MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES EZEQUIEL ZAMORA VICE-RECTORADO DE PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO SOCIAL PROGRAMA CIENCIAS SOCIALES Y JURIDICAS SUBPROGRAMA ADMINISTRACIÓN SUBPROYECTO: ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRADORES II Introducción MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD En nuestra vida aparecen a diario, no importa en el ámbito que nos estemos desenvolviendo, muchas situaciones bajo incertidumbre como, por ejemplo: qué posibilidad tengo de conseguir el empleo, qué posibilidad tengo de salir bien en la evaluación, qué posibilidad hay de que compren el producto, qué probabilidad hay de que una persona se recupere de la enfermedad, qué posibilidad hay de que todos los productos salgan bajo las especificaciones exigidas, qué posibilidad tengo de encontrar la información que necesito, etc. La respuesta a todas las preguntas anteriores tiene un grado de Incertidumbre, aunque tengamos alguna base para obtener las primeras respuestas. Pero existen otros casos en que las respuestas no dependen de conocimientos anteriores sino del azar. Como, por ejemplo, qué posibilidad tengo al lanzar un par de dados de obtener un 7 o un doble uno. En nuestro lenguaje cotidiano, palabras como probablemente, es poco probable que, hay muchas posibilidades de que hacen referencia a esta incertidumbre. La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar de obtener respuesta a estas incertidumbres. Cuando se aplican las técnicas estadísticas a la recolección, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo del presente módulo. Al estudiar las probabilidades existen los siguientes objetivos: Familiarizar al estudiante con experiencias de la vida diaria en las que interviene el azar. Entender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes. Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a problemas concretos. Entender los teoremas de la probabilidad y su aplicabilidad.

2 Teoría de la Probabilidad Según Posada y Buitrago (2008) La teoría de probabilidad es La teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible. Para ello podemos citar este ejemplo, el agua calentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, ejemplos: lanzar un dado o una moneda. O sea que la probabilidad es darle una medida o un valor a la incertidumbre. Conceptos Básicos de Probabilidad Experimento aleatorio: Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación o una medida de un fenómeno o es aquel que en las mismas condiciones iniciales produce distintos resultados finales, que son conocidos por anticipado pero no se puede predecir con certeza el resultado en cada experiencia en particular. Ejemplo: lanzar una moneda, un dado, etc. Experimento determinístico: Es aquel en el que las mismas condiciones provocan los mismos efectos, como por ejemplo: un capital bajo el mismo intervalo de tiempo, produce el mismo resultado. Prueba: Es una observación particular. Espacio Muestral: (S) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico. Ejercicio 1. Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire. Si sale cara, se lanza otra vez la moneda. Si sale sello, se lanza un dado una vez. Se pide construir el espacio muestral. S =? Ejercicio 2. Un experimento consiste en lanzar primero un dado y después lanzar una moneda, siempre y cuando el número en el dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la moneda se lanza 2 veces. Encuentre el espacio muestral. S =?

3 Técnicas de Conteo Es una herramienta matemática que sirve para conocer el total de resultados posibles en un experimento estadístico. Las principales son: Principio de la Multiplicación Si un acontecimiento A puede ocurrir de m maneras diferentes, y si para cada una de esas m maneras posibles de ocurrencia de A, un segundo acontecimiento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces, el número de manetas diferentes en que puede ocurrir el acontecimiento A seguido del acontecimiento B es m x n Ejercicio 3. Cuáles son los resultados posibles al lanzar una moneda 3 veces? Principio de la Permutación Se define el número de permutaciones de n objetos como el total de maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a 1x2x3x...n = n!, definido como factorial de n. Desde 1 hasta n. n! (factorial) es el producto de los enteros Ejercicio 4. Definir el resultado de 3!, 5! y 10! Ejercicio 5. De cuántas maneras podemos organizar cuatro personas en una fila? Variaciones o Permutaciones Tomado del material instruccional del profesor Fagilde, podemos decir también que la permutación (P) es cada arreglo de datos donde el orden es importante y puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo. Su fórmula cuando: (n = r) = n P n = n! Dónde: n = número de datos N! (r < n) = N P n = N n! r = grupo tomado N = elementos disponibles (población)

4 Ejercicio 6. Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas. Se pide de cuantas maneras se pueden asignar las personas a las máquinas? Ejercicio 7. Se tienen cuatro reglas de salud: Regla A: no fumar Regla B: hacer ejercicios Regla C: tomar 7 u 8 vasos diarios de agua Regla D: comer verduras. Si actualmente todas no se cumplen y se quieren cumplir 2 de ellas, cuáles serían las opciones? Sucesos Probabilísticos De acuerdo con la forma como ocurren dos o más sucesos probabilísticos estos pueden ser: Sucesos independientes: Son aquellos sucesos donde la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia de otro u otros sucesos. Ejemplo: sacar de una caja una pelota blanca, si antes se sacó una pelota negra y se devolvió a la caja. Sucesos dependientes: Son aquellos sucesos donde la ocurrencia de uno de ellos sí depende de la ocurrencia de otro u otros sucesos. Ejemplo: sacar de una urna una pelota blanca, si antes se sacó una pelota negra y no se devolvió a la urna. Sucesos compatibles o mutuamente no excluyentes: Son aquellos sucesos que pueden ocurrir al mismo tiempo o simultáneamente, es decir, la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia de otro u otros sucesos. Ejemplo: se lanzan dos dados al mismo tiempo, puede salir el 1 o el 5? Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes: Son aquellos sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo en forma simultánea, es decir, que la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de otro. O sea A B = ᴓ Ejemplo: En el lanzamiento de dos dados simultáneamente, sacar al mismo tiempo dos números pares y que su suma sea impar. Definición de Probabilidad La posibilidad de que se presente un evento resultante de un experimento estadístico se evalúa por medio de un conjunto de números reales llamados Probabilidades que caen en el rango (0,1). A cada punto en el espacio muestral se le asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades tiene que ser igual a 1.

5 Modelo Empírico o Frecuencialista: El modelo de frecuencia relativa llamado también modelo a posteriori utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante: Modelo Subjetivo: Es el grado de creencia personal de la posibilidad de que ocurra un suceso. Modelo Clásico: En este enfoque se asume que todos los resultados de un experimento tienen la misma posibilidad de ocurrir. La probabilidad clásica de un evento A se determina Axiomas de Probabilidad Antes de entrar a ver los axiomas de probabilidad es importante que se experimenten varios puntos: 1. Es necesario el conocimiento de la teoría de conjuntos para poder interpretar muchos problemas de probabilidades. 2. En muchos casos, no se necesitan las reglas de probabilidades para poder obtener la respuesta de probabilidad ; es suficiente tener buena interpretación de lo que se pregunta y tener clara la fórmula básica de probabilidad. Los casos favorables son aquellos que cumplen con la condición, y los casos posibles son todos los resultados posibles en un experimento estadístico (espacio muestral). Teorema 1. Regla de la unión o suma: La suma o adición de probabilidades se obtiene cuando se considera la ocurrencia de un suceso o de otro o de ambos a la vez. Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces: P (A + B) = P (A) + P (B) Eventos no mutuamente excluyentes: Dos eventos A y B son no mutuamente excluyentes si ambos pueden ocurrir simultáneamente, entonces: P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B)

6 Teorema 2. Regla del complemento: Se cumple que un valor de probabilidad es un valor comprendido entre 0 y 1, es decir, 0 P 1. Por consiguiente, se cumple que el total de las probabilidades favorables y no favorables a un suceso considerado es igual a la unidad entonces: P + Q = 1 Teorema 3. Probabilidad Condicional: En muchas ocasiones la probabilidad de que ocurra un evento depende de lo que ha ocurrido con otro evento. En definitiva, la probabilidad condicional de A, dado que ha ocurrido el evento B, se escribe P (A/B). O sea, es la probabilidad de que ocurra un evento A cuando se conoce cierta información relacionada con la ocurrencia de otro evento B. P (A/B) = Probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido. P (B/A) = Probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido. Teorema 4. Regla de la multiplicación o intersección: En el caso que nos interesa considerar la ocurrencia de varios sucesos estamos en presencia de sucesos compuestos y se representan por la probabilidad de un producto. Ejercicio 8. Sucesos dependientes (sin reemplazamientos) Sucesos Independientes (con reemplazamientos) En un curso, 10 alumnos aprobaron Historia, 15 aprobaron Matemáticas y 14 aprobaron Español; 3 alumnos aprobaron Español e Historia, 5 Matemáticas y Español, 3 aprobaron Matemáticas e Historia y 1 solo aprobó las 3 materias. Si seleccionamos un estudiante en forma aleatoria, hallar: a. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas b. Probabilidad de que haya aprobado solamente Matemáticas c. Probabilidad de que no haya aprobado Matemáticas d. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas o Historia e. Probabilidad de que haya aprobado Historia y Español f. Si aprobó Español, cuál es la probabilidad de que haya aprobado Historia?