Ingeniería Técnica en Informática de Gestión Laboratorio de Matemática Discreta Curso Tema 5: Combinatoria con MATLAB

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Clara López Ramos
hace 7 años
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1 Ingeniería Técnica en Informática de Gestión Laboratorio de Matemática Discreta Curso Tema 5: Combinatoria con MATLAB En este tema estudiaremos los comandos de MATLAB más básicos relativos al cálculo combinatorio clásico. El paquete que implementa estas funciones se llama combinat y está incluido en el Extended Symbolic Toolbox. Ojo! Antes de utilizar cualquier función del paquete combinat, debemos cargarlo en memoria: maple( with(nombredelpaquete) ) carga en memoria el paquete. Además, devuelve la lista de las funciones que incorpora el paquete. >>maple( with(combinat) ) Warning: Warning, the name fibonacci has been redefined Warning: Warning, the protected name Chi has been redefined and unprotected [Chi, bell, binomial,..., stirling2, subsets, vectoint] Ojo! Una vez cargado el paquete combinat, la sintaxis para ejecutar cualquiera de sus funciones será: maple( función ) 1. Permutaciones 1.1. Permutaciones sin repetición. Las permutaciones de un conjunto {a1, a2,..., an} son todas las ordenaciones de los elementos del conjunto. El número de permutaciones de un conjunto de n elementos es P n = n! Por ejemplo, las permutaciones del conjunto {1, 2, 3} son: 1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 1, 2 permute(n) construye las permutaciones del conjunto {1, 2,..., n} >>maple( permute(2) ) [[1, 2], [2, 1]] 1

2 2 TEMA 5: COMBINATORIA CON MATLAB numbperm(n) calcula P n >>maple( numbperm(5) ) 120 Y para construir las permutaciones de un conjunto cualquiera: permute([a1,a2,...,an]) construye las permutaciones del conjunto {a1, a2,..., an} >>maple( permute([x1,x2,x3]) ) [[x1, x2, x3], [x1, x3, x2], [x2, x1, x3], [x2, x3, x1], [x3, x1, x2], [x3, x2, x1]] Ejemplo 1.1. Cuántas formas hay de colocar 4 alumnos en 4 puestos de laboratorio? >>maple( numbperm(4) ) 24 Cuáles son? >>maple( permute([al1,al2,al3,al4]) ) [[al1, al2, al3, al4], [al1, al2, al4, al3], [al1, al3, al2, al4], [al1, al3, al4, al2], [al1, al4, al2, al3], [al1, al4, al3, al2], [al2, al1, al3, al4], [al2, al1, al4, al3], [al2, al3, al1, al4], [al2, al3, al4, al1], [al2, al4, al1, al3], [al2, al4, al3, al1], [al3, al1, al2, al4], [al3, al1, al4, al2], [al3, al2, al1, al4], [al3, al2, al4, al1], [al3, al4, al1, al2], [al3, al4, al2, al1], [al4, al1, al2, al3], [al4, al1, al3, al2], [al4, al2, al1, al3], [al4, al2, al3, al1], [al4, al3, al1, al2], [al4, al3, al2, al1]] Ejemplo 1.2. Tenemos 10 libros distintos, de los cuales 3 son de matemáticas, 2 de física y 5 de informática. (1) De cuántas formas podemos colocarlos en una estantería con un espacio vacío para 10 libros? >>maple( numbperm(10) )

3 TEMA 5: COMBINATORIA CON MATLAB 3 (2) Y si queremos que los dos más gruesos están en los extremos? >>maple( 2*numbperm(8) ) (3) Y si queremos que estén agrupados por materias? >>maple( numbperm(3)*numbperm(3)*numbperm(2)*numbperm(5) ) Permutaciones con repetición. Las permutaciones con repetición son las disposiciones ordenadas de n elementos (no todos iguales) de modo que del primer tipo hay n 1, del segundo tipo n 2,... y, del k-ésimo tipo hay n k. El número de permutaciones con repetición de un conjunto de n elementos de modo que del primer tipo hay n 1, del segundo tipo n 2,... y, del k-ésimo tipo hay n k es: PR n 1n 2...n k n = n! n 1! n 2! n k! permute([a1, a1,. n. 1., a1, a2, a2,. n. 1., a2,..., ak, ak,. n. k., ak]) calcula las permutaciones con repetición de los elementos a1, a1,..., ak de modo que a 1 se repite n 1 veces, a 2 se repite n 2,... con n 1 + n n k = n >>maple( permute([1,1,2]) ) [[1, 1, 2], [1, 2, 1], [2, 1, 1]] multinomial(n, n 1, n 2,..., n k ) calcula PR n 1n 2...n k n >>maple( multinomial(3,2,1) ) 3 Ejemplo 1.3. En una facultad hay que distribuir 12 profesores en 3 despachos a razón de 4 por despacho. De cuántas formas puede hacerse? LLamemos d i al despacho número i, para todo i = 1, 2, 3, 4. Suponiendo los 12 profesores ordenados, una distribución de los despachos es una cadena de 12 caracteres dónde cada d i aparece 4 veces. >>maple( multinomial(12,4,4,4) ) 34650

4 4 TEMA 5: COMBINATORIA CON MATLAB 2. Variaciones 2.1. Variaciones sin repetición. Las variaciones sin repetición de orden r de un conjunto de n elementos son todas las ordenaciones de tamaño r de elementos del conjunto, sin que existan repeticiones. variaciones sin repetición de n elementos de orden r es: V n,r = n! (n r)! El número de permute(n,r) construye las variaciones sin repetición de tamaño r del conjunto {1, 2,..., n} >>maple( permute(4,2) ) [[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 1], [2, 3], [2, 4], [3, 1], [3, 2], [3, 4], [4, 1], [4, 2], [4, 3]] numbperm(n,r) da el número de variaciones sin repetición de tamaño r de un conjunto de n elementos. >> maple( numbperm(4,2) ) 12 permute([a1,a2,...,an],r) construye las variaciones sin repetición de tamaño r del conjunto {a1, a2,..., an} >>maple( permute([x1,x2,x3],2) ) [[x1, x2], [x1, x3], [x2, x1], [x2, x3], [x3, x1], [x3, x2]] Ejemplo 2.1. Dado el conjunto de letras A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. (1) Cuántas palabras diferentes de 6 letras distintas pueden formarse con las letras del conjunto? >>maple( numbperm(10,6) ) (2) Cuántas de las palabras del apartado anterior contienen la letra b? >>maple( 6*numbperm(9,5) )

5 TEMA 5: COMBINATORIA CON MATLAB Variaciones con repetición. Una variación con repetición de orden r de un conjunto de n elementos es una sucesión ordenada de tamaño r de elementos del conjunto, en donde los elementos pueden repetirse. El número de variaciones con repetición de orden r de un conjunto de n elementos es: VR n,r = n r permute([a1, a1,. r.., a1, a2, a2,. r.., a2,..., an, an,. r.., an], r) calcula las variaciones con repetición de orden r del conjunto {a1, a2,..., an} >>maple( permute([1,1,2,2],2) ) [[1, 1], [1, 2], [2, 1],[2,2]] nˆ r calcula VR n,r = n r Ejemplo 2.2. Cuántos números hexadecimales hay de tres cifras, ninguna de ellas nulas? Hay que calcular VR 15,3 : >>15^ Combinaciones Las permutaciones y variaciones de un conjunto se diferencian por el orden de los elementos. Sin embargo, en las combinaciones no importa el orden: dos combinaciones son diferentes si, y sólo si, tienen algún elemento distinto Combinaciones sin repetición. Una combinación de orden r de un conjunto de n elementos es un subconjunto de tamaño r del conjunto. El número de combinaciones sin repetición de tamaño r de un conjunto de n elementos es: choose(n,r) conjunto {1, 2,..., n} >>maple( choose(4,3) ) C n,r = ( ) n r construye las combinaciones sin repetición de tamaño r del

6 6 TEMA 5: COMBINATORIA CON MATLAB [[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]] binomial(n,r) calcula C n,r = ( ) n r >>maple( binomial(4,3) ) 4 choose([a1,a2,...,an],r) construye las combinaciones sin repetición de tamaño r del conjunto {a1, a2,..., an} >>maple( choose([x1,x2,x3],2) ) [[x1, x2], [x1, x3], [x2, x3]] Ejemplo 3.1. Determinar el número de manos de póker distintas (5 cartas) que pueden formarse con una baraja de 52 naipes. >>maple( binomial(52,5) ) Cuántas manos contienen exactamente 3 ases? >>maple( binomial(4,3)*binomial(48,2) ) Combinaciones con repetición. Una combinación con repetición de orden r de un conjunto de n elementos es una lista de tamaño r de elementos del conjunto que pueden repetirse. El número de combinaciones con repetición de orden r de un conjunto de n elementos es: ( ) n + r 1 CR n,r = r choose([a1, a1,. r.., a1, a2, a2,. r.., a 2,..., an, an,. r.., an], r) construye las combinaciones con repetición de tamaño r del conjunto {a1, a2,..., an} >>maple( choose([x1,x1,x2,x2,x3,x3],2) ) [[x1, x1], [x1, x2], [x1, x3], [x2, x2], [x2, x3], [x3, x3]] binomial(n+r-1,r) calcula CR n,r >>maple( binomial(4,2) )

7 TEMA 5: COMBINATORIA CON MATLAB 7 6 Ejemplo 3.2. En una tienda con material informático tienen monitores de cuatro marcas diferentes. De cuántas maneras podemos escoger seis monitores? Hay que escoger 6 elementos de un total de 4 de modo que el orden es irrelevante y permitiendo repetición. Por lo tanto, se trata de calcular CR 4,6 >>maple( binomial(9,6) ) 84 Marta Pérez Rodríguez, Departamento de Matemáticas, Escola Superior de Enxeniería Informática, Universidade de Vigo, E Ourense, SPAIN address: martapr@uvigo.es

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