Nombre: Distribuciones de probabilidad continua. Segunda parte.

Transcripción

1 Estadística

2 1 Sesión No. 12 Nombre: Distribuciones de probabilidad continua. Segunda parte. Contextualización En la presente sesión aprenderás una de las aplicaciones principales de la distribución t-student, los intervalos de confianza, la cual es utilizada en la estadística inferencial o estadística estimada. Al finalizar la sesión habrás aprendido a utilizar la distribución t-student para encontrar intervalos de confianza con medias poblacionales desconocidas. Fuente:

3 2 Introducción al Tema En estadística inferencial cuando se calcula un intervalo de confianza para la media poblacional, suele no contarse con una buena estimación de la desviación estándar poblacional. En tales casos se usa la misma muestra para estimar µ y σ. Esta situación es el caso que se conoce como σ desconocida. Qué es la estadística inferencial? Qué son los intervalos de confianza con varianza desconocida? Fuente: Cuando se usa s para estimar σ, el margen de error y la estimación por intervalo de la media poblacional se basan en una distribución de probabilidad conocida como distribución t.

4 3 Explicación Distribución T Cómo es la distribución t? Una de las principales contribuciones de la estadística es emplear datos de una muestra para hacer estimaciones y probar hipótesis acerca de las características de una población mediante un proceso que se le conoce como inferencia estadística. A las características numéricas de una población, como la media y la desviación estándar, se les llama parámetros. El principal propósito de la inferencia estadística es hacer estimaciones y pruebas de hipótesis acerca de los parámetros poblacionales, usando la información que proporciona una muestra. Para estimar el valor de un parámetro poblacional, la característica correspondiente se calcula con los datos de la muestra, a lo que se conoce como estadística muestral. Ejemplos: la media, la desviación estándar y la varianza son llamados estimadores puntuales. Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error. La fórmula general de una estimación por intervalo es: Estimador puntual ± Margen de error El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de que tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.

5 4 Uso de la distribución de probabilidad t-student para el cálculo de intervalos de confianza con σ desconocida. La distribución t es una familia de distribuciones de probabilidad similares; cada distribución t depende de un parámetro conocido como grados de libertad. La distribución t para un grado de libertad es única, como lo es la distribución t para dos grados de libertad y así sucesivamente. A medida que el número de grados de libertad aumenta, la diferencia entre la distribución t y la normal estándar se va reduciendo. Fuente:

6 5 Estimación por intervalo de la media poblacional: σ desconocida. ± x tα 2 s n Donde s es la desviación estándar de la muestra, (1-α) es el coeficiente de confianza y t α/2 es el valor de t que proporciona un área de α/2 en la cola superior de la distribución t para n-1 grados de libertad. Para ilustrar la estimación por intervalo en el caso de σ desconocida, analizaremos el siguiente ejemplo: Estimar la media en el adeudo de las tarjetas de crédito en la población de familias de Estados Unidos. No se cuenta con desviación estándar poblacional σ, pero se tiene datos muestrales que deberán usarse para estimar tanto la media poblacional como la desviación estándar poblacional: Saldos en las TC de una muestra de 24 familias: _ Con los datos de la tabla se calcula la media muestral ( x = $ ) y la desviación estándar de la muestra (s=$ ). Ahora utilizaremos la tabla de probabilidades de la distribución t-student para encontrar el valor de t correspondiente a 95% de confianza y n-1 = 23 grados de libertad. Dar clic en la siguiente liga para que observes la tabla tstudent:

7 6 T 23,0.025 = Pasaremos a calcular la estimación por intervalo: ± ± La estimación puntual de la media es $ , el margen de error es de $ y el intervalo de confianza de 95% va de: < x < En consecuencia, 95% de confianza de la media de los saldos en las tarjetas de crédito de la población de todas las familias esta entre $ y $10,

8 7 Conclusión En esta sesión aprendimos el concepto de estadística inferencial y el uso de la distribución de probabilidad t-student para calcular estimaciones por intervalo de confianza para la media, cuando no se conoce la desviación estándar poblacional (σ). Recordemos que el uso de la distribución t-student es directamente en la estadística inferencial a través de estimadores puntuales y para muestras menores a 30. Es importante considerar que esta distribución también está relacionada con la distribución normal.

9 8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Reyes, L. (s/f). Distribucion t-student. Teoría de pequeñas muestras. Consultado el día 30 de octubre del 2013: Cómo se utiliza la tabla de la distribución t-student? (s/f). Consultado el día 30 de octubre del 2013: Video relacionado con la distribución t-student: Distribucion t-student. (2011). Consultado el día 30 de octubre del 2013: Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

10 9 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de la distribución t-student y el cálculo de la estimación de intervalo para la media con desviación estándar poblacional (σ) desconocida, resuelve el siguiente ejercicio: Los datos muestrales siguientes provienen de una población normal: 10, 8, 12, 15, 13, 11, 6, 5. a. Cuál es la estimación puntual de la media poblacional? b. Cuál es la estimación puntual de la desviación estándar poblacional? c. Con 95% de confianza, Cuál es el margen de error para la estimación de la media poblacional? d. Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media poblacional? Sube la actividad a la plataforma.

11 10 Bibliografía Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.