GUIA ESTADÍSTICA DE LA PROBABILIDAD TEMA: TÉCNICAS DE CONTEO DOCENTE: SERGIO ANDRÉS NIETO DUARTE

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1 GUIA ESTADÍSTICA DE LA PROBABILIDAD TEMA: TÉCNICAS DE CONTEO DOCENTE: SERGIO ANDRÉS NIETO DUARTE Principio aditivo Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n1 o n2 pueden realizarse alternativamente de n1 + n2 maneras diferentes. Ej1: Para viajar de Ciudad de México a Ensenada se puede optar por avión, autobús o tren; existen tres rutas para el avión, cuatro para el autobús y dos para el tren. Cuántas rutas hay para viajar? Los tres medios alternativos de transporte son disyuntivas a elegir; al optar por una de ellas, las otras dos quedan excluidas; por lo tanto es aplicable el principio aditivo. El número de maneras diferentes en que podemos viajar de México a Ensenada son: = 9. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1n2 maneras diferentes. Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es una herramienta gráfi ca que permite enumerar todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes. Ej1: Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar, cada vez, la faz que queda hacia arriba. La primera vez que se lanza la moneda, la faz que queda hacia arriba puede ser cara o sello; la segunda vez que se lanza, también la faz que queda hacia arriba puede ser cara o sello, sin importar lo que haya caído la primera vez; lo mismo puede ocurrir la tercera vez que se lanza la moneda. Entonces, el diagrama de árbol correspondiente es: Por lo que podemos observar que el espacio muestral es:{ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}. Que contiene un total de 8 posibilidades, si aplicamos el principio multiplicativo tendríamos: n1= 2 posibilidades (cara o sello) n2= 2 posibilidades (cara o sello) n3= 2 posibilidades (cara o sello) n= n1*n2*n3 = 2*2*2= 8 posibilidades

2 Ej2: En el circuito mostrado en la siguiente figura, la corriente fl uye de la terminal 1 a la terminal 2, siempre que el interruptor X esté cerrado, o que los interruptores Y y Z, ambos estén cerrados. El experimento E1 consiste en observar el funcionamiento de un interruptor, que puede presentar uno de dos estados: 0, abierto o 1, cerrado, generando el espacio muestral S1 = {0, 1}. Sea el experimento E2 consistente en observar el funcionamiento de los tres interruptores, simultáneamente tenemos: Siguiendo el pincipio multiplicativo llegaríamos a la misma conclusión: n1= dos posibilidades (abierto: 0, cerrado: 1) n2= dos posibilidades (abierto: 0, cerrado: 1) n3= dos posibilidades (abierto: 0, cerrado: 1) n= 2*2*2 =8 posibilidades Ej3: Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto. Cuántas placas diferentes se pueden hacer? Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: = Ahora bien, si se considera que el arreglo 000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa. La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P,Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; Así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: = 17,576. Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es: ,576 = ,424 Ej 4: Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 5, 6 y 9 si solo es posible utilizar cada uno de estos una sola vez? n1= Puesto que el número debe ser par; solo se tienen 2 alternativas (2 números pares; 2 y 6) n2= Como ya se utilizó un número, quedan 4 alternativas

3 n3= Como ya se utilizó 2 números, quedan 3 alternativas Entonces: n= n1* n2* n3 = 3 * 4 * 2 = 24 números pares de tres dígitos. Permutaciones: Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. Notación: Pn Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del n-ésimo objeto sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del conteo se tiene: Pn = n(n -1)(n- 2)...(3)(2)(1), a lo que llamamos factorial de un número n ( n!) Ej1: Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física, a) De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero? Solución: Pueden organizarse en P 15 maneras diferentes, esto es: 15! = maneras b) De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de cada materia deben quedar juntos? Solución: Identificamos las formas en las que puede organizarse cada materia: Matemáticas= 6! = 720 maneras Química = 4! = 24 maneras Física= 5! = 120 maneras Ahora aplicamos el principio fundamental del conteo para evaluar la cantidad total de maneras, esto es: 720*24*120= maneras diferentes, ahora bien considerando que las tres materias pueden acomodarse de 6 maneras diferentes (3!) tendríamos un total de: 6* = maneras diferentes de organizar los libros Ej2: a) De cuantas formas pueden organizarse 10 personas en una fila? R/ 10! = maneras posibles b) Si de las 10 personas en la fila hay 7 mujeres y 3 hombres y se quiere que todas las mujeres queden juntas y todos los hombres también Cuántas maneras hay de organizarlos? R/ podríamos organizar las mujeres de 7! Maneras diferentes y a los hombres de 3! Maneras diferentes, adicionalmente podríamos organizar los géneros de 2! Maneras diferentes. Por lo tanto el número total de formas sería: n= 7!*3!*2!=60480 maneras diferentes Ej3: De cuantas formas pueden organizarse las letras de la palabra GATOS? Como tenemos 5 letras podemos organizarlas de 5! Maneras diferentes, esto es: 120 maneras Permutaciones circulares Se llaman permutaciones circulares de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden colocar esos n objetos alrededor de un círculo; en este tipo de permutaciones, lo que importa son las posiciones relativas de los objetos con respecto a ellos mismos y no las posiciones absolutas de los objetos en el círculo. Notación: PCn.

4 Ej: De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 6 personas, para una junta de comité? a) En fila: n= 6! = 720 maneras b) En fila, si dos personas en especial deben quedar juntas: n= 5!*2!= 240 maneras c) Alrededor de una mesa: n= PC 6 = (6-1)!= 5! = 120 maneras d) Alrededor de una mesa, si dos personas deben quedar siempre juntas: n= (5-1)!*2!=48 maneras Permutaciones con grupos de objetos iguales: Se llaman permutaciones de n objetos, con r grupos de objetos iguales a las diferentes maneras distinguibles en que se pueden ordenar esos n objetos, de manera que los n1 objetos iguales entre sí, los n2 objetos iguales entre sí,..., y los nr objetos iguales entre sí, al permutarse entre ellos por grupo, no pueden distinguirse unos de otros. Ej: De cuantas maneras puden organizarse las letras de la palabra CALCULAR? Podemos ver que hay 3 letras repetidas 2 veces (la letra C, la letra A y la letra L), por lo tanto: n será el total de letras (n=8), tal que formas diferentes Ej2: Si para fijar una placa se cuenta con 7 tornillos: 2 son de acero al carbón, 3 son de acero inoxidable y 2 son de bronce. De cuántas maneras diferentes se pueden colocar tales tornillos, si se distingue el material del que están hechos? = maneras diferentes ORDENACIONES Se llaman ordenaciones de n objetos de orden r a las diferentes maneras de ordenar r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las ordenaciones es distinta de las demás, si difiere en alguno de sus objetos o en el orden de ellos. Notación: npr = ( ) Ej1: De cuántas maneras diferentes se pueden sentar los 32 alumnos del grupo de Probabilidad en un salón que dispone de 40 plazas? R/ como se considera la organización de un valor menor que el total, tenemos: 40P32= ( ) Ej2: En una liga de baloncesto participan 18 equipos. De cuántas formas diferentes se pueden ocupar los tres primeros puestos de la clasificación? 18P3= ( ) COMBINACIONES Ya sabemos que en una permutación el orden de los elementos es importante, pero cuando el orden de colocación carece de importancia, a la disposición de dichos elementos se le denomina combinación. Por lo tanto, una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos.

5 El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es: ( ) Ej1: Cuántas manos diferentes le pueden tocar a un jugador de póker? Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5. Por lo tanto: 52C5= manos diferentes Ej2: De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. a) Si se escogerá primero a los miembros y luego se votará para elegir las funciones de cada cargo De cuántas formas puede constituirse el comité? R/ como no hay funciones definidas no importa el orden en el cual salgan elegidos, por lo tanto: 20C3= 1140 formas b) Si se asignan funciones antes de votar De cuantas maneras podría formarse la mesa directiva? R/ como hay funciones definidas si importa el orden en el cual se organizaran, por lo tanto: 20P3= 6840 formas