EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

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1 TITULO: AUTOR: EJERCICIOS DE PROBABILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS. Ejercicios Resueltos de Probabilidad. JUAN VICENTE GONZALEZ OVANDO ENUNCIADO 1 : En una empresa se producen dos tipos de bombillas halógenas y de bajo consumo, en una proporción de 3 a 4, respectivamente. La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es 0,02 y de que una de bajo consumo sea defectuosa es de 0,09. Se escoge al azar una bombilla y resulta no defectuosa. Cuál es la probabilidad de que sea halógena?. H : producción de bombilla halógenas B : producción de bombillas P (H/ND) = P ( H ND ) = P(H) * P (ND) = 3/7 * 0,98 = P (ND) P(H)*P(ND) + P(B)*P(ND) 3/7*0,98 + 4/7*0,91 P (H/ND) = 0,42 = 0,447 0,94

2 ENUNCIADO 2 : Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus con igual probabilidad de ser seleccionados y que actúan independientemente uno del otro. El programa P1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0,9 y el programa P2 detecta el virus con una probabilidad de 0,8. Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? P (ND) = P ( P1 ND ) + P ( P2 ND ) = P (P1)*P(ND/P1) + P (P2)* P (ND/P2) = P (ND) = 0,5*0,1 + 0,5*0,2 = 0,5* (0,1 + 0,2) = 0,5 * 0,3 = 0,15 ENUNCIADO 3 : En un colegio el 4 % de los chicos y el 1 % de las chicas miden más de 175 cm de estatura. Además el 60 % de los estudiantes son chicas. Si se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 175 cm. Cúal es la probabilidad de que el estudiante sea chica? O : El estudiante es un chico A : El estudiante es una chica + 175: el estudiante mide mas de 175 cms. P (A/+175) = P ( A +175 ) = P ( A ) * P (+175/A ) = 0,60*0,01 = P (+175) P(+175)*P(A) + P(+175)*P(O) 0,60*0,01 + 0,04*0,40 P (A/+175) = 0,006 = 0,006 = 0,27 0, ,016 0,022

3 ENUNCIADO 4 : La probabilidad de que un estudiante universitario termine su carreta en los años establecidos por el plan de estudios es de 3/5 y la de su hermana finalice la suya sin perder ningún año es de 2/3. Halla la probabilidad de que: a) Ambos terminen sus estudios en los años establecidos. b) Sólo un varón los termine en el plazo fijado c) Al menos un de los dos termine en el tiempo establecido. H : El estudiante termine sus estudios en el plazo, P ( H ) = 3/5 M : La hermana termine sus estudios en el plazo. P ( M ) = 2/3 a) P ( H y M ) = P ( H M ) = P (H) * P (M) = 3/5 * 2/3 = 2/5 b) Si P (M) = 2/3 P ( No M) = 1 P (M) = 1 2/3 = 1/3 Luego: P ( H y M) = P ( H M ) = P (H) * P ( M ) = 3/5 * 1/3 = 1/5 c) P ( H M ) P ( H M ) P ( H M ) = P ( H)* P( M ) + P ( H)*P( M ) + P(H)*P ( M) = 3/5*1/3 + 2/5*2/3 + 3/5*2/3 = 1/5 + 4/15 + 2/5 = 13/15 Otra alternativa es: P ( H M ) P ( H M ) P ( H M ) = 1 P ( H M ) = 1 - P( H)*P( M)) = 1 2/5*1/3 = 1 2/15 = 13/15

4 ENUNCIADO 5 : En una urna U1 hay 4 bolas blancas numeradas de 1 a 4, y 2 bolas negras numeradas de 1 a 2, mientras que en la urna U2 hay 2 bolas blancas, numeradas de 1 a 2, y 4 negras numeradas de 1 a $. Si se extraen al azar dos bolas, una de cada urna, hallar: a) La probabilidad de que tengan el mismo número. b) La probabilidad de que sean del mismo color. a) Por el definición de Laplace: P (MISMO NO.) = CASOS FAVORABLES = N ( S ) = 10 = 5 CASOS POSIBLES N ( E ) Donde: E = (B1,B1);(B1,B2);(B1,N1),..(B1,N1);(B2,B1);(B2,B2);..;(B2,N1);.; (N2,N4) S = (B1,B1),(B1,N1);(B2,B2);(B2,N2);(B3,N3);(B4,N4);(N1,B1);(N1,N1);(N2,B2);(N2,N2) Otra forma de resolverlo sería: P (mismo No.) = P (1y1) o P (2y2) o P (3y3) o P (4y4) = = P (1 1) P (2 2) P (3 3) P (4 4) = = P (1)*P(1) + P (2)*P(2) + P (3)*P(3) + P (4)*P(4) = = 2/6*2/6 + 2/6*2/6 + 1/6*1/6 + 1/6*1/6 = 4/36 + 4/36 + 1/36 + 1/36 = = 8/36 + 2/36 = 10 / 36 = 5 /18

5 B) P (mismo color) = P (ByB) o P (NyN) = = P (B B) P (N N) = P (B) * P (B) + P (N) * P (N) = ENUNCIADO 6 : = 4/6 * 2/6 + 2/6 * 4/6 = 8/36 + 8/36 = 8/18 = 4/9 Para ir al trabajo, un individuo toma el bus, el 30 % de las veces, o el metro (el 70 % restante), y llegó tarde el 40 % de las veces que va en bus y el 20 % de las veces que va en metro. Cierto día llegó tarde. Cuál es la probabilidad de que tomara el bus?. B : Tomar el bus. P (B) = 0,30 M: Tomar el metro. P (M) = 0,70 P ( B/T) = P (B T ) = P (B) * P ( T /B) = 0,30 * 0,40. = 0,12 = 0,46 P ( T ) P(B)*P(TB) + P (M)*P(TM) 0,30*0,40 + 0,70*0,20 0, EJERCICIOS, PROBLEMAS PROPUESTOS. 1) Comprobar que, para cualquiera que sean los sucesos A y B, con P ( B ) > 0, se verifica: P ( A/B ) + P ( A/B ) = 1 2) Comprobar que si los sucesos A y B son independientes en probabilidad, se verifica: P ( A B ) = 1 - P ( A ) * P ( B) 3) Una urna contiene dos bolas blancas y tres bolas rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de que la segunda bola extraída sea una bola roja: - Si se supone las extracciones con reemplazamiento, - Si se suponen las extracciones sin reemplazamiento.

6 4) De un lote de piezas, del que se sabe que el 5 % son defectuosas, se efectúan extracciones con reemplazamiento se extrae una pieza y una vez observada, se devuelve al lote -. Determinar la probabilidad de que, en tres extracciones, resulte una sola pieza defectuosa. 5) Una empresa dedicada a la fabricación de automóviles, desea lanzar al mercado un nuevo modelo en el año Al estudiar la posible situación económica que existirá en dicho año contempla tres alternativas: existencia de inflación, estabilidad o depresión, estimando: a) Dichas alternativas igualmente probables. b) La probabilidad de que se lance el nuevo modelo al mercado en: 0,7, si existe inflación, 0,4 si existe estabilidad y 0,1 si la situación es de depresión. Cuál será la probabilidad de que el nuevo modelo esté en el mercado en el año 2009?. 6) El volumen de producción diario en tres plantas diferentes de una fábrica, es de 500 unidades en la primera, 1000 en la segunda, y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas, producidas, en las tres plantas es del 1 %, 0,8 % y 2,0 % respectivamente, determinar la probabilidad de que: - Extraída una unidad, al azar, resulte no defectuosa. - Habiendo sido extraída una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera planta. BIBLIOGRAFÍA 1) Problemas de Estadística. Autor Juan López de la Manzanara Barbero. Ediciones Pirámide. 2) Selectividad Pruebas de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Autora Ana Isabel Busto Caballero. Editorial Anaya.