Qué es una técnica de conteo?

Transcripción

1 Estadística

2 1 Sesión No. 7 Nombre: Probabilidad. Tercera parte. Contextualización Qué es una técnica de conteo? En la presente sesión aprenderemos a trabajar con las técnicas de conteo, mayormente utilizadas en la probabilidad, como lo son las permutaciones y combinaciones. Aprenderemos la diferencia de la aplicación de cada una de las técnicas en cada uno de los experimentos realizados en la probabilidad. Fuente:

3 2 Introducción al Tema Seguimos con el tema de Probabilidades. Ya estudiamos Espacio/Muestra, Eventos compuestos, Leyes de probabilidad, Ley de Bayes. Ahora solamente resta por analizar dos subtemas: Conteo de puntos muestrales y Combinación y permutación. Así que los invitamos a que continúen atentos a cada uno de los ejercicios. Qué son las técnicas de conteo en probabilidad? Cuál es la diferencia entre permutar y combinar? En ocasiones es poco práctico enumerar todos los puntos muestrales de un evento a fin de conocer cuántos son. Fuente: Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales.

4 3 Explicación Conteo de puntos muestrales. Combinaciones y permutaciones Qué es el conteo de puntos muestrales? Las técnicas de conteo son utilizadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Principio fundamental del conteo Si una operación puede realizarse en m 1 formas, y si por cada una de éstas una segunda operación puede realizarse en m 2 formas y una k-esima operación puede realizarse en m k formas, entonces las k operaciones pueden llevarse a cabo juntas en m 1 xm 2 x m k formas. Regla de conteo para las Combinaciones Permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar r objetos de un conjunto (usualmente mayor) de n objetos en donde el orden en que están dispuestos los objetos no importa. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r es: C r n = n r = n! r! (n r)!

5 4 La notación! significa factorial. Ejemplo: Si de un grupo de 8 personas se van a seleccionar 4 para un comité de representación en donde todas ostentan el mismo cargo, cuántos grupos diferentes de 4 representantes se pueden formar? Solución. En este caso n=8 y r=4 y como cada elemento tiene el mismo cargo, entonces: C 4 8 = n! r! (n r)! = 8! 4! (8 4)! = (24)(24) = 70 Se forman 70 diferentes grupos de 4 representantes. Regla de conteo para las Permutaciones Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos y el orden de selección es relevante. Los mismos r objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r está dado por: P r n = r! n r = n! (n r)! Ejemplo. Si se va a integrar un código con 5 letras diferentes, partiendo de un conjunto de 6 caracteres disponibles de la A - F. Cuántos códigos es posible generar? Solución. En este caso n = 6 (Cantidad de letras de la A - F) y r = 5 y como cada orden es un código diferente, entonces se trata de una permutación. P 5 6 = n! (n r)! = 6! (6 5)! = = 720

6 5 Son 720 códigos diferentes que se generan. Probabilidad usando técnicas de conteo Es factible usar técnicas de conteo vistas anteriormente para el cálculo de probabilidades en eventos que no impliquen reemplazo. La regla que se sigue es la siguiente: P(A) = Numero de puntos muestrales del eventoa Numero de puntos muestrales totales Ejemplo. Se tienen en una bodega 20 artículos, de los cuales 5 son de importación. Si se toman 4, Cuál es la probabilidad de que los 4 sean de importación? Solución: Primeramente se toman en cuenta las siguientes consideraciones: Se habla de una población de tamaño N, dentro de ella hay un número k de elementos que cumplen con cierta característica. De este subconjunto k deseamos obtener x elementos con dicha característica en una muestra de tamaño n. Para seguir con la regla anterior tomaremos la información de la siguiente manera: P(x = elementos que cumplan caracteristica) = C n x N k k C x CN n Por lo tanto, N = 20 Total de población, k= 5 subconjunto de elementos que cumplen cierta característica, n=4 muestra de elementos que cumplen con dicha característica,

7 6 x= 4 elementos que cumplen con dicha característica. P(x = 4) = C C 4 Ocupamos 0 artículos nacionales y 4 de importación, por eso se realiza esta multiplicación de combinaciones. Efectuando las operaciones indicadas, tenemos que P(x=4)=(1)(5)/4845= C 4 20

8 7 Conclusión En la presente sesión aprendimos a trabajar las técnicas de conteo más utilizadas, como son las permutaciones y combinaciones, recordando que la diferencia entre ellas es que en la primera sí importa el orden que se va a realizar y en la segunda no interesa ese orden. En la siguiente sesión iniciaremos nuestro trabajo con las Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias. Fuente:

9 8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Técnicas de Conteo. (s/f). Consultado el 6 de noviembre de 2013: Hernández, J. (s.f.). Técnicas de Conteo. En Instituto Tecnológico de Apizaco. Consultado el 6 de noviembre de 2013: Video con la explicación de las Técnicas de conteo: permutaciones y combinaciones. Diferencia entre permutación y combinación. (2011). Consultado el 6 de noviembre de 2013: Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

10 9 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en la sesión acerca de las técnicas de conteo de permutaciones y combinaciones, resuelve los siguientes ejercicios: De cuantas maneras posibles se seleccionan tres objetos de un conjunto de seis? Usa las letras A, B, C, D, E Y F para identificar a los objetos y enumera todas las combinaciones diferentes de los tres objetos. Sube la actividad a la plataforma.

11 10 Bibliografía Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.