Estadística para la toma de decisiones

Transcripción

1 Estadística para la toma de decisiones

2 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Sesin No. Nombre: Introduccin a la Probabilidad. Objetivo Al término de la sesin el estudiante distinguirá las reglas de la adicin y de la multiplicacin, a través de la resolucin de ejercicios para practicar el cálculo de probabilidad simple, conjunta, condicional y suma de probabilidades, y resolver problemas del área econmico administrativa. Contextualizacin En esta sesin aprenderemos el concepto de probabilidad, su teoría, conceptos básicos y las reglas de la adicin y multiplicacin aplicadas para la solucin de problemas econmicos administrativos. Aprenderemos a utilizar los diagramas de Venn y el diagrama de árbol para ilustrar de una manera gráfica las probabilidades de los eventos. Fuente: K4/SPQSqfgpI/AAAAAAAAAHI/arfVMWDjYc/s400/union.jpg

3 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Introduccin al Tema Los administradores sustentan sus decisiones en un análisis de incertidumbres como las siguientes: Qué posibilidades hay de que disminuyan las ventas si aumentamos los precios? Cuáles son las posibilidades de que el producto se tenga listo a tiempo? Qué oportunidad existe de que una nueva invencin sea rentable? La probabilidad dentro de las empresas participa en aquellos problemas y situaciones donde se presenta la incertidumbre y es requerida una toma de decisiones. Fuente: 90-el-grafico-muestra-las-ventas-mas-altas-fuente-nasa.jpg

4 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 3 Explicacin La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Sus valores se encuentran en una escala de 0 a. Fuente: Teoría de la Probabilidad Experimento, es un proceso que produce uno de varios resultados posibles. Por ejemplo, un volado produce Águila o Sol. Espacio muestral (U), es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Por ejemplo, en un volado: U {Águila, Sol} Evento es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, el evento: E Caer Águila en un volado. Probabilidad, es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo. Número de casos favorables del experimento Probabilid ad Número de casos posibles del experimento Casos favorables Total de casos Por ejemplo, la probabilidad de que caiga Águila (A) en un volado es: A) (una águila en la moneda) (dos resultados posibles : águila o sol) 0. 0%

5 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 4 Ejemplo. Se lanza una vez un dado legal. El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados: U {,, 3, 4,, } Sea E Obtener un en la tirada. Casos favorables Todos los casos posibles E ) Su probabilidad es: E ) Sea E Obtener un en la tirada, su probabilidad es: Considerando el espacio muestral se tiene: E ) + E ) + E 3 ) + E 4 ) + E ) + E ) E i ) i Sea E 7 Obtener un o un en la tirada, su probabilidad es: E7 ) + 3 Complemento de un evento Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de todos los resultados que no están en A. Su cálculo es: E ) E) El diagrama de Venn ilustra claramente el concepto de complemento en la siguiente figura:

6 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Fuente: El complemento del evento A es toda la regin sombreada. Ejemplo. Calcular E 7 ) Probabilidad de no obtener un o un en la tirada. Si se excluyen los eventos E y E se obtiene: E ) + E 3 ) + E 4 ) + E ) E 7 ) E 7 ) E7 ) Otra solucin es: Ejemplo 3. Para el experimento de lanzar una moneda al aire, se tiene como resultado el espacio muestral (cara, cruz) y para el lanzamiento de dos monedas al aire se tiene el siguiente espacio muestral representado en un diagrama de árbol.

7 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Fuente: if Un diagrama de árbol es una representacin gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples. Eventos mutuamente excluyentes Un conjunto de eventos es mutuamente excluyente si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la posibilidad de que ocurra otro cualquiera. Ejemplo. En un volado si cae águila excluye que caiga sol y viceversa, entonces son eventos mutuamente excluyentes. Cálculo probabilístico En la Tabla puede observarse el comportamiento de los compradores de cierto producto, suponiendo que se ha tomado una muestra aleatoria de clientes de una tienda departamental.

8 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 7 Tabla Hombres ( H ) Mujeres ( H ) Total Compradores ( C ) No compradores ( C ) Total Probabilidad simple Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica. Número de eventos que tienen la característica A A) Total de resultados posibles n(a) Total de resultados. Cuál es la probabilidad de que el cliente escogido sea hombre? 0 P ( Hombre) H ) %. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer? 30 P ( Mujer) H ) % 3. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea comprador? 00 P ( Comprador) C) 0. 0% 4. Cuál es la probabilidad de que el cliente escogido no compre? 400 P ( No comprador) C ) %. Probabilidad conjunta Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con dos o más características.

9 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 8 Número de eventos con las características A y B A B) Total de resultados posibles n(a y B) Total de resultados. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea al mismo tiempo hombre y comprador? P ( H C) %. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer y no compradora? P ( H C ) % 3. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea hombre y no comprador? P ( H C ) % 4. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer y compradora? P ( H C) % Ley de la adicin. Sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Antes de presentar esta ley veremos la combinacin de eventos tales como la unin y la interseccin. Ley de la adicin:

10 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 9 Para dos eventos A y B: A U B) A) + P (B) A B). Para tres eventos A, B y C: A U B U C) A) +P (B) + C) - A B) - A C) - B C) - A B C) Ejemplo. Si las probabilidades de gana/pierde/empate para un equipo deportivo son 0.40, 0.3 y 0.37 respectivamente, Cuál es la probabilidad de que este equipo no pierda? Sea G el evento gana y E el evento empate, por lo tanto: P (G U E) G) + E) Suma de probabilidades (reglas de la adicin) Se utiliza cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra el evento con la característica A, el evento con la característica B o ambos, se representa como A o B) A B). Caso : para eventos mutuamente excluyentes la regla es: A o B) A B) A) + B) n(a) + n(b) Total de resultados Caso : para eventos que no son mutuamente excluyentes la regla es: A B) P ( A) + B) A B) n(a) + n(b) n(a y B) Total de resultados Ejemplo. Cuando se extrae una carta de una baraja, los eventos As (A) y Rey (R) son mutuamente excluyentes. Cuál es la probabilidad de obtener un As o un Rey en una sola extraccin? A o R) A R) A) + R)

11 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 0 Ejemplo. Los eventos As (A) y Trébol (T) no son mutuamente excluyentes. Cuál es la probabilidad de obtener un As, un Trébol o ambos en una sola extraccin? A o T) A T) A) + T ) A T ) Ejemplo 3. Con los datos de la Tabla calcule lo siguiente:. Cuál es la probabilidad de que el cliente elegido sea hombre o comprador? H o C) H C) H ) + C) H C) % Observe que se sum la probabilidad de hombre con la probabilidad de comprador y se le rest la probabilidad de hombre comprador, ya que la toma dos veces, y si no se restará la estaría duplicando. Si observa el siguiente diagrama de Venn, se puede observar que slo se interceptan los datos una vez y no dos. H C H C) % Slo cuando se trabaja con una tabla de contingencias es más fácil obtener la suma de probabilidades por medio de la cardinalidad de la unin: A B A + B A B, que realizar un diagrama de Venn para cada unin.. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer o comprador? H o C) H C) H ) + C) H C) %

12 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 3. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea hombre o no comprador? H o C) H C) H ) + C ) H C ) % 4. Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer o no comprador? H o C) H C) H ) + C ) H C ) % 4. Probabilidad condicional Es la probabilidad de que un segundo evento A ocurra, si el primer evento B ya ha ocurrido, se denota A / B) y se lee cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A si ya ocurri el evento B? A B) Número de eventos con las características A y B A / B) B) Número de eventos con la característica B n(a y B) n(b) Condicional: lo que ya sucedi Ejemplo. En cierta ciudad, 7% de la gente consume el refresco A, % el refresco B y 40% consume ambos. a) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar consuma el refresco B, dado que consume el A? A) 0.7, B) 0., A B) 0.40 B A) A B) A) % 0.7

13 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Ejemplo. Con los datos de la Tabla calcule lo siguiente:. Suponga que el cliente elegido es hombre cuál es la probabilidad de que también sea comprador? C / H) C H ) H ) % Al dar por hecho que es hombre, nuestro universo se concreta a los hombres (0) y buscando la probabilidad de comprador, se cuenta únicamente los compradores hombres (0).. Calcular la probabilidad de que el cliente elegido sea comprador, dado el hecho de que es mujer. C / H) C H ) H ) % Reglas de la multiplicacin Se refieren a la determinacin de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B, esto se refiere a la interseccin de A y B: A B). Existen dos variaciones a la regla de la multiplicacin de acuerdo a si los eventos son independientes o dependientes. Caso : Regla de la multiplicacin para eventos independientes es: A B) A y B) A) B) Ejemplo. Si se lanza una moneda dos veces, la probabilidad de que ambos resultados sean águila es: A ) A y A ) A ) A ) A 4

14 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 3 Ejemplo. Suponga que en una urna hay cinco fichas, tres blancas y dos negras, calcule lo siguiente: a ) Cuál es la probabilidad de obtener dos fichas blancas en dos extracciones si se repone la primera ficha después de haberla sacado? B Blanca y N Negra da. extraccin B 3 3 B ) B y B ) B ) B ) 9 ra. extraccin La segunda extraccin tiene la misma probabilidad porque se repone la primera ficha extraída, por ello, las dos extracciones son eventos independientes. Reponer la ficha extraída se conoce como muestreo con reemplazo. b ) Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra si se repone la primera ficha que fue blanca? B 3 N ) B y N ) B ) N ) c ) Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca si se repone la primera ficha que fue negra? N 3 B ) N y B ) N) B ) d ) Cuál es la probabilidad de obtener dos fichas negras en dos extracciones si se repone la primera ficha extraída? N N ) N y N ) N) N ) 4

15 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 4 Todos los cálculos anteriores son más fáciles de visualizar, si se realiza el árbol de probabilidades correspondiente, que se presenta en la Figura. Extraccin Extraccin Resultados posibles ( ) 3 P B B ( ) 3 P B 3 B P ( N ) N B N 3 ( ) 3 P B B 3 ( ) P N N ( ) P N N N Figura Caso : Regla de la multiplicacin para eventos dependientes es: A B) A y B) A) B / A) Ejemplo. Suponga que en una urna hay cinco fichas, tres blancas y dos negras, calcule lo siguiente:. Cuál es la probabilidad de sacar dos fichas blancas en dos intentos, sin reponer la primera ficha en la urna? La probabilidad de sacar una ficha blanca en el primer intento es: P ( B 3 ) ; ya que hay tres fichas blancas entre cinco fichas totales; la

16 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. probabilidad de sacar otra ficha blanca es: P ( B /B ) 4 ; ya que quedan en la urna dos fichas blancas entre cuatro fichas totales. De aquí que la probabilidad de que en ambos intentos saquemos una ficha blanca es: B Blanca y N Negra da. extraccin B B ) P 3 4 ( B ) B / B ) 0 ra. extraccin. Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra en la segunda extraccin, si se obtuvo primero una ficha blanca y no se repuso? B 3 4 N ) B ) N / B ) 0 3. Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra en el segundo intento, si se obtuvo primero una ficha negra y no se repuso? N N ) P N 4 ( ) N / N) 0 4. Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca en la segunda extraccin, si se obtuvo primero una ficha negra y no se repuso? N B ) P N P 3 4 ( ) ( / N) B 0 Todos los cálculos anteriores son más fáciles de visualizar, si se realiza el árbol de probabilidades correspondiente, que se presenta en la Figura.

17 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Extraccin Extraccin Resultados ( ) P B B ( ) 3 P B B 3 3 P ( N ) N ( ) 3 P B B ( ) P N N N ) N Figura Independencia estadística Dos eventos son estadísticamente independientes, cuando la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de que suceda el otro. Cuando A / B) A), significa que la probabilidad de A, conocida B, es exactamente la misma que la de A, sin conocer B; es decir, el conocimiento de B no modifica de ninguna forma la probabilidad de A. En consecuencia A es estadísticamente independiente de B. Si A / B) A) entonces son eventos estadísticamente independientes.

18 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 7 Ejemplo. Quién compra más los hombres o las mujeres? Quién compra más los jvenes o los adultos? Para ilustrar la nocin de independencia estadística, vamos a considerar el siguiente ejemplo relacionado con el comportamiento de los clientes, a los que ahora clasificaremos por edad y sexo. Hombres ( H ) Mujeres ( H ) Jvenes Adultos Subtotal Jvenes Adultos Subtotal Total ( J ) ( J ) ( J ) ( J ) Compradores ( C ) No compradores ( C ) Total Calcule de los clientes lo siguiente:. Probabilidad de ser hombre? P ( H ) n( H ) U %. Probabilidad de ser mujer? P ( H ) n( H ) U % Probabilidad simple 3. Probabilidad de ser joven? P ( J ) n( J ) U %

19 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES Probabilidad de ser adulto? P ( J ) n( J ) U % Probabilidad simple. Probabilidad de ser comprador? P ( C) n( C) U %. Probabilidad de ser comprador, dado el hecho de ser joven? C / J) C J ) J ) % 7. Probabilidad de ser comprador, dado el hecho de ser adulto? Probabilidad condicional C / J) C J ) J ) % Observe que: C / J) C) y C / J) C) Si P ( C / J ) C) y P ( C / J ) C) entonces son eventos estadísticamente independientes, porque la probabilidad condicional es igual a la probabilidad simple. En consecuencia, la edad (joven o adulto) y el comportamiento del cliente (comprar o no comprar) son cualidades independientes. El conocer la edad no es de utilidad para predecir si una persona compra o no. Por otra parte, el comportamiento del cliente y el sexo no son cualidades independientes, observe que:

20 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 9 Probabilidad de ser comprador, dado que es hombre: C / H) C H ) H ) % Probabilidad de ser comprador, dado que es mujer: C / H) C H ) H ) % Observe que: C / H ) C) y C / H ) C) Si C / H ) C) y C / H ) C) entonces son eventos estadísticamente dependientes, porque la probabilidad condicional es diferente a la probabilidad simple. Entonces comportamiento y sexo son eventos dependientes, porque no existe independencia estadística. Como.8% > 3.33% entonces hay más mujeres compradoras que hombres. Como es una muestra aleatoria se puede afirmar que: las mujeres compran más que los hombres.

21 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 0 Conclusin En esta sesin aprendimos a calcular la probabilidad de un evento a través de las reglas de adicin y multiplicacin para la probabilidad apoyándonos en el uso de los diagramas de Venn y los diagramas de árbol. En la siguiente sesin trabajaremos con las técnicas de conteo más utilizadas, las permutaciones y combinaciones. Fuente: f3979c4bef&groupid037&t084734

22 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Para aprender más En este apartado encontrarás más informacin acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Introduccin al cálculo de probabilidades. Probabilidad y estadística. Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

23 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesin acerca de la Probabilidad y las reglas de la adicin y multiplicacin, resuelve los siguientes ejercicios:. Las autoridades de Clarkson Univesity realizaron un sondeo entre sus alumnos para conocer su opinin acerca de su universidad. Una pregunta fue si la universidad no satisface sus expectativas, si las satisface o si las supera. Encontraron que 4% de los interrogados no dieron una respuesta, % correspondieron que la universidad no llenaba sus expectativas y % indic que la universidad las superaba. a. Si toma un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que diga que la universidad supera sus expectativas? b. Si toma un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que diga que la universidad satisface o supera sus expectativas?. Suponga dos eventos, A y B, que son mutuamente excluyentes. Admita, además, que A) 0.30 y P (B) a. Obtenga A B) b. Calcule A B). c. Un estudiante de estadística argumenta que los conceptos de eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes son en realidad lo mismo y que si los eventos son mutuamente excluyentes deben ser también independientes. está usted de acuerdo? Use la informacin sobre las probabilidades para justificar su respuesta. d. Dados los resultados obtenidos, Qué conclusin sacaría usted de los eventos mutuamente excluyentes e independientes? Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma. Recuerda que la actividad vale el % de la calificacin final.

24 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 3 Bibliografía Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (008). Estadística para administracin y economía. (0ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. ISBN: Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (0): Estadística descriptiva. México: Pearson Educacin Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (008): Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill. Cibergrafía Rincn, L. (agosto de 00). Probabilidad y estadística. Recuperado de: (s.f.). Introduccin al cálculo de probabilidades. Recuperado de: aii/tema.pdf