L.A.D.E. ESTADISTICA EMPRESARIAL I (Segundo Curso) EJERCICIOS

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1 L.A.D.E. ESTADISTICA EMPRESARIAL I (Segundo Curso) EJERCICIOS Curso Académico

2 º L.A.D.E EJERCICIO Lanzamos un dado 00 veces y hemos obtenido los siguientes resultados: Construir una distribución de frecuencias y representarla gráficamente. EJERCICIO En la siguiente tabla aparecen los pesos de 40 estudiantes de una universidad americana. Estos pesos se registran con aproximación de una libra. Construir una distribución de frecuencias. Representarla gráficamente EJERCICIO 3 Se ha preguntado a 50 familias el nº de personas activas. Los resultados primarios son los siguientes: a) Construir su tabla de frecuencias. b) Representarla gráficamente.

3 º L.A.D.E EJERCICIO 4 En el departamento de personal de una fábrica se ha realizado una investigación estadística en relación a los salarios que percibe diariamente su personal por todos los conceptos. Los resultados fueron los siguientes en 0.: Se pide: a) La distribución de salarios sin agrupar en intervalos y agrupando en intervalos de igual amplitud. b) Representación gráfica mediante un histograma de la distribución obtenida en el punto a). EJERCICIO 5 Para estudiar el efecto de una determinada dieta alimenticia se ha tomado al azar una muestra de 60 personas. Los pesos obtenidos, expresados en Kg., son los siguientes: Determinar: a) La distribución de frecuencias agrupada en intervalos de clase de amplitud, redondeando si fuera necesario. b) Frecuencias de las marcas de clase, frecuencias relativas, frecuencias acumuladas y frecuencias acumuladas relativas. c) Las siguientes gráficas: C) Histograma de frecuencias (absolutas y relativas). C) El polígono acumulativo de frecuencias (absolutas y relativas). d) Estimar el tanto por ciento de personas cuyo peso está comprendido entre 75 Kg. y 85 Kg. mediante el polígono acumulativo. 3

4 º L.A.D.E EJERCICIO 6 Tomada al azar una muestra de 60 pequeñas y medianas empresas se ha obtenido la siguiente distribución acerca del número de puestos de trabajo en cada una de ellas. Puesto de trabajo Número de empresas 0 a a a a a a a a a a 000 Obtener: a) El número de empresas con más de 00 puestos de trabajo. b) El número de empresas que tienen más de 00 puestos de trabajo y menos de 400 puestos de trabajo expresado en tanto por ciento. c) Representar gráficamente la distribución. EJERCICIO 7 Se ha lanzado un dado 0 veces obteniéndose los siguientes resultados: 6,,6,3,,4,5,,5,6,,5,3,4,,4,6,,, a) Presentar dichos resultados en una tabla estadística. b) Obtener la media aritmética, mediana y moda. c) Realizar su representación gráfica. EJERCICIO 8 Teniendo en cuenta los datos del EJERCICIO 4, calcular: a) La mediana de los salarios a partir de la distribución agregada. b) La moda. c) El salario medio: ) Utilizando los datos originales. ) Con los datos agrupados. 3) Comentar los resultados obtenidos. d) El primer cuartil y el segundo decil a partir de la distribución agrupada. 4

5 º L.A.D.E EJERCICIO 9 Dada la distribución 6, 0, 0, 4. Calcular: a) La media aritmética. b) La media geométrica. c) La media cuadrática. d) La media armónica. e) Compara las diferentes medias obtenidas. EJERCICIO 0 El precio de la entrada al circo "Bermúdez e Hijos" es de 300. El precio de la entrada para adultos es de 400. y para niños acompañados de 00. Qué tanto por ciento de adultos y niños asisten a los matinales del circo?. EJERCICIO Los resultados obtenidos por un alumno en una prueba de evaluación consistente en la resolución de cinco problemas, calificados de 0 a 0 puntos cada uno de ellos, han sido los siguientes:, 8, 7,, 3. Sabiendo que la importancia de cada problema viene dada por los coeficientes:, 3,, 3,. Calcular: a) La media aritmética ponderada. b) La media geométrica ponderada. c) La media cuadrática ponderada. d) La media armónica ponderada. EJERCICIO Calcular la tasa media acumulativa de los salarios anuales siguientes: Años Salarios en miles de

6 º L.A.D.E EJERCICIO 3 Una compañía multinacional tiene cinco factorías dedicadas a la elaboración y manufactura de diferentes productos ultracongelados. Cada factoría produce un número distinto de productos. Los ingresos totales y el rendimiento por producto de cada factoría son los siguientes: Factorías Ingresos (miles de $) Rto. $/Producto Calcular el rendimiento medio por producto para el total de las factorías de la multinacional. EJERCICIO 4 Calcular todos los promedios conocidos de la distribución de frecuencias siguiente: Distribución de 00 familias con 5 hijos por el nº de varones habidos (datos de 973). Varones (X) Familias EJERCICIO 5 Un hombre viaja de A a B a una velocidad media de 30 kilómetros por hora y vuelve de B a A por la misma ruta con una velocidad media de 60 kilómetros por hora. Hallar la velocidad media para el viaje completo. EJERCICIO 6 Una empresa productora de bienes de consumo dispone de la siguiente información: Producción Clientes Hasta Más de Total 00 Calcular cual es el número de unidades de producción más demandado. 6

7 º L.A.D.E EJERCICIO 7 Dada la siguiente distribución: Intervalos n i Obtener media, mediana y moda. EJERCICIO 8 Decir si se pueden calcular la media aritmética, mediana y moda de la siguiente distribución de frecuencias: Variable n i Menos de Más de 80 6 En caso afirmativo, calcúlese. EJERCICIO 9 Dada la siguiente distribución de frecuencias: Intervalos n i a) Obtener Media, Mediana y Moda. b) Suponiendo que el primer intervalo fuera de 0-6 y el último de 4-0 comentar de qué forma influiría a los anteriores promedios. EJERCICIO 0 Demostrar que se cumple para los valores X y X la siguiente relación H G a Siendo H la media armónica, G la media geométrica y a la media aritmética. 7

8 º L.A.D.E EJERCICIO Obtener la media geométrica de las siguientes observaciones: -,, 4 Comentar el resultado obtenido. EJERCICIO Una población está dividida en tres estratos A, A y A 3. De la observación exhaustiva de la variable "x" se han obtenido los siguientes datos: Para el estrato: A : N =50 a= M o =3 A : N =00 a=7 M o =8 A 3 : N 3 =00 a=0 M o =0 Obtener la media aritmética y la moda de la población total. EJERCICIO 3 Un fabricante de tubos de televisión tiene dos tipos de tubos A y B. Los tubos tienen unas duraciones medias respectivas de.495 h. y.875 h.; las desviaciones típicas son: para el tubo A de 80 h. y para el tubo B de 30 h. Determinar: a) Qué tubo tiene mayor dispersión absoluta? b) Qué tubo tiene mayor dispersión relativa?. EJERCICIO 4 Un estudiante obtuvo en el examen de Matemáticas la calificación de y en el examen de Geografía, 3. Conociendo el resultado de la totalidad de las calificaciones obtenidas por los estudiantes examinados en ambas disciplinas. Matemáticas Geografía Puntuación n i Puntuación n i Calcular en qué asignatura obtuvo el estudiante mejor calificación. 8

9 º L.A.D.E EJERCICIO 5 Lanzando un dado 50 veces se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias: X i : n i : a) Calcular la desviación media con respecto a la media aritmética. b) Calcular la desviación mediana. c) Calcular la varianza y desviación típica. d) Calcular el coeficiente de variación de PEARSON. EJERCICIO 6 Determinar cuál de las distribuciones A y B tiene mayor grado de dispersión. Distribución A Distribución B Interv. n i Interv. n i EJERCICIO 7 Una distribución A tiene una media aritmética que es doble a la de una distribución B y una desviación típica que es la mitad de B Qué relación existe entre sus grados de dispersión?. EJERCICIO 8 Dada la distribución de frecuencias { xi, ni}, donde N=00, se sabe que la media aritmética vale 5 y la varianza vale 5. Se añaden 0 nuevas observaciones a la distribución, todas ellas con valor cinco. Qué valor tomaría el nuevo coeficiente de variación?. Contestar razonadamente. 9

10 º L.A.D.E EJERCICIO 9 Con la siguiente distribución de la variable X, probar que la variable tipificada tiene una media igual a cero y una desviación típica igual a la unidad: Xi: ni: 3 EJERCICIO 30 Dada la siguiente distribución de frecuencias conjuntas: X i Y i n ij Total = 0 Se pide: Construir una tabla de correlación, obteniendo a partir de ella las siguientes cuestiones: a) Distribuciones marginales de X e Y b) Distribución de Y condicionado a X=3 c) Covarianza d) Estudiar la posible independencia entre las variables EJERCICIO 3 Dadas las observaciones de la variable (X,Y): Y/X Determinar razonadamente: a) El valor medio de la distribución de X/Y= b) La dependencia o independencia de las variables c) Covarianza y coeficiente de correlación 0

11 º L.A.D.E EJERCICIO 3 Comprobar mediante un ejemplo que dos distribuciones de frecuencias incorrelacionadas no son necesariamente independientes. EJERCICIO 33 Comprobar que, cualquiera que sea el suceso A, se verifica: ( ) = P( A) P A donde A representa el suceso complementario del suceso A. EJERCICIO 34 Comprobar que la probabilidad del suceso O, suceso imposible, es igual a cero. EJERCICIO 35 Sean P(A), P(B) y P(A B), las probabilidades de los sucesos A, B y A B, respectivamente. Determinar, en función de ellas: ) P( AI B) ) P( A B) EJERCICIO 36 Sean P(A), P(B) y P(A B), las probabilidades de los sucesos A, B y A B, respectivamente. Determinar, en función de ellas, la probabilidad del suceso A B. EJERCICIO 37 Basándose en el resultado obtenido en el problema 33, determinar: P( A B C) EJERCICIO 38 Comprobar que para cualesquiera que sean los sucesos A y B, con P(B)>0, se verifica: P(A/B)+P(A /B)=: EJERCICIO 39 Comprobar que, para cualesquiera que sean los sucesos A, B y C, con P( C )>0, se verifica: P(A B/C)=P(A/C)+ P(B/C)-P(A B/C)

12 º L.A.D.E EJERCICIO 40 Comprobar que, para cualesquiera que sean los sucesos A y B, se verifica: P(A B) P(A) P(A B) P(A)+P(B) EJERCICIO 4 Sean A y B dos sucesos independientes en probabilidad. Comprobar que son independientes entre sí los sucesos: ) A y B ) A y B 3) A y B EJERCICIO 4 Sean A, B y C tres sucesos independientes en probabilidad. Comprobar que son independientes entre sí los sucesos: ) A, B y C ) A, B y C 3) A, B y C EJERCICCIO 43 Comprobar que si los sucesos A y B son independientes en probabilidad, se verifica: P( A B) P( A) P( B) EJERCICIO 44 Dos alumnos se presentan al examen de Estadística. La probabilidad de que apruebe el primero es de 0,7 y la de que apruebe el segundo es de 0,6. Determinar: a) La probabilidad del suceso S, consistente en que aprueben los dos. b) La probabilidad del suceso S, consistente en que apruebe al menos uno. c) La probabilidad del suceso S 3, consistente en que no apruebe ninguno. d) Si los sucesos S y S son o no independientes. e) Si los sucesos S y S son o no incompatibles. EJERCICIO 45 En la Universidad X de determinada población, se pueden estudiar dos carreras, Económicas y Derecho. Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias de los estudiantes de COU de la ciudad, que ha dado los siguientes resultados: al 30 % les gustaría estudiar únicamente Económicas, al 0 % únicamente Derecho y al 0 % ninguna de las dos. Elegido al azar un estudiante de esta ciudad, determinar razonadamente: a) La probabilidad de que le guste estudiar ambas carreras. b) La probabilidad de que, sabiendo que siente preferencia por Derecho, también le guste Económicas.

13 º L.A.D.E EJERCICIO 46 Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja: ) Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción (extracciones con reemplazamiento). ) Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta NO es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción (extracciones sin reemplazamiento). EJERCICIO 47 Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja: ) Si se suponen extracciones con reemplazamiento. ) Si se suponen extracciones sin reemplazamiento. EJERCICCIO 48 De un lote de dos piezas, del que se sabe que el 5 % son defectuosas, se efectúan extracciones con reemplazamiento (se extrae una pieza y, una vez observada, se devuelve al lote). Determinar la probabilidad de que, en tres extracciones resulte una sola pieza defectuosa. EJERCICIO 49 Determinar la probabilidad del suceso consistente en extraer una bola blanca de una urna que contiene cuatro bolas de dos colores, blanco y rojo, supuesto que las distintas composiciones de la urna sean igualmente probables. EJERCCCIO 50 Una urna A contiene cinco bolas negras y dos rojas. Otra urna B contiene tres bolas negras y dos rojas. Se traslada una bola de la urna A a la B y, a continuación, se extrae una bola de la urna B. Establecer: ) La probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea bola roja. ) Si, efectivamente, la bola extraída de la urna B es roja, determinar la probabilidad de que la bola trasladada fuese negra. EJERCICIO 5 Una empresa dedicada a la fabricación de automóviles, desea lanzar al mercado un nuevo modelo en el año 005. Al estudiar la posible situación económica que existirá 3

14 º L.A.D.E en dicho año, contempla tres alternativas: existencia de inflación, estabilidad o depresión, estimando: ) Dichas alternativas igualmente probables. ) La probabilidad deque se lance el nuevo modelo al mercado es: 0,7 si existe inflación. 0,4 si existe estabilidad. 0, si la situación es de depresión. Determinar la probabilidad de que el nuevo producto esté en el mercado en el año 005. EJERCICCIO 5 El servicio de estudios de una empresa, que proyecta concurrir a un mercado donde sólo existiría otra empresa competidora, estima que, al finalizar el ejercicio económico, sus ventas superarán las unidades con la probabilidad de: 0'8 si el precio fijado por la empresa competidora el ALTO 0'5 si el precio fijado por la empresa competidora el MEDIO 0'si el precio fijado por la empresa competidora el BAJO Además, por situaciones anteriores, el servicio de estudios determina que la probabilidad de que la empresa competidora: - fije el precio ALTO es de fije el precio MEDIO es de fije el precio BAJO es de 0. Determinar la probabilidad de que las ventas de la empresa superen las unidades. EJERCICIO 53 Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A y B. El primero puede producir mayor beneficio, pero en el 5 % de los balances arroja pérdidas, mientras que el segundo, donde la perspectiva de beneficio es menor, arroja pérdida sólo el 5 % de los casos. Se supone que el conjunto de operaciones es análogo en ambos negocios. Si analizando el resultado económico de una de las operaciones arroja pérdida. Cuál sería la probabilidad de que dicha operación correspondiese al negocio B?. EJERCICIO 54 El volumen de producción diario en tres plantas de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 000 en las segunda y 000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en las tras plantas es del %, 0,8 % y % respectivamente, determinar la probabilidad de que: ) Extraída al azar una unidad resulte NO defectuosa. ) Habiendo sido extraída una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera planta. 4

15 º L.A.D.E EJERCICIO 55 Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una gran ciudad de suerte que el 60% de los autobuses cubren el servicio de primera línea, el 30% el de la segunda y el 0% de la tercera. Se sabe que la probabilidad de que diariamente un autobús se averíe es de % en la primera línea, 4% en la segunda y % en la última. Determinar: a) La probabilidad de que en un día un autobús sufra una avería. b) Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, cuál es la probabilidad de que preste servicio en la primera línea?. EJERCICIO 56 Comprobar que siendo F(x) la función de distribución de una variante ξ cualesquiera que sean los números reales a y b, se verifica: ) P( a<ξ b) = F( b) F( a) ) P ( a ξ b) = F( b) F( a) + P( ξ = a) 3) P( a< ξ < b) = F( b) F( a) P( ξ = b) 4) P ( a ξ < b) = F( b) F( a) + P( ξ = a) P( ξ = b) EJERCICIO 57 Comprobar que, si la distribución de probabilidad de la variante ξ es de tipo continuo, se verifica que: P( ξ =x) = 0 EJERCICIO 58 Si la distribución de probabilidad de la variante ξ es de tipo continuo, comprobar que: P( a< ξ b) = P( a ξ b) = P( a ξ < b) = P( a< ξ < b) EJERCICIO 59 Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad es: ξ =x i : P ξ = x ) : /8 /8 /8 /8 /8 ( i Determinar: ) La representación gráfica de la distribución de probabilidad de la variante. ) La función de distribución de la variante. 3) La probabilidad P ( <ξ.7) 4) La probabilidad P ( ξ < 3.5) 5

16 º L.A.D.E EJERCICIO 60 Dada la variante ξ cuya función de distribución viene definida por: F(x)=0 para x<0 F(x)=/4 para 0 x < F(x)=/4 para x < F(x)=3/4 para x < 3 F(x)= para 3 x Determinar: ) La representación gráfica de dicha función de distribución. ) La distribución de probabilidad de dicha función de distribución. 3) Las probabilidades P ( ξ =,7), P( ξ = ), P(. < ξ < 3) EJERCICIO 6 Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad es: ξ =x i : 0 P ξ = x ) : /3 /3 ( i Determinar: ) La función de distribución de la variante ξ ) Las probabilidades P ( ξ > ), P( ξ,4), P( ξ = 0.5), P( < ξ 0.5) EJERCICIO 6 Una función F(x) toma los siguientes valores: F(x)=0,3 para x<0 F(x)=0,5 para 0 x < F(x)=0,6 para x < F(x)=0,55 para x < 3 F(x)= para 3 x Establecer razonadamente si dicha función puede ser la función de distribución de una variable aleatoria ξ. EJERCICIO 63 Dada la variante ξ tal que: r P(ξ = r) = k para r =,3,4,...n n P( ξ =r) = 0 para cualquier otro valor de r 6

17 º L.A.D.E Determinar k para que P ( ξ = r) sea la función de cuantía que defina la distribución de probabilidad de la variante ξ EJERCICIO 64 Dada la variante ξ tal que: r m m P(ξ = r) = e para r = 0,,,3,..., r! P( ξ =r) = 0 para cualquier otro valor de r Comprobar que así definida P ( ξ = r) es la función de cuantía que define la distribución de probabilidad de la variante ξ. EJERCICIO 65 Sea una variante aleatoria ξ, cuya función de probabilidad viene definida por la función de cuantía: k P ( ξ = x) = para r = 0,,,3,... x! P( ξ =x) = 0 para cualquier otro valor de x Se pide: ) Comprobar en qué condiciones dicha función es efectivamente una función de cuantía. ) Determinar la P ( ξ > ). EJERCICIO 66 Dada la variante ξ, cuya distribución viene definida por la función: 3 P( ξ = x) = para r = 0,,,3,4 x!(4 x)! P( ξ =x) = 0 para cualquier otro valor de x Determinar ) La función de distribución de la variante ξ ) Las probabilidades P ( ξ = 3), P( ξ,5), P( ξ.5) EJERCICIO 67 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad: 7

18 º L.A.D.E f ( x ) = 0 para x 0 f ( x) = ( x+ ) 9 para 0<x 4 3 f ( x) = ( x+ ) para <x f ( x) = x para <x 9 f ( x) = (4 x ) 9 para <x 3 f ( x ) = 9 para 3<x 6 f x = para 6 < x ( ) 0 Determinar: ) La representación gráfica de dicha función de densidad. ) La función de distribución de la variante ξ 3) La probabilidad P (.3<ξ <.4). EJERCICIO 68 Suponiendo que el tiempo de espera en el metro tiene una distribución de probabilidad definida por la función de distribución: F( x ) = 0 para x 0 F( x) = x para 0<x F( x ) = para <x F( x) = x 4 para <x 4 F x = para 4 < x ( ) Determinar: ) Dibujar la función de distribución y la función de densidad. ) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea: - superior a 3 minutos. - inferior a 3 minutos. - entre y 3 minutos. 3) Sabiendo que el tiempo de espera ha sido superior a minuto, cuál es la probabilidad de que sea superior a 3?. 8

19 º L.A.D.E EJERCICIO 69 Dada la variante ξ tal que: r P( ξ = r) = k para r=,,3,4,5. 5 ) Determinar k para que esa función sea efectivamente la función de cuantía que defina la distribución de probabilidad de la variante ξ. ) Definir, a partir de ella, la función de distribución. 3) Las probabilidades: P ( ξ < 4), P( ξ > 4), P( 3< ξ.5) EJERCICIO 70 Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad: para 0< x< 3 f ( x) = 3 0 para cualquier otro valor de x Determinar: ) Que f(x), así definida, es ciertamente la función de densidad. ) La función de distribución de la variante ξ 3) Las siguientes probabilidades P ( < ξ ), P(< ξ <.4) EJERCICIO 7 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad: x para 0< x< f ( x) = 0 para cualquier otro valor de x Determinar: ) La función de distribución de la variante ξ. ) Las siguientes probabilidades P ( ξ = 0.75), P( < ξ 0.5), P(0.3< ξ 0.8) EJERCICIO 7 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad: kx para 0< x< f ( x) = 0 para cualquier otro valor de x Determinar: 9

20 º L.A.D.E ) El valor de k, para que ciertamente f ( x ) sea la función de densidad que define a la distribución de probabilidad de la variante. ) La función de distribución de la variante ξ. 3) La probabilidad P ( 0.3 ξ 0.7) EJERCICIO 73 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad: x θe para 0 ( ) θ x f x = f(x)= θe θx 0 para x< 0 Determinar el valor de θ, para que ciertamente f(x) sea la función de densidad que define a la distribución de probabilidad de la variante ξ. EJERCICIO 74 Aun estando sometidos a control diario los artículos ofrecidos a la venta en unos grandes almacenes, se estima que la probabilidad de que en un día sean vendidos "r" artículos defectuosos es: r P( x= r) = para r = 0,,,3, Determinar la probabilidad de que en un día sean vendidos: ) Dos o más artículos defectuosos. ) Cinco artículos defectuosos. 3) Tres o menos artículos defectuosos. EJERCICIO 75 La cantidad de dinero ahorrada, aleatoria, por una persona en un mes, sigue la ley de probabilidad dada por la función de distribución: 0 para 0< x x para 0 x< F( x) = para x< x para x< 4 4 para 4 x 0

21 º L.A.D.E donde x viene expresada en miles de euros. Determinar la probabilidad de que, en un mes, la cantidad de dinero ahorrada: ) Sea superior a 000 ) Sea inferior a ) Sea superior a 500 y menor o igual a 500 EJERCICIO 76 El beneficio aleatorio, que una empresa dedicada a la prestación de un servicio público puede obtener a lo largo de un año, sigue la ley de probabilidad definida por la función de distribución: ( x ) 50 F( x) = e para x 0 ( x ) 50 F( x) = e para x > 0 donde x viene expresado en miles de euros. Determinar la probabilidad de que el beneficio obtenido: a) Sea superior a 50 miles de. b) Sea inferior a -50 miles de. c) Sea 00 millones de euros o más, sin superar los 00 miles de euros. EJERCICIO 77 La demanda diaria de un artículo sigue la ley de probabilidad definida por la función de densidad: F( x) = x para 0 x F ( x) = 0 para el resto de los valores de x donde x viene expresado en miles de euros. Determinar la probabilidad de que el número de unidades demandadas en un día: ) No supere las 3500 unidades ) Esté comprendida entre 635 y 870 unidades EJERCICIO 78 El número de unidades vendidas mensualmente, de un determinado tipo de artículo, sigue la ley de probabilidad definida por la función de densidad:

22 º L.A.D.E x para 0 x< 5 5 = 0-x para 5 x< para cualquier otro valor de x ( ) ( ) f x donde x viene expresado en miles de unidades. Determinar la probabilidad de que el número de unidades vendidas en un mes: ) Sea superior a 5000 unidades. ) Sea superior a 5000 no superando las 7500 unidades. EJERCICIO 79 Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda, aleatoria, de sus potenciales clientes, se comportará, semanalmente, con arreglo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad: 3 F( x) = (4x x ) para 0 x 8 F ( x) = 0 para el resto de los valores de x donde x viene expresado en millones de unidades. Qué cantidad deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer plenamente la demanda, en dicho periodo, con la probabilidad de 0,5?. EJERCICIO 80 Dada una variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución F(x), comprobar que el momento de orden dos respecto al origen: + x df( x) si existe, puede ser expresado en la forma: + x df( x) = + x ( x ) df+ + xdf (x) EJERCICIO 8 Dada la variante x, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución: F ( x) = 0 para x < F ( x) = para x < 3 4 F ( x) = para 3 x

23 º L.A.D.E Determinar el valor probable. EJERCICIO 8 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución: F ( x) = 0 para x < 0 F ( x) = x para 0 x < F ( x) = para x Determinar el valor probable. EJERCICIO 83 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución: F ( x) = 0 para x < 0 / F ( x) = x para 0 x < F ( x) = para x Determinar el valor probable y la varianza. EJERCICIO 84 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad es: m P = r) = e R r! Determinar el valor probable y la varianza. r m (ξ para r = 0,,,... m + EJERCICIO 85 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución: F( x) = para x 0 + x F ( x) = 0 para cualquier otro valor de x. Comprobar que dicha distribución carece de valor probable 3

24 º L.A.D.E EJERCICIO 86 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 67. EJERCICIO 87 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 68. EJERCICIO 88 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 69 EJERCICIO 89 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 7. EJERCICIO 90 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 74. EJERCICIO 9 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 75. EJERCICIO 9 Sea una variable aleatoria ξ, de cuya distribución de probabilidad se conoce que la media es cero y la desviación típica σ. Determinar la probabilidad de que la variable tome valores comprendidos entre - y +. Justifíquese la respuesta. EJERCICIO 93 En una plaza de toros se sabe que al finalizar el festejo esperan el autobús una media de 7000 personas, con una desviación típica de 350. La empresa concesionaria del servicio quiere tener una probabilidad del 80 % o superior de tener el servicio bien 4

25 º L.A.D.E atendido. La capacidad del autobús es de 50 personas. Cuántos autobuses son necesarios?. EJERCICIO 94 En una empresa multinacional de refinado de aceites se regula la temperatura de una disolución en un proceso químico. La presencia de perturbaciones aleatorias origina una fluctuación en la temperatura. En el transcurso del tiempo se efectúan una serie de medidas, de las que se deduce que la temperatura media es de 50 º F., con una desviación típica de º F. Determinar la fracción de tiempo durante la cual la temperatura puede exceder de 60 º F. EJERCICIO 95 En un cine de verano al aire libre hay instaladas 800 sillas. Sabiendo que el número de asistentes es una variable aleatoria con esperanza 600 y desviación típica 00, qué probabilidad se asignaría al suceso de que el número de asistentes fuese superior al de sillas instaladas?. EJERCICIO 96 ξ = De la variable ξ se sabe que E[ ] 6 y. [ ] 4 afirmaciones: a) P [ ξ > 4] 0 b) P [ ξ < 4] 0 P 0<ξ 0. c) [ ] 7 V ξ = Discutir si son ciertas las siguientes EJERCICIO 97 Dada la variable aleatoria ξ, cuya distribución de probabilidad es: P ( ξ = 0) = 3 P ( ξ = ) = 3 Determinar la función característica. EJERCICIO 98 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución: F ( x) = 0 para x < 0 5

26 º L.A.D.E F ( x) = x para 0 x F ( x) = para < x Determinar la función característica. EJERCICIO 99 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad es m P r! Determinar: r m (ξ = r) = e para r = 0,,,...m R ) La función característica. ) El valor probable y la varianza, con base en dicha función característica. + EJERCICIO 00 Dada la variante ξ, cuya distribución de probabilidad es r P( ξ = r) = pq para r = 0,,,... Determinar: con 0 <p < 0 <q < p +q= ) La función característica. ) El valor probable y la varianza, con base en dicha función característica. EJERCICIO 0 Tenemos un dado defectuoso, de manera que la probabilidad de que obtenga puntuación es el doble que la de obtener el ; la probabilidad de obtener puntuación impar es la misma en todos los casos y la de obtener 4 y 6 es la mitad de obtener puntuación impar. Calcular: a) Distribución de probabilidad del experimento "lanzar el dado defectuoso". b) La puntuación media esperada. c) Construir la función característica. EJERCICIO 0 De una urna, que contiene cinco bolas blancas y cuatro rojas, se realizan dos extracciones sucesivas sin reemplazamiento (extraída la primera bola de la urna no se rein- 6

27 º L.A.D.E tegra a ella para efectuar la segunda extracción). Si convenimos en representar por ξ y ξ los resultados aleatorios de la primera y segunda extracción respectivamente: Determinar: ) La distribución de probabilidad conjunta de la variante ( ξ, ξ ). ) La distribución de probabilidad marginal de la variante ξ 3) La covarianza entre las variantes ξ yξ 4) El coeficiente de correlación. 5) Si las variantes ξ y ξ son o no estocásticamente independientes. EJERCICIO 03 De una urna, que contiene seis bolas blancas y tres rojas, se realizan dos extracciones sucesivas con reemplazamiento (extraída la primera bola de la urna se reintegra a ella para efectuar la segunda extracción). Si convenimos en representar por ξ yξ los resultados aleatorios de la primera y segunda respectivamente: Determinar: ) La distribución de probabilidad conjunta de la variante ( ξ, ξ ). ) La distribución de probabilidad marginal de la variante ξ 3) La covarianza entre las variantes ξ yξ 4) ρ. EJERCICIO 04 Dada la variante ( ξ, ξ ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por la función de distribución conjunta: x 3y F( x, y) = ( e )( e ) para x 0 y 0 F ( x, y) = 0 para cualquier otro valor de (x, y). Determinar: ) Las distribuciones de probabilidad marginales. ) Si las variantes ξ y ξ son o no estocásticamente independientes. EJERCICIO 05 Dada la variante ( ξ, ξ ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por la función de distribución conjunta: x y F( x, y) = ( e )( e ) para x 0 y 0 F ( x, y) = 0 para cualquier otro valor de (x, y). Determinar:. La probabilidad del suceso ξ ; ξ ). ( 7

28 º L.A.D.E. Las distribuciones de probabilidad marginales de la variante ξ y de la variante ξ. 3. Si las variantes ξ y ξ son o no estocásticamente independientes. EJERCICIO 06 Dada la variante ( ξ, ξ ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por la función de densidad conjunta: f ( x, y) = para 0 <x < 3 <y < 4 9 f ( x, y) = 0 para cualquier otro valor de (x, y). Determinar: ) La probabilidad del suceso ( ξ < ; ξ < ). ) La probabilidad del suceso < ξ <,5/ ξ 3) ( < EJERCICIO 07 Dada la variante ( ξ, ξ ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por la función de densidad conjunta: f ( x, y) = x+ y para 0 <x < 0 <y < f ( x, y) = 0 para cualquier otro valor de ( x, y) Determinar: ) La probabilidad del suceso ( ξ 0,5; ξ 0,). ) Si las variantes ξ y ξ son o no estocásticamente independientes. 3) La regresión de ξ sobre ξ. 4) El coeficiente de correlación. EJERCICIO 08 Dada la variante ( ξ, ξ ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por la función de densidad conjunta: 4 x y f ( x, y) = ( x+ 3y) e para x 0 y 0 5 f x, y = 0 para cualquier otro valor de ( x, y) ( ) Determinar: ) La distribución de probabilidad marginal de la varianteξ y de la variante ξ. ) La distribución de probabilidad de la variante ξ condicionada a la variante ξ. 3) La covarianza entre ambas variantes. 8

29 º L.A.D.E EJERCICIO 09 Dada la variante ( ξ, ξ ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por la función de densidad conjunta: f ( x, y) = [ + xy( x y )] para x y 4 f ( x, y) = 0 para cualquier otro valor de ( x, y) Determinar: ) La distribución de probabilidad marginal de la variante ξ y de la variante ξ ) La distribución de probabilidad de la variante ξ condicionada a la variante ξ 3) Si las variantes ξ y ξ son o no estocásticamente independientes. 4) La correlación existente entre las variantes ξ y ξ. 5) La regresión de ξ sobre ξ. EJERCICIO 0 El 80 % de las bolas contenidas en una urna son de color blanco, siendo el 0 % restante de color rojo. Determinar la probabilidad de que al efectuar tres extracciones sucesivas con reemplazamiento, dos de las bolas sean de color blanco y una roja. EJERCICIO Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan: ) Los cinco individuos. ) Al menos tres. 3) Sólo dos. 4) Al menos uno. EJERCICIO Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente, en una de sus secciones, sólo dos artículos a precios p y p, de suerte que: - el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p. - El 30 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p. Si un día determinado se venden en dicha sección 0 unidades, determinar la probabilidad de que las 0 unidades correspondan al artículo de precio p. EJERCICIO 3 Una empresa, dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, que ofrece a sus habituales clientes dos formas de pago: "pago al contado" o "pago aplazado", sabe que 9

30 º L.A.D.E el 0 % de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de "pago al contado". Si en un periodo de tiempo determinado, se han adquirido cinco unidades, determinar la probabilidad de que: ) Dos unidades o más, lo hayan sido bajo la forma "pago al contado". ) Dos unidades o menos, lo hayan sido bajo la forma de "pago aplazado". EJERCICIO 4 Si las variantes ξ i ( i=,,3,.. n) independientes, poseen todas la distribución: B ( ; p) comprobar que la variante η definida por: η = ξ + ξ + ξ ξ n se comporta con arreglo a la distribución B ( n; p). EJERCICIO 5 Sean η y η dos variantes tales que: - - η se distribuye según la ley B ( n ; p) η se distribuye según la ley B ( n ; p) Comprobar que la variante η, definida de la forma η = η + η se distribuye según la ley B ( n + n; p), suponiendo que η y η son estocásticamente independientes. EJERCICIO 6 A dos grupos, compuestos por diez individuos el primero y seis individuos el segundo, se les efectúa una misma pregunta; supuesto que las únicas posibles sean "si" o "no", ambas en principio igualmente probables, y que todos los individuos respondan, determinar la probabilidad de que: ) El número de respuestas afirmativas en el primer grupo sea inferior a seis. ) El número de respuestas afirmativas de los dos grupos sea igual o superior a doce. (Supóngase la independencia para las respuestas de cada individuo, y para las de los dos grupos.) EJERCICIO 7 El 50 % de las bolas contenidas en una urna son de color blanco; el 30 % de color rojo; y el 0 % de color negro. Determinar la probabilidad de que, al efectuar cinco extracciones sucesivas con reemplazamiento: 30

31 º L.A.D.E ) Dos de las bolas extraídas sean de color blanco, dos de color rojo y una de color negro. ) Tres de las bolas extraídas sea de color blanco. 3) Una de las bolas extraídas sea de color rojo. 4) Dos de las bolas extraídas sean de color negro. EJERCICIO 8 Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente, cuatro artículos que ofrece a los precios p, p, p 3 y p 4, de suerte que: - el 40 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p. - El 30 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p. - el 0 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p 3. - El 0 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p 4. Si un día determinado se venden 8 unidades, determinar la probabilidad de que: ) Una unidad sea del artículo de precio p, dos del artículo de precio p, dos del artículo de precio p 3 y tres del artículo de precio p 4. ) Tres unidades sean del artículo de precio p. EJERCICIO 9 Un accionista tiene la posibilidad de comprar acciones de cuatro empresas: A, B, C y D. Las probabilidad de que compre acciones de cada empresa son: P(A)=0' P(B)=0' P(C)=0'3 P(D)=0'4 Si un día determinado ha comprado 0 títulos, calcular las siguientes probabilidades: ) Que dos títulos sean de A, cinco de B y tres de las otras empresas. ) Que no compre ningún título de A. EJERCICIO 0 El número medio de automóviles que llega a una estación de servicio es 0 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de 0 automóviles por minuto, determinar la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación de suministro más automóviles de los que puede atender. EJERCICIO La proporción de individuos de una población con renta superior a los dos millones de euros, es de 0,005 %. Determinar la probabilidad de que, entre individuos consultados, haya dos con ese nivel de renta, supuesto que todos los consultados respondan. 3

32 º L.A.D.E EJERCICIO Por parte de una compañía de seguros se sabe que el 0'003 % de los individuos de una población fallece cada año de un determinado tipo de accidente. Determinar: ) La probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de tres de los asegurados contra tal tipo de accidente en un año determinado. ) El número de accidentes esperados. EJERCICIO 3 En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el 0,4 % de los habitantes de dicha zona. Determinar la probabilidad de que, consultados.000 de éstos, dicho producto sea demandado: ) Por tres o más. ) Por cinco o menos. EJERCICIO 4 Sean η y η dos variantes tales que: - η se distribuye según la ley de Poisson de parámetro λ - η se distribuye según la ley de Poisson de parámetro λ Comprobar que la variante η, definida de la forma η = η + η se distribuye según la ley de Poisson de parámetro ( λ + λ ), si η y η son estocásticamente independientes. EJERCICIO 5 Del volumen de producción diaria en dos plantas diferentes de una fábrica se sabe que la probabilidad de que resulten "r" unidades defectuosas: - En la primera planta es: r 4 4 e r! r 6 6 para r = 0,,,3,... - En la segunda planta es: e para r = 0,,,3,... r! Determinar la probabilidad de que en un día determinado: ) Resulten cinco o más unidades defectuosas en la primera planta. ) Resulten cuatro o menos unidades defectuosas en la segunda planta. 3) Resulten ocho o más unidades defectuosas del total de la producción de la fábrica. EJERCICIO 6 Del volumen de producción diario en dos plantas diferentes de una fábrica se sabe que, en media, el número de unidades defectuosas producidas es de y 3 respectivamente. Elaborar el modelo de probabilidad correspondiente al número de unidades defectuosas de cada planta y, con base a ellos, determinar la probabilidad de que: 3

33 º L.A.D.E ) En un día determinado resulten dos unidades defectuosas en la primera planta. ) En un día determinado resulten tres unidades defectuosas en la segunda planta. 3) En un día determinado resulten ocho o menos unidades defectuosas del total de la producción de la fábrica. 4) En 360 días resulten 90 o más unidades defectuosas del total de la producción de la fábrica. EJERCICIO 7 Un televisor tiene un gran número de válvulas, tanto de tipo A como de tipo B. Al año, el número de válvulas del tipo A que se estropean es de dos, y de tipo B es de tres. a) Cuál es la probabilidad de que, en un año determinado, se estropeen 6 válvulas de tipo A?. b) Un televisor no funcionará si el número de válvulas de tipo A estropeadas es superior a y el número de válvulas estropeadas de tipo B es superior a 3. Cuál es la probabilidad de que un televisor no funcione?. EJERCICIO 8 Se considera un colectivo formado por n elementos, de los cuales n - poseen una misma característica. Si por ν representamos el número que hace la primera extracción en la que obtenemos el elemento que NO posee dicha característica (supuestas extracciones sucesivas con reemplazamiento de un solo elemento), establecer razonadamente: ) El modelo de distribución de probabilidad correspondiente. ) Si n = 5, P( v ) EJERCICIO 9 Deducir la función de cuantía de la variable aleatoria "número de lanzamientos necesarios de un dado hasta obtener un ". EJERCICIO 30 Una urna contiene cinco monedas: tres de euro y dos de euros. Si se efectúan tres extracciones sin reemplazamiento, determinar razonadamente, estableciendo el modelo de probabilidad correspondiente: ) La probabilidad de que en las tres extracciones sólo una sea de euro. ) La probabilidad de que en las tres extracciones aparezca al menos una moneda de euros. 33

34 º L.A.D.E EJERCICIO 3 Se pide al Director General de cierta empresa multinacional que seleccione a tres ejecutivos para integrar un Comité, con el fin de estudiar el posible lanzamiento de un nuevo producto. Se presentan como voluntarios 0 ejecutivos de las filiales en América y 30 de las filiales europeas. Si del total de 50 voluntarios el director selecciona al azar a los 3 ejecutivos requeridos, cuál es la probabilidad de que sean elegidos un americano y dos europeos?. EJERCICIO 3 Un participante en un concurso de tiro al blanco sabe que su probabilidad de hacer diana en cada disparo es igual al 95 %. Calcular: a) Probabilidad de acertar al menos 0 blancos en disparos. b) Si el concursante tiene que retirarse en el caso de que cometa 3 fallos, cuál es su probabilidad de hacer exactamente 0 disparos?. EJERCICIO 33 Un conocido delantero es fichado por un importante club. El contrato estipula que se producirá una rescisión del mismo en cuanto deje de marcar en 0 partidos. En base a su historial deportivo se sabe que la probabilidad de marcar en cada partido es del 70%. Cuál sería la probabilidad de que se le rescinda el contrato después de jugar 0 partidos?. EJERCICIO 34 Se efectúan lanzamientos consecutivos de un dado correcto: a) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria "número de veces que se obtiene un resultado par en 0 lanzamientos". Calcular la probabilidad de obtener más de dos pares en los diez lanzamientos. b) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria "número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir el primer resultado par". Calcular la probabilidad de que se requieran 3 lanzamientos. c) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria "número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir tres pares". Calcular la probabilidad de que se requieran 5 lanzamientos. d) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria "número de veces que se dan los resultados,,3,4,5 y 6 en n lanzamientos". Calcular la probabilidad de obtener DOS veces el "", UNA vez el "4" y TRES veces el "5" en seis lanzamientos consecutivos. 34

35 º L.A.D.E EJERCICIO 35 Acerca de la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por arte de una empresa textil, sólo se sabe que no supera la tonelada. Determinar para dicho periodo de tiempo: ) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 grs. ) La probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kgs. 3) La demanda probable. EJERCICIO 36 La duración aleatoria de un determinado tipo de artículo, en horas, viene regulado por la ley de probabilidad N(80,5). Determinar la probabilidad de que la duración de tal artículo: ) Sea superior a 70 horas. ) Sea inferior a 50 horas. EJERCICIO 37 Una empresa sabe que el comportamiento en probabilidad de la demanda aleatoria de un artículo, que produce, viene explicada por la ley N(0.000,00). Si la empresa decide seguir produciendo el artículo en el futuro, supuesto que la demanda esté comprendida entre y 0.70 unidades, determinar la probabilidad de que no siga produciendo tal artículo. EJERCICIO 38 Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina, durante un cierto periodo de tiempo, se comporta con arreglo a una ley normal, de media litros, con desviación típica igual a litros, determinar la cantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo, para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95. EJERCICIO 39 Sean ξ y ξ dos variantes tales que: ) ξ se distribuye según la ley N ( µ, σ ) ) ξ se distribuye según la ley N ( µ, σ ) Comprobar que la variante ξ definida en la forma ξ = ξ + ξ, se distribuye según la ley N ( µ +µ ; ( σ σ )) ; si ξ y ξ son estocásticamente independientes. 35

36 º L.A.D.E EJERCICIO 40 Dos marcas comerciales se dedican a la venta de un mismo tipo de artículo. Las ventas, para ambas marcas, se comportan con arreglo a la ley normal de media.800 unidades y desviación típica 50 unidades, para la primera marca, y.650 unidades de media, con desviación típica de 0 unidades, para la segunda. Determinar la probabilidad de que las ventas de la primera marca superen en más de 00 unidades a las de la segunda, supuestas las ventas de una y otra marca independientes. EJERCICIO 4 Para una pieza de precisión se toman medidas de su longitud y su diámetro, observándose que la longitud se mantiene entre 0 y 0,4 centímetros y el diámetro entre,4 y,6 centímetros. Suponiendo que ambas magnitudes sean independientes obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria bidimensional (Longitud, Diámetro). Si elegimos una pieza al azar, calcular la probabilidad de que su longitud sea inferior a 0, cm., y su diámetro esté comprendido entre,5 y,54 cm. EJERCICIO 4 Un establecimiento comercial pone a la venta diariamente, en una de sus secciones, sólo dos artículos a precios p y p de suerte que: - el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo p - el 30 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo p. Si en un día determinado se venden en dicha sección.000 unidades, determinar la probabilidad de que más de 800 unidades correspondan al artículo de precio p. EJERCICIO 43 Una empresa dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, que ofrece a sus habituales clientes dos formas de pago: "pago al contado" o "pago aplazado", sabe que el 0 % de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de "pago al contado". Si en un periodo de tiempo determinado, se han adquirido.000 unidades, determinar la probabilidad de que 50 o menos lo hayan sido bajo la forma de "pago al contado". EJERCICIO 44 Entre 00 empresas, cuyas reacciones se suponen independientes entre sí, se analiza la modificación en su actividad, derivada de la adopción de una serie de medidas económicas. Cada una de estas empresas entiende que dicho conjunto de medidas económicas incidirá sobre su actividad con una probabilidad, común para todas ellas de 36

37 º L.A.D.E 0,4. Determinar la probabilidad de que al menos 0 de estas empresas modifiquen realmente su actividad como consecuencia de las referidas medidas. EJERCICIO 45 Un concesionario de automóviles vende a particulares vehículos de la misma marca. Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos esté en servicio dos años después es de 0,8, determinar la probabilidad de que, de vehículos, más de 3.0 estén en servicio dentro de dos años. EJERCICIO 46 En un proceso de fabricación se sabe que el número aleatorio de unidades defectuosas producidas diariamente viene dado por la ley de probabilidad: r 0 0 P( ξ = r) = e para r = 0,,... r! Determinar la probabilidad de que, en 50 días, el número de unidades defectuosas supere.480 unidades. EJERCICIO 47 En la producción de piezas de precisión se sabe que la longitud aleatoria de las mismas se distribuye con función de densidad: x f ( x) = e para x mm ) Se considera aceptable la pieza, si su longitud está comprendida entre mm y,0593 mm, cuál es la probabilidad de que la pieza sea correcta? ) Si se empaquetan las piezas en lotes de 5 unidades, determinar: a) La distribución de la variable "número de piezas correctas en el lote". b) La probabilidad de que en un lote haya dos o más piezas correctas. 3) Si se empaquetan en lotes de 50, cuál es la probabilidad de que haya por lo menos una pieza correcta?. 4) Si se empaquetan en lotes de 500, cuál es la probabilidad de que haya más de 35 piezas correctas?. EJERCICIO 48 En la realización de test psicotécnicos para optar a un puesto de trabajo, se sabe que la calificación aleatoria de los mismos varía entre 0 y.000 puntos. a) Se considera no rechazable una persona, si su calificación es superior a 900 puntos. cuál es la probabilidad de que una persona sea aceptada? b) Si a dichas pruebas se presentan 0 personas, determinar: ) La distribución de probabilidad de la variable "número de personas aceptadas en la misma". ) La probabilidad de que haya 3 o más personas que continúen en las pruebas. 37