2.1. TEORÍA DE CONJUNTOS

Transcripción

1 2.1. TEORÍA DE CONJUNTOS Saber: Definir los conceptos relacionados con conjuntos, Explicar las operaciones básicas entre conjuntos Describir el método de construcción del diagrama de Venn Euler. Hacer: Realizar operaciones de intersección, unión y complemento de conjuntos Representar conjuntos empleando los diagramas de Venn Conjuntos definidos Los conjuntos son colecciones definidas de objetos, en esta unidad se aprenderá a manipular colecciones definidas de conjuntos a fin de obtener otros. Los objetos de un conjunto son sus elementos o miembros y por lo general se denotan por letras minúsculas, mientras que los conjuntos por letras mayúsculas. Por ejemplo, el conjunto A consta de los siguientes elementos: A = a, b, c, d También puede tenerse una colección de números, por ejemplo: A = 1,2,3,4,5 También se puede usar la notación constructiva, en este caso se proporciona una notación que describe la propiedad de los elementos del conjunto, por ejemplo: B={x x es una letra del alfabeto} Igualdad de conjuntos. Ejemplo 1: Sean los siguientes conjuntos: A a, b, c, d B b, c, d, a C = b, c, d, u = = Como puede notarse aunque los elementos en A y B se encuentran ordenados de manera diferente, contienen los mismos elementos, por lo cual podemos decir que A=B; pero como C tiene el elemento u y no tiene el elemento a no es igual ni al conjunto A ni a B. Denotándose como C A y C B. Para describir en lógica de conjuntos que u es un elemento de C: u C. Para describir que u no es un elemento de A: u A. Subconjunto Si cada elemento de A es un elemento del conjunto de B podemos decir que A es un subconjunto de B, lo cual se describe de la siguiente manera: A B. De acuerdo con las definiciones anteriores, podemos decir que A y B son iguales si y solo si: A B y B A. Ejemplo 2. Considerando los siguientes conjuntos: A a, b, c, d B b, c, d, a C = b, c, d = = Podemos decir que C es un subconjunto tanto de A como de B. Lo cual se escribe: C B y C A. Subconjunto propio o menor. Para cualquier conjunto A y B dado que A B pero A B; lo cual ocurre si al menos existe un elemento de B que no pertenece al subconjunto A. Se dice que A es un subconjunto propio (esto significa que A es menor que B). Lo anterior se escribe A B. Ejemplo 3. Sean los conjuntos. 1,2,3,4,5,6 B = 2,4,6 A = Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez 1

2 Entonces B es un subconjunto propio de A: B Lo anterior se escribe B A. Conjunto vacío. Todo conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota como:. Ejemplo 4. Enumerar todos los subconjuntos posibles de A = { a, b, Solución: El conjunto vacío es un subconjunto de A, denotado como. Los siguientes posibles subconjuntos de un elemento son: { a } { b } { c } Los posibles subconjuntos de dos elementos son: { a, b } { b, c } { a, c } Y solo un subconjunto de tres elementos, que seria el mismo A = a, b, c En resumen los subconjuntos son:,,,, { a } { b } { c } { a b } { b c } { a c } { a, b, Conjunto universal Conjunto que contiene todos los elementos de interés para un análisis particular, en determinado sentido todos los conjuntos de un problema son subconjuntos del conjunto universal. Por ejemplo. Si se trata de un problema sobre hombres y mujeres inscritos en una escuela, el conjunto universal debería ser todos los estudiantes de la escuela. Algunas operaciones con conjuntos se muestran a continuación: 1) Dibuje el diagrama de Venn de los conjuntos anteriores 2) Identifique un subconjunto propio o menor de B. 3) Liste todos los subconjuntos posibles de A Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez 2

3 Operaciones con conjuntos. Ahora se analizarán algunas operaciones con conjuntos para producir otros. Dichas operaciones nos permiten combinar conjuntos de una forma parecida a las operaciones aritméticas, con las cuales operamos números para producir diversos resultados. Unión de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La unión se escribe A U B, con lo cual se genera un nuevo conjunto siendo éste todos los elementos de A y B juntos. La parte sombreada del diagrama de Venn muestra la unión de ambos conjuntos. Ejemplo 5. Si A { a, b, B { a, c, d} = y = La unión de ambos conjuntos se expresa: A B = a, b, c, d 1) A B 2) A C 3) B C 4) A U 5) B U Intersección de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La intersección representa únicamente a los elementos en común de A y B. Ejemplo 6. Si A { a, b, B { a, c, d} conjuntos se expresa: A B = { a, = y = La intersección de ambos Ejemplo 7. Si A { a, b, B { d, e, f } A B = { } = y = La intersección es: Si la intersección de dos conjuntos genera el conjunto vacío, significa que no tienen elementos en común. 1) A B 2) A C 3) B C 4) A U 5) B U Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez 3

4 Complemento de un conjunto. Sea el conjunto A dentro del conjunto universal. El complemento de A que se escribe A c son todos los elementos en el conjunto universal ajenos a A. Ejemplo 8. Sean U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } { 2,4,6,8,10} complemento de A. c A = 1,3,5,7,9 Solución: A =, determinar el 1) A c 2) B c 3) C c 4) U c 5) C C c Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez 4

5 Las siguientes reglas se aplican a las operaciones entre conjuntos: Como podrá notarse al unir ambos conjuntos la única parte que no es cubierta por la unión de ambos complementos (A c y B c ) es la intersección de A y B. Ejemplo 9. Usar los diagramas de Venn para mostrar que ( ) c c c A B = A B Solución: ( A B) c se muestra en el diagrama de la izquierda, siendo la parte azul sombreada todo el complemento de la intersección entre dichos conjuntos. Los conjuntos A c y B c se muestran abajo por separado, de la misma manera, siendo la parte sombreada el contenido del complemento de cada uno de los conjuntos A y B respectivamente. Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez 5

6 Aplicaciones. A continuación se demostraran algunos casos de estudio. Opciones automovilísitcas. Sea U el conjunto de automóviles en el lote de una agencia distribuidora, donde se tienen los tres conjuntos: A = {x U x esta equipado con transmisión automática} B = {x U x esta equipado con aire acondicionado} C = {x U x esta equipado con frenos antibloqueo} Hayar para cada caso una expresión en lenguaje de conjuntos: a) Conjunto de autos con al menos una de las opciones dadas b) Conjunto de autos con todas las opciones c) Conjunto de autos sin aire acondicionado d) Conjunto de autos con transmisión automática y frenos antibloqueo pero sin aire acondicionado. e) Conjunto de autos con exactamente una opción dada. Algunas soluciones en diagrama de Venn son: Revisa la respuesta animada de este ejercicio haciendo clic aquí Revisa la explicación del ejercicio anterior en linea. Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez 6

7 Matemáticas Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez 7