Unidad 3 Combinatoria

Transcripción

1 Unidad 3 Combinatoria

2 CONTEO La enumeración no termina con la aritmética. Tiene aplicaciones en áreas como álgebra, la probabilidad y estadística (matemáticas) y el análisis de algoritmos (en ciencias de la computación). A medida que vayamos entrando en este fascinante campo de las matemáticas, nos encontraremos con muchos problemas que se pueden enunciar en forma sencilla pero que son duros de resolver.

3 Conteo Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplo : Cuántas maneras tiene una persona de seleccionaruna lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?. Se les denomina técnicas de conteo a las: Combinaciones permutaciones Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio aditivo y el multiplicativo.

4 Principio Aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde: la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras, Entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de : M + N W maneras

5 Ejemplo La biblioteca de la FCC tiene 40 libros de texto de programación y 50 de matemáticas. Por la regla de la suma, un estudiante de esta facultad puede elegir entre 40+50=90 libros de texto para aprender acerca de alguno de estos dos temas.

6 Ejercicio Un estudiante puede elegir un proyecto de computación desde una de tres listas. Las tres listas contienen 23, 15, y 19 posibles proyectos, respectivamente. Ningún proyecto esta en más de una lista. Cuántos posibles proyectos son posibles de elegir?

7 Solución =57 formas de elegir un proyecto

8 Ejercicio Cuál es el valor de k, dado el siguiente código?

9 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-ésimo paso de Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de: N1 x N2 x...x Nr maneras El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

10 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Ejemplo : Una persona desea armar una computadora, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete (Tower). Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC? Respuesta 2*3*2*1=12

11 Ejercicio Una compañía con dos empleados, Sanchez y Perez, rentan un piso de un edificio con 12 oficinas. Cuántas formas se pueden usar para asignar diferentes oficinas a estos dos empleados?

12 Solución 12*11=132 formas

13 Ejercicio Las sillas de un auditorio son etiquetadas con una letra del alfabeto seguida por un número positivo (hasta 100). Cuántas etiquetas pueden asignarse a una silla?

14 Solución 26*100=2600 formas diferentes

15 Ejercicio Existen 32 computadoras en un centro de computación. Cada computadora tiene 24 puertos. Cuántos puertos diferentes para una computadora existen en el centro?

16 El procedimiento de elegir un puerto consiste de dos tareas, primero seleccionamos una computadora y entonces seleccionamos un puerto para esa computadora. Debido a que existen 32 formas de elegir la computadora y 24 formas de elegir un puerto. Por la regla del producto existen 32*24= 768 puertos.

17 Ejercicio Cuántas cadenas de bits diferentes existen de longitud siete?

18 Cada uno de los siete bits se puede elegir de dos formas, porque cada bit es o 0 o 1. Por lo tanto, por la regla del producto existen en total 2 7 =128 cadenas diferentes de bits de longitud siete.

19 Ejercicio Cuántas placas de circulación diferentes pueden formarse si cada placa contiene una secuencia de tres letras del alfabeto del Ingles seguida por tres dígitos (y ninguna secuencia de letras esta prohibida)?

20 Solución Existen 26 elecciones para cada una de las tres letras del alfabeto Ingles y 10 elecciones para cada uno de los tres dígitos. Por lo tanto, por la regla del producto existen un total de 26*26*26*10*10*10=17,576,000 posibles placas de circulación.

21 Contando funciones Cuántas funciones existen desde un conjunto con m elementos a un conjunto con n elementos?

22 Solución Una función corresponde a elegir de uno de los n elementos en el codominio para cada uno de los m elementos en el dominio. Por lo tanto, por la regla del producto existen n*n* *n=n m funciones desde un conjunto con m elementos a uno con n elementos. Por ejemplo, existen 5 3 =125 funciones diferentes desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.

23 Contando funciones uno-a-uno Cuántas funciones uno-a-uno existen desde un conjunto con m elementos a una con n elementos? Primero nota que cuando m>n no existen funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a un conjunto con n elementos. Ahora sea m<=n. Suponga que los elementos en el dominio son a1, a2,, am. Existen n formas de elegir el valor de la función para a1. Como la función es uno a uno, el valor de la función en a2 puede elegirse de n-1 formas (porque el valor usado para a1 no puede volverse a usar de nuevo). En general, el valor de la función en ak se puede elegir de n-k+1 formas. Por la regla del producto, existen n(n-1)(n-2) (n-m+1) funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a una con n elementos. Por ejemplo, existen 5*4*3=60 funciones uno a uno desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.

24 Ejercicio Cuál es el valor de k al termino del siguiente código, donde n1, n2,,nm son número positivos?

25 Solución n 1 *n 2 * *n m.

26 Contando subconjuntos de un conjunto finito Usa la regla del producto para demostrar que el número de diferentes subconjuntos de un conjunto finito S es 2 S. Sea S un conjunto finito. Lista los elementos de S en un orden arbitrario. Existe una correspondencia uno-a-uno entre los subconjuntos de S y una cadena de bit s de longitud S. Un subconjunto de S es asociado con una cadena de bits con un 1 en la i-esima posición si el i-esimo elemento en la lista esta en el subconjunto, y un 0 en otro caso. Por la regla del producto, existen 2 S cadenas de bits de longitud S. Por lo tanto, P(S) =2 S.

27 PRINCIPIO ADITIVO Y MULTIPLICATIVO Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Cuando se trata de una sola actividad la cual requiere para ser llevada a cabo de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

28 Ejercicio En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles. Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos. Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic?

29 Propuesta de solución - análisis En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles. V = v_1 + v_2 V_1 : variables de longitud 1 V_2 : variables de longitud 2 Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos. (26+10=36) V_1 = 26 V_2 = 26*36 Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. V_2 = 26*36 5 =931 Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic? V= v_1 + v_2 = = 957

30 Ejercicio Cada usuario de un sistema de computo tiene un password, el cual es de seis a ocho caracteres de longitud, donde cada carácter es una letra o un digito. Cada password debe contener al menos un digito. Cuántos posibles passwords existen?

31 Solución P número de posibles passwords P = P_6 + P_7 + P_8 (longitud 6 + longitud 7 + longitud 8) P_6 P_7 P_8 debe contener al menos un digito debe contener al menos un digito debe contener al menos un digito

32 Solución P número de posibles passwords P = P_6 + P_7 + P_8 = 2,684,483,063,360 (longitud 6 + longitud 7 + longitud 8) Quitamos a cada cadena, las cadenas que sólo tienen letras P_6 = = 2,176,782, ,915,776 = 1,867,866,560 P_7 = = 78,364,164,096 8,031,810,176 = 70,332,353,920 P_8 = = 2,821,109,907, ,827,064,576 = 2,612,282,842,880

33 Regla de substracción (Inclusión-exclusión para dos conjuntos) Si una tarea se realiza de n1 formas o n2 formas, entonces el número de formas para hacer la tarea es n1 + n2 menos el número de formar para hacer la tarea que es común en las dos formas diferentes. Principio de Inclusión - exclusión

34 Ejemplo Cuántas cadenas de bits de longitud 8 o inician con un 1 o terminan con dos bits 00? = 160

35 Ejercicio Una compañía de computación recibe 350 aplicaciones de graduados de computación para un trabajo de servicios Web. Suponga que 220 de estas aplicaciones están especializadas en ciencias de la computación, 147 están especializadas en negocios, y 51 en ambos. Cuántas de estas aplicaciones no están especializadas en ciencias de la computación ni en negocios?

36 Solución A1 U A2 = A1 + A2 - A1 A2 = = 316 Conclusión = 34

37 Diagrama de Árbol Cuántas cadenas de bits de longitud 4 no tienen 2 consecutivos 1 s? 8 cadenas

38 Diagrama de árbol, ejercicio Una eliminatoria entre dos equipos consiste de a lo más cinco juegos. El primer equipo que gane los tres juegos gana la eliminatoria. En cuantos formas diferentes puede ocurrir la eliminatoria?

39 Diagrama de árbol, ejercicio 20 diferentes formas para ganar la eliminatoria.

40 Ejercicio Suponga que la playera I love Mexico viene en cinco diferentes tamaños: S, M, L, XL, XXL. Más aún suponga que cada tamaño viene en cuatro colores, blanco, rojo, verde y negro, excepto para XL, que sólo viene en verde, rojo y negro, y la XXL, viene en sólo verde y negro. Cuántas playeras diferentes debe abastecerse una tienda para que tenga por lo menos una playera de cada color y tamaño?

41 Solución 17 playeras

42 Principio del palomar Si k es un entero positivo y k+1 o más objetos son colocados en k cajas, entonces existe al menos una caja que contiene dos o más objetos.

43 Ejemplo Corolario: Una función f desde un conjunto con k+1 o más elementos a un conjunto con k elementos es uno a uno. Dem: Suponga que para cada elemento y en el codominio de f tenemos una caja que contiene todos los elementos x del dominio de f tal que f(x)=y. Como el dominio contiene k+1 o más elementos y el codominio contiene solo k elementes, el principio del palomar nos dice que una de estas cajas contiene dos o más elementos x del dominio. Esto significa que f no puede ser uno a uno.

44 Ejemplo En cualquier grupo de 367 personas, debe existir al menos dos personas con el mismo día de cumpleaños, porque existen sólo 366 posibles días de cumpleaños. En cualquier grupo de 27 palabras en Ingles, debe existir al menos dos que inician con la misma letra, porque hay 26 letras en el alfabeto del Ingles.

45 Ejercicio Cuántos estudiantes debe tener un curso para garantizar que al menos dos estudiantes reciban el mismo puntaje en un examen final, si el resultado del examen se encuentra en la escala de 0 a 100 puntos?

46 Solución Existen 101 posibles puntajes en el examen final. Por el principio del palomar mostramos que entre 102 estudiantes existen al menos 2 estudiantes con el mismo puntaje.

47 Generalización del principio del palomar Si N objetos son colocados en k cajas, entonces existe al menos una caja que contiene al menos / k objetos. Ejemplo En un grupo de 100 personas existe al menos 100/12 = 9 que nacieron el mismo mes.

48 Ejercicio Cuál es el número mínimo de estudiantes requeridos en la clase de matemáticas discretas para asegurar que al menos seis recibirán la misma calificación, si existen cinco posibles calificaciones, 10, 9, 8, 7 y 6?

49 Solución El número mínimo de estudiantes necesarios para asegurar que al menos 6 estudiantes reciban la misma calificación es el entero N más pequeño tal que / 5 =6. El más pequeño entero es N= 5*5 +1 = 26. Entonces, 26 es el número mínimo de estudiantes necesarios para asegurar que al menos seis estudiantes reciban la misma calificación.

50 Ejercicio Calcular el número total de comidas con dos platos posibles del siguiente menú: Menú Sopa Du Joir Crema de la Crema Crema de Tomate Platos Principales Rosbif con Papas o Coles de Bruselas Lomo de cerdo con Manzana, Mango, o Papaya

51 Ejercicio Consideremos tres conjuntos conjuntos I, II y III. I ={a, m, r} II = {b, d, i, l,u} III = {c, e, n, t} Cuántos modos hay para elegir una letra de los conjuntos I, II y III. Nótese que estos tres conjuntos son disjuntos o mutuamente excluyentes, es decir no hay elementos en común entre ellos. Usando nuestros tres conjuntos I, II y III. Determinar el número de conjuntos de tres letras que pueden ser creados tales que una letra sea de I, una de II y la otra de III.

52 Ejercicio Un matrimonio decide comprar una radio y una cocina. Si en el lugar donde harán la compra hay 4 tipos de radio y 2 tipos de cocina. De cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez?

53 Ejercicio Una pareja quiere ir al sur de Chile. Para ir en avión hay 2 compañías y para ir en autobús hay 3 compañías. Cuántas maneras tienen para ir al sur?

54 Permutaciones Muchos problemas de conteo se pueden resolver encontrando el número de formas para organizar un número específico de distintos elementos de un conjunto de cierto tamaño, donde el orden de estos elementos importa. Otros problemas de conteo se pueden resolver al encontrar el número de formas para seleccionar un número particular de elementos desde un conjunto de cierto tamaño, donde el orden de los elementos

55 Permutaciones, ejemplo En cuantas formas podemos seleccionar tres estudiantes de un grupo de cinco estudiantes colocados en línea para la toma de una fotografía? De cuantas formas organizamos a los 5 de estos estudiantes en una línea para la fotografía? Primero, notamos que el orden en cual seleccionemos a los estudiantes importa. Existen 5 formas para seleccionar el primer estudiante colocado al inicio de la línea. Una ves que este estudiante ha sido seleccionado, hay 4 formas para seleccionar el segundo estudiante colocado en la línea. Después del primero y segundo seleccionados, hay 3 formas para seleccionar el tercer estudiante para colocarlo en la línea. Por la regla del producto, hay 5*4*3 =60 formas de seleccionar a tres estudiantes de un grupo de cinco estudiantes para colocarlos en línea para la toma de la fotografía. Para organizar a los 5 estudiantes en una línea, seleccionamos al primer estudiante, el segundo en 4 formas, el tercero en 3 formas, el cuarto en 2 formas, y el quinto en una forma. Por lo tanto, hay 5*4*3*2*1=120 formas de organizar a los 5 estudiantes en una línea para la toma de una fotografía.

56 Permutaciones Una permutación de un conjunto de distintos objetos es una arreglo ordenado de estos objetos. Un arreglo ordenado de r elementos de un conjunto se llama un r-permutación. Ejemplo: Sea S={1,2,3}. El arreglo ordenado 3,1,2 es una permutación de S. El arreglo ordenado 3,2 es una 2-permutación de S. El número de r-permutaciones de un conjunto con n elementos se denota por P(n,r).

57 Ejemplo Sea S={a,b,c}.Las 2-permutaciones de S son arreglos ordenados a, b; a, c; b,a; b, c; c,a; y c, b. Consecuentemente, hay seis 2-permutaciones de este conjunto con tres elementos. Hay seis 2- permutaciones de un conjunto con tres elementos. Existen tres formas para elegir el primer elemento del arreglo. Hay dos formas para elegir el segundo elemento del arreglo, porque debe ser diferente desde el primer elemento. Por lo tanto, por la regla del producto, tenemos P(3,2)=3*2=6.

58 Permutaciones Si n es un entero positivo y r es un entero con 1 <= r <= n, entonces hay P(n,r)=n(n-1)(n-2) (n-r+1) r-permutaciones de un conjunto con n elementos distintos. Si n y r son enteros con 0<= r <=n, entonces P(n,r) = n! / (n-r)!

59 Ejercicio Cuántas formas existen para seleccionar el ganador de un primer premio, el ganador de un segundo premio y el ganador de un tercer premio de 100 personas diferentes que han entrado a un concurso?

60 Solución 3-permutaciones de un conjunto de 100 elementos. P(100,3)=100*99*98 = 970,200