Modelos de distribuciones discretas y continuas

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1 Modelos de distribuciones discretas y continuas Discretas En la versión actual de Rcdmr podemos encontrar las distribuciones discretas estudiadas en este curso y para cada una de ellas están disponibles diferentes opciones. El menú Discretas Se mostrará un desplegable con las distintas distribuciones. Seleccionar la distribución a estudiar. Una vez seleccionada una distribución aparecerán las siguientes opciones: Cuantiles: Calcula el valor de la variable que deja a la derecha o izquierda (según se seleccione) una determinada probabilidad. Probabilidades acumuladas: Calcula P[ X x] (cola a la izquierda) o [ X x] la derecha) P (cola a Probabilidad: Calcula la probabilidad de que la variable tome un valor especificado. Gráfica de la distribución elegida: Muestra la gráfica de la función masa de probabilidad y función de distribución. Muestra de la distribución elegida: Genera muestras aleatorias de la correspondiente distribución. Distribución binomial: X una v.a. con distribución binomial de parámetros n y p. Para calcular cualquiera de las opciones comentadas anteriormente debemos especificar los parámetros de la distribución binomial que estemos considerando. Ejemplo: Un test de elección múltiple consta de 25 preguntas, cada una con 4 respuestas. Un estudiante se dispone a contestar el test. a) Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda 4 preguntas? b) Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda al menos 20 preguntas? c) Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda menos de 5 preguntas?

2 2 Solución a) Para responder a la primera pregunta como nos piden la probabilidad de que la v.a. tome un valor concreto, Discretas Distribución Binomial Probabilidades Binomiales En la salida muestra la función masa de probabilidad de esta variable. b) La probabilidad que se pide es P [ X 20] Discretas Distribución Binomial Probabilidades acumuladas

3 3 c) La probabilidad que se pide es P [ X < 5] Discretas Distribución Binomial Probabilidades acumuladas Representación gráfica

4 4 Binomial Distribution: Binomial tria Probability Mass Number of Successes Si deseamos la gráfica de la function de distribución:

5 5 Binomial Distribution: Binomial tria Cumulative Probability Number of Successes Distribución de Poisson: X una v.a. con distribución de Poisson de parámetro λ. Para calcular cualquiera de las opciones comentadas anteriormente debemos especificar los parámetros de la distribución de Poisson que estemos considerando. Ejemplo: El número de defectos en paneles de plástico utilizados en el interior de los automóviles se distribuye según una Poisson de media 0.5 defectos por metro cuadrado. Los coches tiene 1 m 2 de panel de plástico. a) Cuál es la probabilidad de que no haya defectos en el interior de un automóvil? b) Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 defectos por m 2? c) Cuál es la probabilidad de que haya dos o menos defectos por m 2? d) La fábrica de estos automóviles vende diez a una empresa de alquiler de coches, cuál es la probabilidad de que ninguno tenga defectos? e) En las hipótesis del apartado anterior, cuál es la probabilidad de que como máximo un coche tenga defectos?

6 6 Solución a) Para responder a la primera pregunta como nos piden la probabilidad de que la v.a. tome un valor concreto, Discretas Distribución Poisson Probabilidades de Poisson Por tanto, la probabilidad pedida es P X > 3 b) La probabilidad que se pide es [ ] Discretas Distribución de Poisson Probabilidades acumuladas

7 7 d) La probabilidad que se pide es P [ X 2] Discretas Distribución de Poisson Probabilidades acumuladas Representación gráfica

8 8 Poisson Distribution: Mean=0.5 Probability Mass x Poisson Distribution: Mean=0.5 Cumulative Probability x

9 9 Distribución Geométrica y Binomial Negativa: X una v.a. con distribución binomial negativa de parámetros r y p. Para calcular cualquiera de las opciones comentadas anteriormente debemos especificar los parámetros de esta distribución. Ejemplo: Un vendedor de alarmas de hogar tiene exito en una casa de cada diez que visita. Calcular: a) La probabilidad de que en un día determinado consiga vender la primera alarma en la sexta casa que visita. b) La probabilidad de que no venda ninguna después de siete viviendas. c) Si se plantea vender tres alarmas, cuál es la probabilidad de que consiga su objetivo en la octava vivienda que visita? Solución a) Se define la variable X= número de casas que visita antes de conseguir vender la primera alarma Esta v.a. se distribuye según una Geométrica p= 0.1. Discretas Distribución Geométrica Probabilidades geométricas P(X = 5) = e 02.

10 10 b) La probabilidad de que no venda ninguna después de siete viviendas visitadas. La variable X= número de alarmas vendidas en 7 viviendas sigue una distribución Binomial con ocho ensayos de Bernoulli y probabilidad de éxito= 0.1, luego en nuestro caso se tiene P(X = 0) = 0, c) Si se plantea vender tres alarmas, cuál es la probabilidad de que consiga su objetivo en la octava vivienda que visita? La variable X= número de viviendas visitadas hasta vender tres alarmas sigue una distribución Binomial negativa de parámetros 3 y p. Distribución Hipergeométrica: X una v.a. con distribución hipergeométrica de parámetros número de éxitos, fracasos y tamaño de la muestra. Ejemplo: Un envío de productos químicos llega en 15 lotes. Se seleccionan al azar y sin reemplazamiento tres lotes para una inspección sobre la pureza de los productos. Si dos de los lotes no se ajustan a los requisitos de pureza, cuál es la probabilidad de que se haya seleccionado al menos un lote que no cumpla los requisitos?

11 11 Continuas En la versión actual de Rcdmr podemos encontrar las distribuciones continuas estudiadas en este curso y para cada una de ellas están disponibles diferentes opciones. El menú Continuas Se mostrará un desplegable con las distintas distribuciones. Seleccionar la distribución a estudiar. Una vez seleccionada una distribución aparecerán las siguientes opciones: Cuantiles: Calcula el valor de la variable que deja a la derecha o izquierda (según se seleccione) una determinada probabilidad. Probabilidades: Calcula P[ X x] (cola a la izquierda) o [ X x] P (cola a la derecha) Gráfica de la distribución elegida: Muestra la gráfica de la función de densidad y función de distribución. Muestra de la distribución elegida: Genera muestras aleatorias de la correspondiente distribución. Distribución Uniforme: X una v.a. con distribución uniforme (a, b). Para calcular cualquiera de las opciones comentadas anteriormente debemos especificar el valor mínimo a y el máximo b. Ejemplo: El tiempo que tarda un operador de bases de datos en rellenar un formulario electrónico es uniforme en 1.5 a 2.2 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que tarde menos de dos minutos? b) Determinar el tiempo medio que tarda un operador en rellenar un formulario. Calcular la función de distribución. Solución a) Se define la variable X= minutos que se tarda en rellenar un formulario se distribuye según una uniforme (1.5, 2.2)

12 12 Continuas Distribución Uniforme Probabilidades uniformes Distribución Exponencial: X una v.a. con distribución exponencial de parámetro λ. Para calcular cualquiera de las opciones comentadas anteriormente debemos especificar el valor del parámetro. Ejemplo: La duración media de un modelo de marcapasos es de 7 años. a) Cuál es la probabilidad de que dure al menos 5 años? y menos de 3? b) Si han transcurrido ya 4 años desde su implantación, cuál es la probabilidad de que dure otros 4? c) Cuánto tiempo debería funcionar un marcapasos para estar entre el 10% de los que más duran? Solución a) La variable X= tiempo de funcionamiento del marcapasos sigue una distribución exponencial con parámetro λ = 1/7. Continuas Distribución Exponencial Probabilidades exponenciales

13 13 y obtenemos el valor buscado, P(X 5). b) La probabilidad que nos piden es P(X 8/X 4) = (1 F(8))/(1 F(4)) = 0, F(8)= y F(4)= P(X 8/X 4)= / =0, c) Hay que calcular el percentil 90 seleccionando: El valor obtenido es 16.4 años. O de forma similar P=0.1 y cola a la derecha. Distribución Normal: 2 X una v.a. con distribución exponencial de parámetro µ y σ. Para calcular cualquiera de las opciones comentadas anteriormente debemos especificar el valor del parámetro. Ejemplo: La resistencia a la compresión de muestras de cemento se puede modelar mediante una distribución normal de media 6000k/cm 2 y una desviación de 100kg/cm 2. a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250kg/cm 2? b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra esté comprendida entre 5800Kg/cm 2 y 5900Kg/cm 2? c) Qué resistencia es superada por el 95\% de las muestras?

14 14 Solución a) La variable X: resistencia a la compresión sigue una distribución normal N (6000,100 2 ). Continuas Distribución normal Probabilidades normales La probabilidad que nos piden es [ X 6250] b) P[ X 5900] = F X (5900) F (5800) P, obteniendo X = = P X x = 0. c) [ ] 95 y el valor de x=

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