Técnicas de Conteo 73

Transcripción

1 Técnicas de Conteo 73 Si n(a) y n(ω) son grandes para un experimento aleatorio dado con un número finito de resultados igualmente proales, el conteo en sí puede convertirse en un difícil prolema. Tal conteo puede frecuentemente facilitarse por el uso de ciertas fórmulas cominatorias. Es decir, las técnicas de conteo son muy útiles para encontrar la P(A) en espacios muestrales finitos equiproales. Es importante precisar los siguientes términos: Selección al Azar o Aleatoria: Se refiere a espacios equiproales y significa que si se elige un punto muestral, todos tienen el mismo chance de ser seleccionados. uestra: Si se tiene una colección de ojetos distintos, y se selecciona al azar de esta colección n ojetos, entonces podrá decirse que se ha extraído una muestra de tamaño n. uestreo: Es el proceso de selección de muestras. uestreo con Reemplazo: El muestreo es con reemplazo o con reposición, si un ojeto es retornado al lote antes de que el próximo sea seleccionado. En este caso, como el mismo ojeto puede ser seleccionado más de una vez, no hay límite para el tamaño de n y podría ser cualquier entero positivo. uestreo sin Reemplazo: El muestreo es sin reemplazo o sin reposición si el ojeto no puede ser retornado al lote después de ser seleccionado. Oviamente, con este tipo de muestreo hay un límite superior en n el cual puede a lo sumo ser igual a. 73 Esta sección está fundamentada en Khazanie, Ramakant. Op. Cit. Pág

2 El Orden en la Selección de la uestra En cada uno de los casos donde el muestreo es llevado a cao con o sin reemplazo, se puede o no estar interesados en el orden en el cual los ojetos son seleccionados. Sin reemplazo Con reemplazo Con orden Sin orden Con orden Sin orden Como resultado, se tienen las siguientes cuatro situaciones: Considérese la siguiente situación: Supóngase que hay cuatro ojetos distintos representados por las letras a,, c, d, y dos de estas letras son seleccionadas. Los siguientes cuatro casos son posiles: a c d a c d a a ac ad a a ac ad a c d c d c ca c cd c cd d da d dc d Caso : Sin reemplazo, con orden Caso : Sin reemplazo, sin orden 40

3 a c d a c d a aa a ac ad a aa a ac ad a c d c d c ca c cc cd c cc cd d da d dc dd d dd Caso 3: Con reemplazo, con orden Caso 4: Con reemplazo, sin orden En los casos y, el muestreo es llevado a cao sin reemplazo, y en consecuencia, no hay posiilidades como: aa,, cc, dd. Esto explica porqué no hay entradas a través de la diagonal en estos casos. En el caso, además, no existe interés en el orden, así que, por ejemplo, a es listado, pero no a. En el caso 3, son listadas todas las dieciséis posiilidades. En el caso 4, como el muestreo es con reemplazo, se tienen resultados como aa,, cc, dd. Sin emargo, como el orden no es relevante, a es el mismo que a, y así sucesivamente. Aquí no hay entradas ajo la diagonal. Nota 7:. Cuando el orden es importante cada posiilidad es llamada un arreglo, o una permutación. Si el orden no importa, ésta es llamada una cominación.. Cuando n ojetos son seleccionados y el orden es importante, es conveniente escriir los puntos muestrales como una n-úpla (x, x,, x n ) donde el i-ésimo componente x i, representa el i-ésimo ojeto seleccionado. Así, x representa el resultado de la primera extracción, x de la segunda extracción, y así sucesivamente. 4

4 Principios Básicos del Conteo El Principio de la ultiplicación Si un primer ojeto puede escogerse entre en r posiles, y después de realizada esta selección puede escogerse un segundo ojeto entre k posiles, entonces pueden escogerse r k pares diferentes de ojetos 74. Para entender este principio, supóngase que los resultados del primer experimento son escritos como A = {a, a,, a r } y los del segundo experimento como B = {,,, k }. Entonces los resultados del experimento cominado pueden ser representados en un arreglo rectangular como pares ordenados (a i, i ): Tala 4. Resultados posiles de un primer experimento A y un segundo experimento B. K j K k a (a, ) (a, ) K (a, j ) K (a, k ) a (a, ) (a, ) K (a, j ) K (a, k ) a i (a i, ) (a i, ) K (a i, j ) K (a i, k ) a r (a r, ) (a r, ) K (a r, j ) K (a r, k ) En otras palaras, los resultados del experimento cominado pueden ser representados como el producto cartesiano A B. Claramente hay r k pares. Esto demuestra que n( A B ) = n(a) n(b) 74 Basado en Nieto, José H. Teoría Cominatoria. Pág. 7 4

5 Otra manera de ilustrar el principio anterior es mediante un diagrama de árol, como se muestra en la Figura 4. a a a r k k k ( a, ) ( a, ) ( a, k ) ( a, ) ( a, ) ( a, ) ( a, ) ( a, ) ( a, ) k k Figura 4. Esquema de un diagrama de árol. Primero se listan los resultados de un experimento, y entonces, correspondiendo a cada uno de estos, se listan los resultados del otro experimento. El número total de ramas, r k, dan todas las cominaciones posiles. El principio ásico del conteo puede ser extendido a cualquier número de experimentos de una manera ovia: Si un primer ojeto puede escogerse entre n posiles, y para cada selección puede escogerse un segundo ojeto entre n posiles, y luego un tercero entre n 3 posiles, etc., hasta un k-ésimo ojeto que se puede escoger de n k maneras, entonces el número de grupos ordenados de k ojetos que pueden seleccionarse es n n n 3 L n k Tomado de Nieto, José H. Op. Cit. Pág. 8 43

6 Ejemplo 5: a. Si se lanza una moneda y luego un dado, entonces hay *6= posiles resultados, como se oserva en el siguiente diagrama de árol: C S (C, ) (C, ) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6) (S, ) (S, ) (S, 3) (S, 4) (S, 5) (S, 6) Figura 5. Diagrama de árol para el experimento de lanzar una moneda y un dado.. Si una persona tiene 8 camisas diferentes, 6 coratas diferentes, y 5 chaquetas diferentes, entonces el puede vestirse para una ocasión de = 40 maneras. c. Suponga que las placas de los vehículos están formadas con tres letras distintas seguidas por tres dígitos distintos. Entonces hay 7 formas de escoger la primera letra, 6 para la segunda y 5 para la tercera. Tamién, hay 0 formas de escoger el primer digito, 9 para el segundo, y 8 para el tercero. Finalmente, hay = placas diferentes. 44

7 El Principio de Adición 76 Supóngase que un procedimiento, designado con A, se puede hacer de n maneras. Supóngase tamién que un segundo procedimiento, designado B, se puede hacer de m maneras. Además, no es posile que amos, A y B, puedan ocurrir simultáneamente. Entonces, el número de maneras como se puede hacer A ó B es n + m. Ejemplo 5: Para ir de la ciudad de érida a San Cristóal, existen tres maneras por el sur de la ciudad y dos por el norte. El número total de maneras para ir de érida a San Cristóal es entonces 3+ = 5: Sur 3 (Sur, ) (Sur, ) (Sur, 3) Norte (Norte, ) (Norte, ) Figura 6. aneras de viajar de érida a San Cristóal. Ejemplo 53: Supóngase que se planea un viaje y se dee tomar la decisión entre usar transporte por autoús o por tren. Si hay cuatro rutas para el autoús y dos para el tren, entonces hay 4+ = 6 rutas diferentes disponiles para el viaje. 76 Basado en: eyer, Paúl. Proailidad y Aplicaciones Estadísticas. Págs. 3-33; Rodríguez, José. El Arte de Contar. Pág.3; Nieto, José H. Op. Cit. Pág

8 Tamién este principio puede generalizarse como sigue: si hay k procedimientos y el i-ésimo procedimiento se puede hacer de n i maneras, i =,,, k, entonces el número de maneras como puede realizarse el procedimiento, ó el procedimiento ó ó el procedimiento k está dado por n + n + L + nk, suponiendo que los procedimientos no se pueden realizar en forma conjunta (es decir los procedimientos son mutuamente excluyentes). Caso : Sin Reemplazo, Con Orden (Permutaciones) Ejemplo 54: Supóngase que la colección inicial de ojetos es el conjunto {a,, c, d} y que se seleccionan tres ojetos. Si se listan todas las posiilidades, se otienen los siguientes arreglos: ac ad acd cd ac ad adc dc ca ad cad cd ac da cda cd ca da dac dc ca da dca dc El orden en el cual se escrien las letras es importante. Por ejemplo, ac y ca son arreglos diferentes, aun cuando amas usan las mismas letras a,, c. Cualquier arreglo particular es llamado una permutación. En la lista anterior hay 4 permutaciones en total. La razón es simple. Se seleccionan tres letras de un total de cuatro. La primera letra puede ser seleccionada de 4 maneras; una vez hecho esto, la segunda letra puede ser seleccionada de 3 maneras; y después 46

9 de seleccionar las primeras dos letras, la tercera puede escogerse de maneras. Entonces por el principio de la multiplicación, el número total de posiles selecciones de tres letras es de 4 3 = 4. Camiando al caso general, supóngase que hay ojetos distintos y n de estos son seleccionados sin reemplazo. Cualquier arreglo particular de n ojetos es llamado una permutación. Denótese el número total de permutaciones por P n. Hay formas de extraer el primer ojeto, formas de extraer el segundo ojeto, formas de extraer el tercer ojeto, y así sucesivamente. Finalmente, hay (n ) formas de seleccionas el n-ésimo ojeto. Así una aplicación directa de la regla ásica da: El número de permutaciones (o arreglos) de n ojetos seleccionados de una colección de ojetos distintos es: P = ( )( ) L ( n + ) n Ejemplo 55: El número de permutaciones cuando 4 ojetos son seleccionados de 8 ojetos distintos es = 680 En particular, P, el número de permutaciones (o arreglos) de ojetos tomados todos, es ( )( ) 3. Tal denotado por y se lee factorial. P =! (8) producto de enteros consecutivos es 47

10 Usando la notación factorial, puede escriirse P n como: ( n)( n ) L Pn = ( ) L( n + ) ( n )( n ) L P = n! ( n)! (9) Se sae que P =!. Se puede ver que la fórmula anterior es significativa cuando n =, entonces es conveniente definir 0! =. Ejemplo 56: a. El número de permutaciones de las letras a,, c, d será de 4! = 4 (muestras ordenadas sin reemplazo) Ahora los grupos distintos de letras que se pueden formar son: 4! P = =! 4 Estas serán a, ac, ad, a, c, d, ca, c, cd, da, d, dc, esto es, doce permutaciones.. En un juego de éisol se dispone de jugadores, pero siempre el pitcher y el catcher deen ser los mismos. El número de equipos diferentes que se pueden formar es: 0*9*8*7*6*5*4 = ! P = = (0 7)! 0 7 Ya que en el juego de éisol participan nueve jugadores, pero se tienen a dos jugadores fijos: el pitcher y el catcher, del total de los jugadores disponiles. Así se tiene que formar lo que falta para completar el equipo (7 jugadores) con los 0 jugadores disponiles. 48

11 Caso : Sin Reemplazo, Sin Orden (Cominaciones) Se ha visto que si son seleccionadas tres letras de {a,, c, d} y si el orden es importante, entonces se otienen 4 permutaciones. En este caso, sin emargo, no es de interés el orden, y por tanto hay 4 posiilidades: ac, ad, acd, y cd. Cada una de estas posiilidades es llamada una cominación. Entre las 4 permutaciones del Caso (ver página 46) la primera columna consiste de las permutaciones de las letras a,, c y como ya se sae, hay 3! de ellas. Esto es porque hay 3!=6 arreglos en la columna. Lo mismo se cumple para las columnas, 3 y 4. En consecuencia, se tiene del ejemplo, que el número de cominaciones, multiplicado por 3!, es el número de permutaciones (4 3!=4). Ahora, se tomará el caso general en donde son seleccionados n ojetos sin reemplazo de ojetos distintos, y en el cual el orden no es importante. Simólicamente se denotará el número de formas de hacer esto por y será llamado el número de n cominaciones de n ojetos de un conjunto. El ojetivo es derivar una expresión para. n Osérvese que si una cominación tiene n elementos, entonces hay n! posiles permutaciones de sus elementos. De cada cominación surgen n! permutaciones, por tanto resultan todas las permutaciones: ( )( ) L ( n + ) Así se tiene que:! * n! = ( )( ) L ( n + ) = n ( n)! 49

12 ! Entonces, = (30) n n! ( n)! es el número de muestras no ordenadas de tamaño n, que pueden extraerse sin reemplazo de ojetos distintos. Ejemplo 57: El número de formas de escoger un conjunto de 3 liros para leer de un conjunto de 8 8 8! liros es: = = !*5! (Note que no estamos interesados en el orden en el cual los liros son leídos) Nota 8:. Por conveniencia, las siguientes convenciones son adoptadas: = (3) 0 = 0, si n < 0 ó n > (3) n. Seleccionar n ojetos de un grupo de es lo mismo que seleccionar ( n) ojetos de, de los que no pertenecen al grupo. Así, por ejemplo el número de formas de escoger 3 liros para leer de un conjunto de 8 liros es lo mismo que el número de formas de seleccionar 5 liros para no leer de 8. De esta manera, se tiene que: = (33) n n Esto tamién puede ser visto, oservando que y n n! iguales a n! ( n)! son amos 50

13 Caso 3: Con Reemplazo, Con Orden El número de formas de seleccionar n ojetos de ojetos distintos es n cuando los ojetos son seleccionados con reemplazo y cuando el orden es importante. Esto es fácil de ver ya que en cada extracción hay escogencias distintas. Ejemplo 58: a. Con los nueve dígitos,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se pueden formar 9 3 = 79 números distintos de tres dígitos.. Si hay celdas, entonces n ojetos pueden ser colocados en ellas de n formas. (se está asumiendo que una celda puede tener más de un ojeto) colocando un ojeto en una celda viene a ser como seleccionar una de las celdas, y permitiendo a una celda tener más de un ojeto viene a ser como muestrear con reemplazo. c. Si 0 personas van en un tren que se detiene en 6 estaciones, entonces hay 6 0 posiles formas en que las 0 puedan ajarse del tren. Nótese que una persona puede ajarse en cualquiera de las 6 estaciones así que él tiene 6 escogencias posiles. Esto se cumple para cada una de las 0 personas. Tamién, si una persona se aja en una estación, ese no excluye que otra persona pueda ajarse en la misma estación. Caso 4: Con Reemplazo, Sin Orden La derivación de la fórmula en este caso es astante difícil. Se tiene que el número de muestras no ordenadas de tamaño n cuando los ojetos son seleccionados con reemplazo de ojetos distintos es: + n (34) n 5