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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PAUTA SEGUNDA PRUEBA PARCIAL Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre Resolver los siguientes problemas: a Se lanza un dado consecutivamente hasta que aparezca por primera vez un 1. Supongamos que en el primer lanzamiento no hemos obtenido un 1. Calcular la probabilidad de que sean necesarios más de tres lanzamientos para conseguir el 1 por primera vez. Sea X : número de lanzamientos hasta obtener un 1. Luego X es una variable aleatoria v.a. Geométrica con p 1/6, donde x 1, 2,..., entonces: P X > 3 X > 1 P {X > 3} {X > 1} P X > 1 P X > 3 1 P X 3 P X > 1 1 P X /6 x 1 1/6 x /6 0 1/6 Es decir, el 69 % de las veces es necesario lanzar más de tres veces para conseguir el 1 cuando el primer lanzamiento no hemos obtenido un 1. b Un vendedor de enciclopedias sabe que la probabilidad de obtener un cliente en cada visita es 0.3. Si este vendedor detiene sus ventas cuando logra vender la décima enciclopedia en el día. Cuál es la probabilidad de que, a lo largo de un mes de 30 días, no tenga que hacer más de 40 visitas diarias?. Asumir independencia entre las visitas diarias. Sea X : número de visitas diarias necesarias hasta vender 10 enciclopedias diariamente. Luego X es una v.a. Binomial Negativa Pascal con p 0.3 y r 10, donde x 10, 11,..., entonces: P X < 40 P X 10 + P X P X x11 39 x11 P X x x x SEGUNDA PRUEBA PARCIAL 1

2 c En el juego del KINO se tienen 25 bolitas y se extraen 14 de ellas. Se sabe que el premio menor recuperar el dinero se obtiene a los 10 aciertos. Cuál es la probabilidad de obtener algún premio en el juego al menos se recupere el dinero. Sea X : número de aciertos que resultan al extraer 14 números sin reposición de un total de 25. Luego X es una v.a. Hipergeométrica con N 25, D 14 y n 14, donde x 0, 1, 2,..., 14, entonces: P X 10 P X 10 + P X P X x 14 x x Es decir, existe un 8.87 % de posibilidad de ganar algún premio. d Del problema c. Cuántos cartones deberías jugar para aspirar a ganar algún premio? Sea Y : número de cartones a jugar hasta conseguir algún premio. Luego Y es una v.a. Geométrica con p donde y 1, 2, 3,..., entonces: EY 1 p Es decir, se deben jugar 11 cartones aproximadamente. e Cierto banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90 % de los clientes del banco tienen fondos. Si llegan 6 cheques con fecha equivocada, cuál es la probabilidad que al menos uno de estos haya sido emitido por un cliente con fondos? Para un cliente del banco, se obtiene: P fecha equivocada con fondos P fecha correcta con fondos P fecha equivocada sin fondos 1 P fecha correcta sin fondos 0 P con fondos 0.9 P sin fondos 0.1 Sea Z : número de cheques equivocados emitidos por clientes con fondos, de un total de 6 cheques. Luego Z es una v.a. Binomial con n 6 y p P con fondos fecha equivocada. Primero debemos calcular P con fondos fecha equivocada, en efecto: P con fondos fecha equivocada SEGUNDA PRUEBA PARCIAL 2 P con fondos P fecha equivocada con fondos P fecha equivocada

3 Por lo tanto: P Z 1 1 P Z Es decir, de los 6 cheques que llegan con fecha equivocada, existe un 5.2 % que al menos uno de estos haya sido emitido por un cliente con fondos. 2. En un programa de TV se decide votar por la persona que quieres que abandone el concurso. Se sabe que tienes una probabilidad del 20 % de que la línea no esté ocupada. Supongamos que cada llamada que realizas es independiente. a Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima que realizas? Sea X : la línea está ocupada hasta que la llamada entra por primera vez. Luego X es una v.a. Geométrica con parámetro p 0.2 donde x 1, 2,..., entonces: P X b Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar 10 veces para votar dos veces por el concursante? Sea Y : la línea está ocupada hasta que la llamada entra dos veces. Luego Y es una v.a. Pascal Binomial negativa con paramétros p 0.2 y r 2 donde y 2, 3,..., entonces: P Y c Supongamos que compras una tarjeta que permite realizar 15 llamadas telefónicas al concurso. Si agotas tus llamadas, cuál es la probabilidad de votar al menos tres veces? Sea Z : número de llamadas exitosas. Luego Z es una v.a. Binomial con parámetros p 0.2 y n 15 donde z 0,..., 15, entonces: P Z 3 1 P Z 2 1 [P Z 0 + P Z 1 + P Z 2] d La telefonista del programa de TV contesta en promedio 12 llamadas cada 15 minutos. i. Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 llamadas sean recibidas en el periodo de 15 minutos?. Cada 15 minutos el programa contesta λ 12 llamadas en promedio. X es una v.a. Poisson con λ 12 donde x 0, 1,..., entonces: P X e 12 10! SEGUNDA PRUEBA PARCIAL 3

4 ii. Cuál es la probabilidad de que a lo más 5 llamadas sean recibidas por la telefonista en 5 minutos?. En 15 minutos el programa contesta 12 llamadas, entonces en 5 minutos contesta 4 llamadas. Y es una v.a. Poisson con λ 4, entonces: P Y y e 4 5 e 4 4 y y! y! y0 y0 [ e e iii. Cuántas llamadas se espera contestar durante el período de una hora? Se espera contestar 48 llamadas en 1 hora. e Se sabe que durante el período de una hora personas intentaron comunicarse de las cuales solamente 40 pudieron efectivamente votar por el concursante. Al extraer una muestra aleatoria de tamaño 20 de los números registrados. Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 llamadas seleccionadas hayan votado por el participante? X : número de llamadas que hacen la votación de entre 20 números registrados. X es una v.a. Hipergeométrica con N, D 40 y n 20 donde 0 x 20, entonces: P X La frecuencia de la radiación electromagnética emitida por un teléfono móvil sigue una distribución normal con media 1200 MHz y desviación estándar MHz. Sea X N1200, 2 y Z N0, 1. a Calcular la probabilidad de que la frecuencia de la onda emitida sea superior a 1500 MHz. P X > P Z > P Z > 1 1 P Z b Calcular la probabilidad de que la frecuencia se mantenga entre 0 y 1200 MHz. P 0 < X < P < Z < 0 P 23 P 0.67 < Z < 0 P Z < 0 P Z < 0.67 P Z < P Z < ] SEGUNDA PRUEBA PARCIAL 4

5 c Sabiendo que la frecuencia emitida es inferior a los 1600 MHz, calcular la probabilidad de que se mantenga por encima de los 0 MHz. Primero calculamos P X < 1600 P P X < 0 P Entonces: Z < Z < P Z < 4 P Z < P Z < P Z < P X > X < 1600 P {X > 0} {X < 1600} P 0 < X < 1600 P X < 1600 P X < 1600 P X < 1600 P X < P X < d El 0.8 % de los teléfonos móviles presentan una frecuencia tan alta que afectan a radios, televisores, computadoras, etc. Calcular la frecuencia a partir de la cual un teléfono interfiere en otros aparatos eléctricos. P X > a P Z > a P Z a P Z a Por tabla tenemos que a , entonces a Por lo tanto a La destiladora Concha y Toro produce entre 200 y galones de vino diarios. La distribución uniforme es la que mejor describe este proceso. Sea X U200, a Cuánto vino se produce al día en promedio? Si X U200, entonces EX Por lo tanto se producen 250 galones 2 al día en promedio. b Cuál es la cantidad de variabilidad en el número de galones de vino producidos de un día a otro? V arx entonces D.E Por lo tanto hay una 12 diferencia de galones diarios con respecto a la producción media. SEGUNDA PRUEBA PARCIAL 5

6 c En qué porcentaje de los días puede esperarse que la producción caiga entre 220 y 270 galones? P 220 < X < dt El 50 % de las veces la producción diaria cae entre 220 y 270 galones. d Cuál es la probabilidad de que la producción de mañana sea mayor que 280 galones? P X > dt Hay un 20 % de posibilidad que la producción de mañana sea mayor que 280 galones. SEGUNDA PRUEBA PARCIAL 6

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