SEMANA 02. CLASE 02. MIÉRCOLES 14/03/18

Transcripción

1 EM 02. CLE 02. MIÉRCOLE 4/03/8 6. Principios de las Técnicas de Conteo 6.. Combinatoria. Es el arte de contar los posibles elementos de un conjunto, teniendo especial cuidado en no olvidar ningún elemento ni en contarlo más de una vez Principio ditivo. ean conjuntos denotados por, 2,,, con R, R 2,, R elementos distintos respectivamente. i se desea escoger un único elemento, el número de formas distintas será, empleando el principio aditivo, R a Ri =. Ejemplo. ean 3 conjuntos de elementos distintos: = conjunto de 3 sillas, M = conjunto de 2 mesas, L = conjunto de 3 lápices. e desea seleccionar sólo uno de los elementos descritos anteriormente. Cuántas elecciones distintas se pueden realizar? plicando el principio aditivo se tiene que 3 Ra = Ri = = 8. Por lo tanto se pueden realizar 8 elecciones distintas Principio Multiplicativo ean conjuntos denotados por, 2,,, distintos con R, R 2,, R elementos distintos respectivamente. i se desea escoger un elemento de cada uno de los conjuntos, el número de grupos distintos que se pueden formar será, empleando el principio multiplicativo, R m Ri =. Ejemplo. ean 3 conjuntos de elementos distintos: = conjunto de 3 sillas, M = conjunto de 2 mesas, L = conjunto de 3 lápices. e desea seleccionar un elemento de cada conjunto descrito anteriormente. Cuántos grupos distintos pueden ser elegidos? plicando el principio multiplicativo se tiene que 3 Rm = Ri = = Permutaciones 7.. in repetición (P) n ea un conjunto con n elementos claramente distintos. i se desea colocar un elemento en cada una de las n posiciones, el número de formas distintas define las permutaciones de n elementos. Esto es, empleando el principio multiplicativo, José Luis Quintero 9

2 n n. 0 P = (n i) = n! Ejemplo. e tiene el número de 4 dígitos distintos dado por Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden construir usando el número anterior? plicando el principio multiplicativo se tiene que 4 Rm = Ri = = 4! = 24. Por lo tanto se pueden construir 24 números de cuatro cifras distintas Con repetición (PR n,) Dados n elementos, de los cuales hay sólo diferentes ( n iguales, n 2 iguales,, n iguales, tal que n + n n = n), el número de secuencias ordenadas de estos elementos es PR n, n! n! = = n!.n 2!. L.n! Ejemplo. e tiene el número de 8 dígitos dado por Cuántos números de (n)! ocho cifras se pueden construir usando el número anterior? e identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece vez. El número 3 aparece 2 veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 8! PR8,4 = = = 680.!.2!.2!.3! Por lo tanto se pueden construir 680 números de ocho cifras distintas. i. 8. Variaciones 8.. in repetición (V ea un conjunto con n elementos claramente distintos. i se desea colocar un elemento en cada una de las r posiciones (r n), el número de formas distintas como se puede realizar esto define las variaciones de n elementos tomados de r en r. Esto es, empleando el principio multiplicativo, n r i = 0 n,r n r (n i). n! V = (n i) = = = n.(n ).(n 2)...(n (r )) (n r)! 0 (n i) Ejemplo. e tiene el número de 4 dígitos distintos dado por Cuántos números de dos cifras distintas se pueden construir usando el número anterior? plicando el principio multiplicativo se tiene que José Luis Quintero 0

3 4! 4! V4,2 = = = 4 3 = 2. (4 2)! 2! Por lo tanto se pueden construir 2 números de dos cifras distintas Con repetición (VR ean n elementos distintos. El número de selecciones ordenadas de r de ellos, pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección es n,r r VR = n. Ejemplo. e tiene el número de 4 dígitos distintos dado por Cuántos números de dos cifras se pueden construir usando el número anterior? plicando el principio multiplicativo se tiene que VR4,2 = 4 = 6. Por lo tanto se pueden construir 6 números de dos cifras Combinaciones 9.. in repetición (C ea un conjunto con n elementos claramente distintos. i se desea colocar un grupo de r elementos (r n), el número de formas distintas como se puede realizar esto define las combinaciones de n elementos tomados de r en r. En tal sentido n n! Cn,r = =. r r!(n r)! Ejemplo. e tiene el número de 4 dígitos distintos dado por Cuántos grupos de dos números distintos se pueden construir usando el número anterior? 4 4! 4! C4,2 = = = = !(4 2)! 2!2! Por lo tanto se pueden construir 6 grupos de dos números distintos Con repetición (CR Dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de r de ellos, sin tener presente el orden y pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección es n + r (n + r )! (n + r )! CRn,r = = =. r r!(n + r r)! r!(n )! Ejemplo. e tiene el número de 4 dígitos distintos dado por Cuántos grupos de dos números se pueden construir usando el número anterior? ! CR4,2 = = = = !3! Por lo tanto se pueden construir 0 grupos de dos números. 0. Consideraciones Vn,n = Pn, Cn,n =, Cn, = n C n,r Vn,r n! n = = = P r!(n r)! r r n! n!, PRn,2 = = = Cn,r n!.n 2! r!.(n r)! José Luis Quintero

4 . Problemas resueltos PROBLEM. e tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras. a. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma simultánea? 8 8! C8,3 = = = = ! 5! 6 b. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma serial con reposición? ! CR8,3 = = = = = ! 7! 6 c. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con una pelota de cada color? plicando principio multiplicativo se tiene que 3 = = = 50 m d. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con tres pelotas de igual color? ! 0! 5! C3,3 + C0,3 + C5,3 = + + = + + = = ! 0! 3! 7! 3! 2! i PROBLEM 2. Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si hombres y mujeres deben quedar alternados? Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres Propósito: Determinar el sexo de cada posición ocupada Espacio muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar Evento de interés: : e sientan tres hombres y cuatro mujeres de forma alternada : úmero de formas distintas en las que se pueden sentar las siete personas : úmero de formas distintas en las que se produce el evento : = P7 = 7! = 5040 : e quiere estudiar el caso donde se sientan de la forma MHMHMHM. e escoge la primera mujer de un grupo de 4 mujeres, luego un hombre de un grupo de 3 hombres, luego la otra mujer de un grupo de 3 mujeres, luego otro hombre de un grupo de 2 hombres y asi sucesivamente. plicando el principio multiplicativo: = = P P = 44. Por lo tanto P() = = José Luis Quintero 2

5 PROBLEM 3. Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras seguidas de 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos? Experimento aleatorio: Elegir al azar una placa de un automóvil compuesta por 3 letras seguidas de 3 números Propósito: Determinar las letras y los números que componen la placa Espacio muestral: Todas las placas de 3 letras y 3 números que se pueden construir Evento de interés: : Las letras son distintas y los números son distintos : úmero de formas distintas en las que se puede escoger una placa : úmero de formas distintas en las que se produce el evento : plicando principio multiplicativo (27 letras y 0 digitos), = = : El evento se produce si tomo una letra entre 27, luego otra en 26 y por último una entre 25. nalogamente para los digitos, elijo uno de 0, luego otro de 9 y finalmente uno de 8. plicando el principio multiplicativo se tiene que = = P() = = PROBLEM 4. e dispone de 7 hombres y 0 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La selección se realizará al azar. Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y tres mujeres? Experimento aleatorio: Elegir al azar un grupo de 5 personas de un universo de 7 personas Propósito: Determinar el sexo de cada persona que conforma el grupo Espacio muestral: Todos los grupos de 5 personas que se pueden formar Evento de interés: : El comité está formado por dos hombres y tres mujeres : úmero de grupos distintos que pueden conformar el comité : úmero de formas distintas en las que se produce el evento : e desean tomar grupos de 5 de un grupo de 7 elementos, de modo que, 7 7! = C7,5 = = = = !2! : El evento se produce si dentro del comité se tiene un grupo de dos hombres tomados del grupo de 7 y un grupo de 3 mujeres tomadas de un grupo 0. Por lo tanto 7 0 7! 0! = =. = !5! 3!7! 2520 P() = = José Luis Quintero 3

6 PROBLEM 5. ea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido entre 00 y 999, incluyendo a ambos. Cuál es la probabilidad de que el número escogido tenga al menos un uno? Experimento aleatorio: Elegir al azar un número de tres cifras entre 00 y 999 Propósito: Determinar los dígitos que comprenden al número elegido Espacio muestral: Todas los números de tres cifras comprendidos entre 00 y 999 Evento de interés: : El número escogido tiene al menos un uno : Todos los números de tres cifras comprendidos entre 00 y 999 : úmero de formas distintas en las que se produce el evento : e desea escoger un número de tres cifras, por lo tanto se tiene que = = 900. : El evento complemento de () se define como: el número escogido no tiene ningún uno. De modo que: = = = 648 = = = P() = = = PROBLEM 6. En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que a. los libros de cada materia queden juntos Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de colocar los 2 libros en una estantería Propósito: Determinar el tipo de libro que ocupa una determinada posición Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden colocar los 2 libros en la estantería Evento de interés: : Los libros de cada materia quedan juntos : úmero de formas distintas en las que se pueden colocar los libros : úmero de formas distintas en las que se produce el evento : = P2 = 2!. : Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas Los libros de física se pueden colocar de 6! formas distintas Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas Estos tres grupos se pueden colocar de 3! formas distintas Por lo tanto = 4! 6! 2! 3!. 4! 6! 2! 3! P() = = = 2! 230 b. solo los libros de matemática queden juntos Evento de interés: : olo los libros de matemática quedan juntos : úmero de formas distintas en las que se pueden colocar los libros : úmero de formas distintas en las que se produce el evento : = P2 = 2!. : José Luis Quintero 4

7 Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas i se considera el grupo de libros de matemática como un solo libro entonces se tendrían 9 libros y se pueden disponer de 9! formas distintas Por lo tanto = 9! 4!. 9! 4! P() = = = 2! 55 c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos Evento de interés: : Los libros de química quedan juntos y en uno de los extremos : úmero de formas distintas en las que se pueden colocar los libros : úmero de formas distintas en las que se produce el evento : = P2 = 2!. : Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas Como se tienen 2 extremos entonces se tienen 2 formas distintas de que el grupo de libros de química se pueda ubicar. i se considera el grupo de libros de química como un solo libro entonces se tendrían libros pero uno de ellos ya tiene posición fija por lo tanto los otros libros tienen 0! formas distintas de ubicación. Por lo tanto = 2 2! 0!. 2 2! 0! P() = = = 2! 33 José Luis Quintero 5