Trabajo Práctico: Intérvalos de Confianza

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1 Trabajo Práctico: Intérvalos de Confianza Autores: Astier Gabriel Mazza Pablo Talijancic Iván Profesor: Roberto Villamayor Curso: 3er Año - Ingeniería Electromecánica. Ejercicio 1: En un conocido restaurante se cree que los tiempos de espera (en minutos) de sus clientes se distribuyen de manera normal con una varianza de 22,5 minutos. a) Una muestra de 25 clientes reveló un tiempo medio de espera de 13 minutos. Construya el intervalo de confianza del 95 % para la media de la población. b) Suponga que la media de 13 minutos resultó de una muestra de 32 clientes. Encuentre el intervalo de confianza del 95 % para la media de la población. c) Qué efecto tiene un mayor tamaño de muestra sobre el intervalo de confianza? Inciso a): Sabemos que:

2 2 Practico - Intervalos de Confianza.nb Σ 22.5 ; n 25; x 13; z 1.96; Donde: Σ = Desvio standard poblacional n = Tamaño de la muestra x = Media Muestral z = Variable Standarizada xinf x z xsup x z Por lo tanto el intérvalo de confianza es: Clear Σ, n, x, z, xinf, xsup IC Μ ; 95 ( ; ) Aclaración: El valor de z fue optenido, conociendo el grado de confianza que debia tener el intérvalo y planteando la siguiente ecuación: Solve 0.5 Probability x z, x NormalDistribution 0, , z z Inciso b): Sabemos que: Σ 22.5 ; n 32; x 13; z 1.96; Donde: Σ = Desvio standard poblacional n = Tamaño de la muestra x = Media Muestral z = Variable Standarizada

3 Practico - Intervalos de Confianza.nb 3 xif x z xsup x z Por lo tanto el intérvalo de confianza es: Clear Σ, n, x, z IC Μ ; 95 ( ; ) Inciso c): Respuesta: Lo que sucede al aumentar el tamaño de la muestra, manteniendo constante los demás parámetros, es una dismimnución del error de estimación. Ejercicio 2: Se tiene interés en estimar la vida media de un producto nuevo. Qué tan grande debe ser la muestra que debe tomarse para estimar la media, con un error no mayor de 1/10 de la desviación estándar y con una confianza del 90%? n =? ( Incognita ) 1 - Α = 0.9 En primer lugar, determinamos el valor de la variable standarizada, para el cual la probabilidad es de 0.9: Solve 0.5 Probability x z, x NormalDistribution 0, , z z z Para determinar el tamaño de la población, planteamos las siguientes ecuaciones: ε 1 10 Σ ε Z Α

4 4 Practico - Intervalos de Confianza.nb Resolvemos el sistema y tenemos: Solve z 1 Σ, n 10 n Por lo tanto, para que en estas condiciones, para que el error de estimación no sea mayor que la decima parte de la desviación estándar, se necesita un tamaño de muestra n, tal que n > 663,578. Clear Ε, Σ, z, n Ejercicio 3: La Cámara de Comercio de una ciudad desea estimar el gasto medio por turista que visita dicha ciudad durante un período determinado. Con ese objetivo se ha elegido una muestra al azar de 100 turistas y se ha hallado que x = 800 $. Se conoce de experiencias anteriores que la desviación estándar de los gastos por turista en ese período es de 120 $. a) Construir un intervalo de 95 % de confianza de para el gasto medio b) Cómo debe modificarse el tamaño de la muestra si se desea aumentar el grado de confianza a 99% sin aumentar el error de estimación obtenido en el punto a)? Inciso a): n 100; x 800; Σ 120; z 1.96; xinf x z xsup x z En conclusión, el intervalo de confianza será: IC Μ ; 95 ( , )

5 Practico - Intervalos de Confianza.nb 5 Inciso b): El error está dado por: Ε z Σ n Para una 1 - Α = 0.99, tenemos: Clear n Solve Ε Σ, n n n Por lo tanto el tamaño de la nueva muestra, para obtener una confianza del 99% e = 173. Clear n, x, Σ, z, xinf, xsup, Ε Ejercicio 4: Una persona afirma que su curso de preparación para agentes de seguros de vida permite a una compañía contratar más pólizas que la compañía promedio. El monto mensual de contratación de todos los agentes de seguros tiene un comportamiento normal con promedio de $ Una muestra de 10 agentes que siguieron el curso de preparación dio los siguientes resultados (en miles de pesos): a) Si Ud. fuera el supervisor de los agentes Adoptaría el curso propuesto por esa persona? b) Qué conclusión se puede extraer si se piensa que Σ^2 = 260? Considera que estos datos son suficientes para obtener una buena conclusión? Inciso a): Μ 100; n 10; datos 100, 120, 130, 120, 125, 90, 130, 135, 140, 110 ; La media de los datos será:

6 6 Practico - Intervalos de Confianza.nb x Mean datos 120 La varianza: Variance datos 250 Y por último, tenemos que el desvio standar es: s StandardDeviation datos N Como no conocemos la varianza poblacional, lo que hacemos es aproximar la varianza muestral a la poblacional y utilizando una distribución del tipo T-Student, establecemos un intervalo de confianza para el valor de Μ, para la formación de este intervalo de confianza suponemos un nivel de confianza del 95%. Para utilizar la distribución, T-Student, sabemos: n - 1 = 9 (grados de libertad) Α = = 0.05 t n 1 ; Α De tabla Los valores de los límites inferior y superior de nuestro intervalo, estarán dados por: xinf x N xsup x IC Μ ; ; Conclusión: De este resultado, podemos concluir que si la empresa decide que sus agentes tomen el cusro, las ventas promedios en miles de pesos de los vendedores que asistan al mismo, aumentaran como mínimo en 10 mil pesos, con un 95% de seguridad. Clear xinf, xsup Inciso b): Σ 260 ; En este caso, podemos armar un intervalo de confianza de la siguiente manera:

7 Practico - Intervalos de Confianza.nb 7 z xinf x z xsup x z IC Μ ; ; ) ; Como podemos ver, este intérvalo es practicamente igual al del inciso anterior Clear xinf, xsup Comparemos ahora los errores de estimación en cada caso: Caso a: Ε T n 1;Α S n 1 n Ε a Caso b: ε Z Α Σ x n Ε b z Como vemos, al calcular los erroes de estimación en cada caso, estos son practicamente iguales. Por consiguiente y en función a los resultados obtenidos, podemos concluir que tanto en el caso a, como en el caso b, estamos frente a la misma situación. Dicho de otro modo, una muestra con la desviación dada en a, corresponde a una población con una desviación como la dada en b. Clear Μ, n, s, Σ, x Ejercicio 5: ( No Resuelto ) El departamento de servicio a clientes de la compañía de gas para viviendas desea estimar la dispersión del período que transcurre entre la llegada de una solicitud de servicio y la conexión del mismo. El departamento considera que si la compañía trabajó según lo convenido, la desviación estándar de dicho período no debe ser mayor a 19 días. Se seleccionó una muestra aleatoria de 15 casas a partir de los registros disponibles del año anterior. Los resultados registrados sobre el tiempo transcurrido entre solicitud y conexión fueron:

8 8 Practico - Intervalos de Confianza.nb A qué conclusión llegará el departamento? (suponga distribución normal para la variable en estudio) Σ 19; n 15; Variable en estudio: Tiempo transcurrido entre solicitud y conexión del servicio. datos1 114, 78, 96, 137, 78, 103, 117, 126, 86, 99, 114, 72, 104, 73, 86 ; Mean datos1 N Variance datos StandardDeviation datos1 N Clear Σ, n Ejercició 6: Una compañía telefónica desea conocer la proporción de aparatos que necesitan reparación sobre el total de los instalados. Cuál es el mínimo tamaño de muestra necesario para estimar dicha proporción con un error de a los sumo 0,01 y con un coeficiente de confianza igual a 0,95? Conocemos: z Α 1, 96; ya que la confianza es del 0.95 Ε = 0.01 Podemos aproximar el valor de n, mediante la siguiente ecuación: n = z Ε 2 p q Como no conocemos el valor de p, suponemos q p*q será máximo para p = 0.5, por lo tanto un valor máximo de n para estimar la proporción poblacional, estará dado por

9 Practico - Intervalos de Confianza.nb 9 n Es decir, que para que el error de estimación, no sea mayo al 0.01; el tamaño de la muestra n, debe ser tal que n > Clear n Ejercicio 7: Una muestra aleatoria de los puntajes de 100 aspirantes a puestos de mecanógrafos, en una gran compañía de seguros, presentó un puntaje medio de 72,6. El diseñador de la prueba sostiene que los aspirantes calificados deben promediar por lo menos 75 puntos. Suponga que la desviación estándar de los puntajes de la prueba es de 10,5. Puede concluir la compañía de seguros que está contratando aspirantes calificados, teniendo en cuenta los resultados de esta prueba? Variable en estudio: X Puntaje obtenido por los aspirantes a mecanógrafos, en la prueba de aptitud para conseguir el empleo. n 100; x 72.6; s 10.5; Como n > 30 y no conocemos la desviación standar poblacional, lo q hacemos es apriximar la desviación muestral S a la poblacional Σ y tomando un nivel de confianza del 95%, armamos el siguiente intérvalo de confianza: z 1.96; xinf x z xsup x z IC Μ ; ; ) Teniendo en cuanta los resultados de la prueba, y en función a lo establecido por el diseñador de la misma (que los aspirantes calificados deben promediar por lo menos 75 puntos ), la compañia puede concluir, con un 95% de confianza, que no esta contratando aspirantes calificados. Clear n, x, s, z, xinf, xsup

10 10 Practico - Intervalos de Confianza.nb Ejercicio 8: La administración de un supermercado desea conocer el tiempo promedio que emplean sus clientes para realizar sus compras. Para obtener dicha información se va a estudiar una muestra al azar de clientes. A partir de experiencias pasadas en tiendas similares se ha estimado que la desviación estándar de la variable en estudio se encuentra entre 5 y 10 minutos. a) Qué tamaño de muestra aconsejaría si se admite un error de estimación de 1 minuto? (Trabaje con 95 % de confianza). b) Suponga que de una muestra al azar de 200 clientes se obtuvo un x = 19,56 minutos y una dispersión del tiempo que los clientes permanecieron en la tienda de 6,6 minutos. En supermercados comparables el tiempo medio empleado por los clientes es de 25 minutos Podría concluirse que la tienda en la cual se realizó el estudio difiere de las otras con respecto al tiempo promedio que emplean los clientes? Variable en estudio: X Tiempo promedio, empleado por los clientes en hacer sus comprar en el supermercado. 1 - Α = 0.95 Inciso a) Tenemos: Ε < 1 y a su vez Ε = z Α Ε 1; Solve 5 Ε n 1.96, n n Solve 10 Ε n 1.96, n n ; donde 5 < Σ < 10 Por lo tanto el resultado sería: < n < Es decir, que para hacegurarnos un error de estimación de como máximo 1min, debemos tomar un tamaño de muestra tal que, n = 385. Clear n, Ε

11 Practico - Intervalos de Confianza.nb 11 Inciso b) Tenemos: n 200; x 19.56; s 6.6; Como n > 30 y no conocemos el valor de Σ, en función a una confianza del 95%, formamos el siguiente intervalo de confianza: z 1.96; xinf x z xsup x z IC Μ ; ; ) Conclusión: En función al intervalo de confianza anteriormente determinado, se puede inferir, con un 95% de confianza, que la tienda en la cual se realizo el estudio difiere de las otras ya que el tiempo promedo que emplean los clientes es menor en ella. Clear n, x, s, z, xinf, xsup Ejercicio 9: Un fabricante de disquetes para computadoras personales está preocupado por el número de sectores dañados que se registran cuando se formatea un disco en una computadora particular. Para investigar sobre las características de la producción, se selecciona una muestra de 100 disquetes de la producción diaria, se les da formato y se registra el tamaño (en miles de bytes) de los sectores dañados de cada disco. En la tabla siguiente se presenta la distribución de frecuencias del tamaño (en miles de bytes) de los sectores dañados en las unidades correspondientes a la muestra seleccionada.

12 12 Practico - Intervalos de Confianza.nb a) Estime, en promedio, el tamaño de los sectores dañados de los discos. Interprete los valores hallados. b) El fabricante está preocupado por la proporción de discos cuyos sectores dañados superan los bytes. Qué se puede inferir respecto a esto? Variable en estudio : X Tamaño de los sectores dañados en los discos ( en miles de bytes ). Inciso a): datos11 "Tamaño del Sector Dañado", "n de discos", 2.8, 2, 7.6, 11, 12.4, 12, 17.2, 13, 22, 17, 26.8, 13, 31.6, 12, 36.4, 10, 41.2, 9, 46, 1 MatrixForm Tamaño del Sector Dañado n de discos Para operar mas comodamente los datos, los reordenamos de la siguiente manera:

13 Practico - Intervalos de Confianza.nb 13 list 2.8, 2.8, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 7.6, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 12.4, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 17.2, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 26.8, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 31.6, 36.4, 36.4, 36.4, 36.4, 36.4, 36.4, 36.4, 36.4, 36.4, 36.4, 41.2, 41.2, 41.2, 41.2, 41.2, 41.2, 41.2, 41.2, 41.2, 46 ; n1 Dimensions list ; n n Media de los datos: Varianza: x Mean list Variance list Desviación Standard: s StandardDeviation list Como n > 30, y adoptando una confianza del 95%, podemos armar el siguiente intérvalo de confianza: xinf x xsup x IC Μ ; ; ) En función al intervalo anteriormente determinado, se puede inferir con una confianza del 95% que la dimensión promedio del tamaño de los sectores rayados en los discos esta entre ( ; ). Clear x Inciso b): (Falta Resolver) Probability x 22, x list N 0.62