METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD

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José Luis Rivero Barbero
hace 7 años
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1 METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD

2 PROBABILIDAD Cuando realizamos un experimento, diremos que es: Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo. Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

3 Definición probabilidad Ejemplo: Al extraer una sola carta de un naipe español (40 cartas), cual es la probabilidad de obtener: a) Un as b) Un 3 de espadas c) 15 de oros d) un número menor o igual que 3?

4 Ejercicio Unal

5 Ejercicio Unal

6 Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENI A OSTEOPOROSIS MENOPAUSIA NO SI Total Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis? Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?

7 PROBABILIDAD Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S. Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sello o que caiga cara. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento). S = { s, c }

8 PROBABILIDAD 2.- Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

9 PROBABILIDAD Experimento.- Se lanza un dado y una moneda S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } Probabilidad de que aparezcan el número 2 o 3 con sello. Probabilidad de que aparezcan números pares con sello.

11 Ejemplo Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados se obtenga: a) Que la suma de sus caras sea 7 b) En una cara aparezca un tres y en la otra un valor mayor a 4. c) En el primer dado aparezca un 3 o 5 y el segundo un 2 o 4.

12 Ejercicio Unal

13 Ejercicio Unal Hay 10 parejas posibles

14 Ejercicio Unal

15 Ejercicio Unal

16 Ejercicio Unal Ya que quedan 4 blancas, 3 rojas y 3 azules.

17 Ejercicio Unal

18 Ejercicio Unal En total hay 11 bolas, cuando se extrae la primera bola quedan 10 y después quedan 9

19 Métodos de conteo Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

20 Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: Juan tiene 2 corbatas de colores azul y rojo, respectivamente, y tres camisas de colores azul, rosa y blanco. Cuántas combinaciones puede hacer?

21 Ejemplo Realiza el diagrama de árbol para las posibles combinaciones de un menú de almuerzo

22 Solución

23 Principio multiplicativo Regla de la multiplicación: Si se desea realizar una actividad que consta de k pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de n1 maneras, el segundo paso de n2 maneras y el k-ésimo paso de Nk maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:

24 Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra maíz.

26 Ejemplo Cuantos billetes de lotería (de cuatro cifras y una serie de una letra) hay? Cifras

27 Ejemplo con condiciones. Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar, si esta debe constar de dos letras, seguidas de cuatro dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. Considere que se pueden repetir letras y números. Considere que no se pueden repetir letras y números. Cuántas de las claves empiezan por la letra A y terminan en impar?

28 Ejemplo con condiciones. Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar, si esta debe constar de dos letras, seguidas de cuatro dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. Considere que se pueden repetir letras y números. 27x27x10x10x10x10 Considere que no se pueden repetir letras y números. 27x26x10x9x8x7 Cuántas de las claves empiezan por la letra A y terminan en impar? 1x27x10x10x10x5

29 Ejercicio Unal

30 Ejercicio Unal

31 Ejercicio Unal

32 Ejercicio Unal La cantidad de números de cuatro cifras es 10x10x10x10 = Como se compro una boleta y se juega con dos números la probabilidad es 2/10000

33 Diferencia entre combinación y permutación

34 Permutación Una permutación de un conjunto de elementos es una disposición de tales elementos de acuerdo a un orden definido. El número de permutaciones de n elementos tomados de r es: n n! Pr n r!

35 Permutaciones Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo. De cuántas maneras pueden quedar asignadas los títulos de campeón y subcampeón? A B B A C A D A A C B C C B D B AD B D C D D C n elementos r subconjuntos.

36 Permutaciones 4 elementos 2 subconjuntos.

37 Ejemplo Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

38 Ejemplo Disponemos de cinco colores para pintar una bandera de tres franjas verticales de igual ancho y diferente color. Teniendo en cuenta este criterio de diseño, cuántas banderas distintas podemos crear?

39 Solución

40 Permutación con todos los elementos. Calcular todas las formas posibles de ordenar los números 1,2 y 3.

41 Permutación con todos los elementos. Calcular todas las formas posibles de ordenar los números 1,2 y 3.

42 Ejercicios a. Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

43 Ejercicios a. Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) 8P8= 8! = b. Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? 8P3=8!/5! = 8x7x6 = 336

44 Permutaciones con repetición una cantidad x 1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x 2 de objetos de un segundo tipo,... y una cantidad x k de objetos del tipo k.

45 Ejemplo Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. Solución: n = 6 banderines x 1 = 2 banderines rojos x 2 = 3 banderines verdes x 3 = 1 banderín morado 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?

46 Combinatoria Permite calcular el número de grupos de tamaño r que se pueden obtener a partir de n objetos diferentes sin tener en cuenta su orden. El número de combinaciones de n objetos tomados de r es: C n r n! r! n r!

47 Combinaciones Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo. Cuántos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón? A B A C B C AD B D C D

48 Combinaciones

49 Ejemplo 2

50 Ejemplo 2

51 Ejercicios Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del conjunto {a, b, c, d, e}. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos.

52 Ejercicios Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del conjunto {a, b, c, d, e}. 5C2 = 5!/3!2! Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos. 14C5 = 14!/9!5!

53 Ejemplo Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

54 Ejercicio 2C1 x 6C4 x 5C4 x 3C2 = 2 x 15 x 5 x 3 = 450

55 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Interesa la POSICIÓN de los elementos del grupo formado. El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Interesa la PRESENCIA de los elementos del grupo formado. El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.

56 Ejercicio Unal

57 Ejercicio Unal Tenemos que mirar cuales son los eventos totales. Es decir de cuantas maneras podemos organizar los 15 aspirantes en grupos de 2. Es una permutación ya que importa el orden. 15P2=15!/13! = 15 x 14 Hay dos eventos favorables de todos los posibles.

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