mide el Número de bombillas defectuosas en un lote de 70 bombillas escogidas al azar. Se pide: Verdadera distribución de la v.a. X Calcular las siguientes probabilidades: P X = 4 ; P X 5 ; P X 6 ( ) ( ) ( ) Estadística. Ejercicios Propuestos 19

20 c) Cuál es la probabilidad de que existan 62 bombillas No defectuosas en el lote? d) Probabilidad de que existan 82 bombillas No defectuosas en un lote de 90 bombillas? e) Si consideramos un lote de 300 bombillas, podemos admitir que la probabilidad de encontrarnos 275 bombillas en buen estado es de 0.05? X 70 = X i= 1 i ( = = ) ( = = = ) b n 70 ; p 0.05 h n 70;a 758;b según que el muestreo de las 70 bombillas se realice Con o Sin Reposición. Pero como n= 70< 0.05( a+ = 758, la distribución hipergeométrica tiende a la distribución binomial, es decir: c) d) e) X h ( n = 70;a = 758; b = 14402) b( n = 70 ; p = 0.05) P( X = 4) = 0.194, P( X 5) = , ( ) P( pedid = P( pedid = P( pedid = P X 6 = Un técnico ha estimado que el tiempo en reparar un ordenador es de 30 minutos con desviación típica de 15 minutos. Se le encarga reparar 100 ordenadores, disponiendo para ellos de una semana laboral (5 días), trabajando 8 horas diarias. Hallar la distribución aproximada del tiempo en horas necesario para la tarea. A la vista del tiempo disponible, concluirá el trabajo?. En caso afirmativo, con que probabilidad?. c) La empresa decide contratar a otro técnico, pero deberán reparar entre los dos 150 ordenadores (75 cada uno), en el mismo tiempo, cuál sería la probabilidad de que terminen el trabajo?. Estadística. Ejercicios Propuestos 20

21 c) 2 ( ) X N µ= 50; σ = 6.25 No, P( pedid = 0 P[ pedida] = El número de enfermos visitados por un médico diariamente sigue una distribución uniforme en el intervalo (20, 40). Cuál es la probabilidad de que pueda visitar mas de 6800 enfermos al cabo de un año?. (Suponemos 11 meses al año y cada mes con 20 días laborables) P( pedid = La cantidad de grano consumida diariamente por un hámster sigue una variable aleatoria X. Por término medio consume 50 grs. con una desviación típica de 5 grs. Sabiendo que: P ( 50 H X 50 + H ) = 0.8 Determinar: Valor de H utilizando la desigualdad de Tchebycheff Valor de H suponiendo que la distribución de X es Normal. H = H = 6.4 Estadística. Ejercicios Propuestos 21

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