Cálculo de probabilidad. Tema 1: Combinatoria y probabilidad

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1 Cálculo de probabilidad Tema 1: Combinatoria y probabilidad

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4 1.1. Análisis combinatorio Regla de multiplicación Este es el método de conteo más sencillo que existe. Supongamos que realizamos k experimentos. Si el primer experimento tiene N 1 resultados posibles, el segundo experimento tiene N 2 resultados, posibles, etcétera, entonces el número total de resultados posibles viene dado por el producto N 1 N 2 N k. Ejemplo Consideremos un experimento que consiste en extraer una bola de una urna con n bolas. El segundo experimento consiste en extraer otra bola de las n 1 restantes, y el tercer experimento consiste en extraer otra bola de las n 2 bolas restantes. Este procedimiento se llama muestreo sin reemplazamiento, porque las bolas extraídas nunca son devueltas a la urna. Según la regla de multiplicación, el número total de resultados posibles viene dado por n(n 1)(n 2).

5 1.1. Análisis combinatorio Definición 1.1 (Variaciones) Sea 1 k n. Si se extraen k bolas sin reemplazamiento de una urna con n bolas, el número total de elecciones posibles se llama variaciones de n elementos tomados de k en k, y viene dado por V n,k = n(n 1) (n k + 1) = Definición 1.2 (Permutaciones) n! (n k)!. El caso ĺımite k = n es de especial interés. Representa el número de formas en que se pueden ordenar los elementos de un conjunto con n elementos, se llama permutaciones de n elementos y es igual a P n = V n,n = n! Observemos que tanto en el caso de las variaciones como en el caso de las permutaciones es importante el orden de las extracciones.

6 1.1. Análisis combinatorio Ejemplo 1.3 Cuántas formas hay de ordenar las letras a, b, c? La respuesta es P 3 = 3! = 6. Ejemplo 1.4 Hay que poner 4 libros de matemáticas, 3 de química, 2 de historia y 1 de lengua en una estantería de manera que los libros de cada materia estén juntos. Cuántas formas posibles hay de ordenarlos? Como hay cuatro bloques formados por los libros de cada materia, la solución es P 4 P 4 P 3 P 2 P 1 = 4! 4! 3! 2! = Ejemplo 1.5 Cinco nadadores se disputan en una competición las medallas de oro, plata y bronce. Cuántas formas hay de repartir las medallas? La solución es V 5,3 = = 60.

7 1.1. Análisis combinatorio Ejemplo 1.6 La novela Rayuela del escritor Julio Cortázar contiene 56 capítulos que aparentemente pueden ser leídos en cualquier orden. Cuántas formas posibles hay de leer esta novela? La respuesta es P 56 = 56! Definición 1.7 (Variaciones con repetición) Sea 1 k n. El número de extracciones ordenadas de k bolas de una urna con n bolas con reemplazamiento se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k y es igual a VR n,k = n k. Ejemplo 1.8 Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6? Cuántos terminan en 6? Cuántos terminan en 56?

8 1.1. Análisis combinatorio Como las cifras se pueden repetir, la solución a la primera pregunta viene dada por VR 6,3 = 6 3 = 216. La segunda cuestión obliga al número a acabar en 6, luego quedan por añadir dos cifras al principio y la solución es VR 6,2 = 6 2 = 36. La tercera cuestión obliga al número a acabar en 56, luego queda por añadir una cifra al principio y la solución es VR 6,1 = 6 1 = 6. Definición 1.9 (Combinaciones) Sea 1 k n. Se llama combinaciones de n elementos tomados de k en k al número C n,k de formas de elegir k bolas de una urna de n bolas sin importar el orden. Si consideramos V n,k entonces cada variación se repite P k veces, es decir, V n,k = P k C n,k, de modo que

9 1.1. Análisis combinatorio C n,k = n! k!(n k)! = ( ) n. k Los números C n,k también se llaman coeficientes binomiales, porque juegan un papel primordial en la fórmula del binomio. Teorema 1.10 (Fórmula del binomio de Newton) Si x, y son números reales y si n es un número natural entonces ( ) n n (x + y) n = x k y n k. k k=0

10 1.1. Análisis combinatorio Teorema 1.11 Si 1 k n entonces 1. C n,n k = C n,k, 2. V n,k = P n,k C n,k. Ejemplo 1.12 Una clase tiene once alumnos. Cuántos grupos de cinco alumnos se pueden formar? Si se quiere que tres alumnos determinados estén en ese grupo de cinco, cuántos grupos se pueden formar? Como el orden no influye, la respuesta a la primera cuestión es ( ) 11 C 11,5 = = 11! 5 5!6! = 462.

11 1.1. Análisis combinatorio Si tres alumnos determinados han de estar en ese grupo, entonces solamente quedan ocho alumnos, y entre ellos hay que elegir a dos, luego la respuesta a la segunda cuestión es ( ) 8! C 8,2 = = 28. 2!6! Sea 1 k n y sean 1 n 1,..., n k n con n = n n k. Supongamos que queremos dividir un conjunto de n elementos en k grupos distintos de n k elementos cada uno. Las distintas formas en que se pueden seleccionar todos los elementos es igual a n! pero para cada selección podemos permutar n 1! veces los elementos del primer grupo, n 2! veces los elementos del segundo grupo, etcétera, de modo que debemos dividir n! entre n 1! n k!

12 1.1. Análisis combinatorio Definición 1.13 (Permutaciones con repetición) Sea 1 k n y sean 1 n 1,..., n k n con n = n n k. El número total de particiones de un conjunto de n elementos en k subconjuntos de n 1,..., n k elementos en cada uno sin que importe el orden viene dado por PR n 1,...,n k n = ( n n 1,..., n k Teorema 1.14 (Teorema multinomial) ) = n! n 1! n k!. Si x 1,..., x k son números reales y si n es un número natural, ( ) (x x k ) n n = x n 1 1 n 1,..., n x n k k. k n 1 + +n k =n

13 1.1. Análisis combinatorio Definición 1.15 (Combinaciones con repetición) Sea 1 k n. El número total de selecciones de k elementos de un conjunto de n elementos sin importar el orden y admitiendo repeticiones en cada selección viene dado por ( ) n + k 1 CR n,k =. k Ejemplo 1.16 Tenemos tres bolsas iguales con caramelos de fresa, menta y limón. Cuántas formas posibles hay de elegir diez caramelos en cada uno de los siguientes casos? 1 o Sin restricciones, 2 o en cada selección deben figurar, al menos, un caramelo de fresa, dos de menta y tres de limón, y 3 o en cada selección deben figurar, exactamente un caramelo de fresa, y al menos un caramelo de menta.

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15 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Sucesos deterministas Son aquellos en que la relación causa-efecto determina el resultado. Ejemplo: Cuánto se tarda en recorrer 350 km a una velocidad constante de 100 km/h? La ecuación e = vt describe la relación causa-efecto y el resultado es de tres horas y media. Sucesos aleatorios Se caracterizan porque al repetir el experimento que los produce en las mismas condiciones, los resultados varían de un experimento a otro dentro de un conjunto de resultados posibles. Ejemplo: Qué cara sale al tirar un dado? No se sabe el resultado a priori, solamente que puede ser cualquier elemento del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Experimento aleatorio Es cualquier proceso cuyos resultados no se conocen de antemano.

16 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Espacio muestral Ω Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Como por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado, el espacio muestral viene dado por Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso o evento Es cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. El suceso se llama suceso imposible y el suceso Ω se llama suceso seguro. Se dice que dos sucesos A, B Ω son incompatibles si A B =. Si A es un suceso cualquiera entonces se define el suceso contrario de A como A c = Ω\A. Observemos que A y A c son incompatibles para cualquier suceso A Ω.

17 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Definición 1.17 Una medida de probabilidad o probabilidad en un espacio muestral Ω es cualquier aplicación P que asigna a cualquier suceso A Ω un número real P(A) de modo que 1. P(A) 0 para cualquier suceso A Ω. 2. P(Ω) = Si A, B Ω son dos sucesos incompatibles entonces P(A B) = P(A) + P(B). Más generalmente, si A 1, A 2,..., A n,... es una familia numerable de sucesos incompatibles entonces ( ) P A n = P(A n ). n=1 n=1

18 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Lema 1.18 Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω. 1. P( ) = P(A c ) = 1 P(A) para todo A Ω. 3. Si A, B Ω y si A B entonces P(A) P(B). 4. Si A Ω entonces 0 P(A) Si A, B Ω y si A B entonces P(B\A) = P(B) P(A). 6. Si A, B Ω entonces P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Ejemplo 1.19 Un experimento consiste en lanzar una moneda fiel tres veces. El espacio muestral es Ω = {ccc, ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc, xxx}. Un resultado posible es un suceso formado por un sólo elemento del espacio muestral, por ejemplo {cxc}. El suceso de sacar al menos dos caras es A = {ccc, ccx, cxc, xcc}.

19 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Teorema 1.20 Si P es una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω y si A, B, C Ω entonces P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(B C) P(A C) + P(A B C). Ejemplo 1.21 Tenemos un grupo de 200 estudiantes, de los cuales 137 están apuntados en clase de matemáticas, 50 en clase de historia y 124 en clase de música. Además, el número de estudiantes que están apuntados en matemáticas e historia es 33, en historia y música es 29, y en matemáticas y música es 92. Finalmente, el número de alumnos apuntados a las tres clases es 18. Calcular la probabilidad de que un estudiante esté apuntado en alguna de las tres clases.

20 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Teorema 1.22 (Principio de inclusión-exclusión) Si P es una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω y si A 1,..., A n Ω entonces ( n ) n P A i = P(A i ) P(A i A j ) i=1 i=1 i<j + P(A i A j A k ) P(A i A j A k A l ) i<j<k i<j<k<l + + ( 1) n+1 P(A 1 A n ). Ejemplo 1.23 (Problema de los emparejamientos) Supongamos que tenemos n cartas con sus n sobres numerados. Mezclamos las cartas y las introducimos al azar en los sobres. Cuál es la probabilidad de que al menos una carta haya coincidido al final con su sobre?

21 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Si el número de resultados posibles de un experimento es finito, entonces el espacio muestral es finito, digamos Ω = {s 1,..., s n }. Una forma de especificar una medida de probabilidad en este espacio muestral es asignar un peso p i a cada resultado {s i } de tal modo que 1. p i 0 para todo 1 i n, n 2. p i = 1. i=1 La probabilidad de un suceso A Ω se calcula entonces de acuerdo con la fórmula P(A) = s i A p i.

22 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Si los pesos son iguales, digamos p 1 = = p n = 1/n, entonces se dice que la medida de probabilidad es uniforme, y la probabilidad de un suceso A Ω se calcula de acuerdo con la fórmula de Laplace, P(A) = A Ω. Ejemplo: Un dado fiel se lanza dos veces. Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras sea igual a siete? Los espacios muestrales no finitos más sencillos son los espacios muestrales numerables. Se dice que un conjunto Ω es numerable si existe una biyección de N en Ω, de modo que Ω = {s 1,..., s n,...}.

23 1.2. Probabilidad. Espacio muestral Definición 1.24 Se dice que un espacio muestral es discreto si es finito o numerable. Una forma de especificar una medida de probabilidad en un espacio muestral numerable consiste en asignar un peso p i a cada resultado {s i } de tal modo que 1. p i 0 para todo i N. 2. p i = 1. i=1 Ejemplo 1.25 Se lanza una moneda fiel sucesivas veces hasta que aparece cara. Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sea par?

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25 1.3. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes Definición 1.26 (Probabilidad condicionada) Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω y sean A, B Ω dos sucesos con P(B) > 0. Se define la probabilidad de A condicionada a B mediante la expresión P(A B) = P(A B). P(B) Es evidente que P(A B) = P(A B)P(B), y por inducción ( n ) ( ) ( ) n 1 n 2 P A i = P A n A i P A n 1 A i P(A 2 A 1 )P(A 1 ). i=1 i=1 i=1

26 1.3. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes Ejemplo 1.27 Una urna contiene cinco bolas blancas y cuatro bolas negras. Se realizan tres extracciones consecutivas sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que las dos primeras bolas sean blancas y la tercera bola sea negra? Cada extracción altera la composición de la urna y el total de bolas que contiene. La solución entonces viene dada por P(B 1 B 2 N 3 ) = P(N 3 B 1 B 2 )P(B 2 B 1 )P(B 1 ) = =

27 1.3. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes Teorema 1.28 (Teorema de la probabilidad total) Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω y sea A 1,... A n una partición de Ω con P(A i ) > 0 para todo 1 i n. Si B Ω es un suceso cualquiera entonces n P(B) = P(B A i )P(A i ). i=1 Demostración Tenemos ( n ) n B = B Ω = B A i = B A i, i=1 i=1 n n y por lo tanto P(B) = P(B A i ) = P(B A i )P(A i ). i=1 i=1

28 1.3. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes Teorema 1.29 (Fórmula de Bayes) Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω y sea A 1,... A n una partición de Ω con P(A i ) > 0 para todo 1 i n. Si B Ω es un suceso cualquiera con P(B) > 0 entonces para cada 1 i 0 n se tiene P(A i0 B) = P(B A i 0 )P(A i0 ). n P(B A i )P(A i ) i=1 Demostración Usando el teorema de la probabilidad total tenemos P(A i0 B) = P(A i 0 B) P(B) = P(B A i 0 )P(A i0 ). n P(B A i )P(A i ) i=1

29 1.3. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes Usando el lenguaje de la teoría de probabilidad, P(A i0 ) se llama probabilidad a priori y P(A i B) se llama probabilidad a posteriori, siendo la ocurrencia del suceso B quien marca la frontera entre el antes y el después. Ejemplo 1.30 Tres urnas contienen bolas blancas y negras. La composición de cada urna es U 1 = {b, b, b, n}, U 2 = {b, b, n, n}, U 3 = {b, n, n, n}. Se elige una urna al azar, se extrae de ella una bola al azar y resulta ser blanca. Cuál es la probabilidad de haber elegido la primera urna? Tenemos P(U 1 ) = P(U 2 ) = P(U 3 ) = 1/3. Además P(B U 1 ) = 3/4, P(B U 2 ) = 1/2), P(B U 3 ) = 1/4. Entonces 1 P(U 1 B) = =

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31 1.4. Independencia de sucesos Definición 1.31 Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω. Se dice que dos sucesos A, B Ω son independientes si verifican P(A B) = P(A)P(B). Observemos que A, B son independientes si y sólo si se verifica que P(A B) = P(A). Lema 1.32 Si dos sucesos A, B son independientes entonces los sucesos A, B c también son independientes.

32 1.4. Independencia de sucesos Ejemplo o. Se lanzan dos dados, uno rojo y otro blanco. Se consideran los siguientes sucesos: A = {dado rojo sale 1}, B = {dado blanco sale 1}, C = {suma de los dados es 3}. Entonces A, B son independientes pero A, C no son independientes. 2 o Se extrae una carta de una baraja española. Se consideran los siguientes sucesos: A = {rey}, B = {espadas}, C = {figura}. Entonces A, B son independientes pero A, C no son independientes.