PROBABILIDAD CLÁSICA (Técnicas de Conteo)

Transcripción

1 PROBABILIDAD CLÁSICA (Técnicas de Conteo) M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas Primavera 2004 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Espacio Muestral Finito Espacio Muestral Finito Suponga que Ω es un espacio muestral finito, donde Ω {ω 1,ω 2,ω 3,...,ω n } Sea A un evento consistente de r ( n) puntos muestrales, siendo A {ω i1,ω i2,...,ω ir } Entonces... r P(A) P(ω ij ) j1 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 1 Espacio Muestral Finito Espacio Muestral Finito Ejemplo: Tienes dos cartas rojas, una azul y una amarilla. Selecciona una carta de forma aleatoria. Ω {rojo,azul,amarillo} {ω 1,ω 2,ω 3 } Las probabilidades da cada punto muestral P(ω 1 ) 1 2 ; P(ω 2) 1 4 ; P(ω 3) 1 4 Para el evento A : Sacar una carta roja o amarilla P(A) P(ω 1 ) + P(ω 3 ) 3 4 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 2

2 Espacio Muestral Simple Espacio Muestral Simple Una espacio muestral simple (EMS) es un espacio muestral finito en el cual todos los resultados son igualmente probables. Ejemplo: Para el experimento de lanzar dos monedas Ω {ss,sa,as,aa} este se trata de un EMS. Pero si consideramos el número de águilas... Ω {0,1,2} no es un EMS. Por qué? IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 3 Teorema Para cualquier evento A en un EMS Ω, Espacio Muestral Simple P(A) A # de elementos en A Ω # de elementos en Ω Ejemplo: Para un par de dados, los posibles resultados: (1,1) (1,2)... (1,6) (2,1) (2,2)... (2,6) (6,1) (6,2)... (6,6) Cada uno con una probabilidad de 1/36. sum prob IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 4 Técnicas de Conteo Técnicas de Conteo Para contar los elementos en eventos de un Espacio Muestral Simple. Regla de la Multiplicación. Permutaciones. Combinaciones. Regla de la Adición. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 5

3 Regla de la Multiplicación Regla de la Multiplicación Considere un experimento que toma lugar en varias etapas. El número de resultados n i de una de las r etapas, es independiente de los resultados de la etapa previa. El número de formas n i podrían ser diferentes para cada etapa. El número total de formas en que el experimento entero puede llevarse a cabo: N n 1 n 2... n r IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 6 Regla de la Multiplicación Regla de la Multiplicación Ejemplo: Hay cuatro formas de ir de la ciudad A a la ciudad B, dos formas de ir de la ciudad B a la C y tres de ir de la C a la D. De cuántas formas diferentes puedes ir de la ciudad A a la D? A B C D Ejemplo: Seleccione dos cartas de una baraja sin reemplazarlas y considere el orden. Por ejemplo (J,K ) (K,J ). De cuántas formas se puede hacer esto? IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 7 Permutaciones Permutaciones Un arreglo de n elementos en un orden definido es una permutación de los n elementos. Ejemplo: Cuántos arreglos diferentes se pueden formar con los números 1, 2 y 3? 6 arreglos : 123,132,213,231, 312, 321 Ejemplo: Si un entrenador de béisbol tiene 9 jugadores. Cuántas listas con diferentes órdenes de jugadores al bate puede hacer? ! IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 8

4 Número Permutaciones Permitiendo Repetición Número Permutaciones Permitiendo Repetición El número de arreglos con r elementos tomados de n elementos, cada uno usado al menos una vez. Son los arreglos en los cuales se permite la repetición de alguno de los n elementos. Esta dado por n r Ejemplo: Al lanzar 4 dados posibles resultados IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 9 El número de arreglos con r elementos tomados de n elementos (cada uno usado a lo más una sola vez), es llamado el número de permutaciones de n elementos tomando r elementos a la vez. P n,r n! (n r)! Note que cuando r n; el denominador resulta 0! 1 así P n,n n! IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 10 Demostración: P n,r ( formas de escojer 1 o ) (2 o ) (r simo ) n (n 1) (n r + 1) n (n 1) (n r + 1) (n r) 2 1 (n r) 2 1 n! (n r)! IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 11

5 Ejemplo: De once estudiantes, se seleccionarán cuatro en forma aleatoria para que desarrollen y expongan cuatro diferentes temas. De cuántas formas se podrían repartir los temas? n 11 estudiantes, r 4 temas P 11,4 11! 7920 formas (11 4)! Ejemplo: Cuántas de esas 7920 formas tiene a López como primer expositor? método 1: Un curso ya no esta disponible, quedan tres cursos para los restantes diez estudiantes. P 10,3 10!/3! 720 método 2: Esta claro que cada estudiante tiene la misma probabilidad de ser el primero en exponer. Entonces: 7920/ IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 12 Ejemplo: Cuántas placas de automóvil de seis dígitos se pueden hacer con los números 0,1,2,...,9 y... (a) sin permitir repeticiones? (b) permitiendo repeticiones? (c) que contengan repeticiones? P 10,6 10!/4! IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 13 Combinaciones Combinaciones Suponga que solo queremos contar el número de formas para escoger r de n elementos sin importar el orden. Esto es, el contar el número de diferentes subconjuntos de estos n elementos que contengan exactamente r elementos. Ejemplo: Cuántos subconjuntos de {1, 2, 3} contienen exactamente dos elementos? (El orden no es importante.) 3 subconjuntos ó combinaciones {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 14

6 El número de subconjuntos con r elementos de un conjunto con n elementos. Notación: r) Diferencias... C n,r Combinaciones: no importa el orden (a, b) (b, a) Permutaciones: importa el orden (a, b) (b, a) El número de permutaciones de n elementos tomando r a la vez, es siempre al menos tan grande como el número de combinaciones n elementos tomando r a la vez. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 15 De hecho, el seleccionar una permutación, es lo mismo que el haber seleccionado una combinación y entonces, poner los elementos en un orden determinado. P n,r r! r) n! (n r)! r) r! Entonces: ) n! r (n r)! r! IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 16 Propiedades: r) ( ) n n r n N 1 n N 0) n) 1) ( ) n n n N n 1 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 17

7 Ejemplo: Un equipo de la NBA tiene 12 jugadores, de cuántas formas el entrenador puede seleccionar a los 5 primeros en jugar? ( ) 12 12! 5 5! 7! 792 Ejemplo: Smith es uno de los primeros en jugar, cuántas de las 792 formas lo incluyen? ( ) 11 11! 4 4! 7! 330 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 18 Ejemplo: Hay 7 botellas verdes y 5 color ámbar. número de posibles arreglos para colocarlas en una fila. ( ) 12 7 Encuentre el Considere que de los 12 lugares disponibles se necesitan las combinaciones de los 7 lugares que ocuparán las botellas verdes. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 19 Regla de la Adición Regla de la Adición Para desempeñar una tarea se usará uno de los siguientes métodos. Podemos utilizar el método A en n A formas o utilizar el método B en n B formas. Entonces, se tienen n A + n B formas de desempeñar la tarea. Esta regla se utiliza si algún evento sucede cuando por ejemplo ocurre al menos o a lo más algo. Esto es, el evento esta formado por la unión de otros eventos disjuntos cuyas cardinalidades se pueden calcular. Ejemplo: Al lanzar tres monedas; tenemos evento A : a lo más un sol aparece. La cardinalidad de evento A se puede obtener al sumar la cardinalidad del evento ningún sol aparece más la cardinalidad del evento exactamente un sol aparece. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 20

8 Algunas Aplicaciones de las Técnicas de Conteo Algunas Aplicaciones de las Técnicas de Conteo Distribución Hipergeométrica.. El problema del cumpleaños. Probabilidades de baraja. Combinatorias Multinominales. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 21 Distribución Hipergeométrica Distribución Hipergeométrica Si tienes a cantidad de elementos del tipo X y b elementos de tipo Y. Selecciona n elementos sin reemplazo de los a + b elementos. ( )( a b ) P(k del tipo X fueron seleccionados) k n k ( ) a + b n IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 22 Distribución Hipergeométrica Distribución Hipergeométrica Ejemplo: 35 calcetines en una caja, 20 grises y 15 azules. seleccionan 8 aleatoriamente y sin reemplazo. ( )( ) Se P(exactamente 3 grises seleccionados) 3 5 ( ) 35 8 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 23

9 Depende de cómo se plantee el problema Ejemplo: Se tienen 4 canicas verdes y 2 rojas. Al ponerlas de forma aleatoria en una ĺınea. Encuentre: (a) P(canica en cada extremo es roja) (b) P(canica en cada extremo no es roja) (c) P(dos canicas rojas están junta) IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 24 Usando Permutaciones: Ω {cada arreglo aleatorio de 6 canicas} Ω 6! 720 (a) A : canicas en extremos son rojas (RVVVVR) A 2!4! 48, P(A) A Ω IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 25 (b) B : canicas en extremos no son rojas. 14 P(B) P(Ā) 1 P(A) 15 (c) C : dos canicas rojas juntas. C (# formas selec. par posiciones juntas) (# formas insertar 2 canicas R en par pos.) (# formas insertar canicas V en otras pos.) 5 2! 4! 240 P(C) C Ω IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 26

10 Usando combinaciones: Qué dos posiciones las canicas rojas ocuparán? Ω {posibles dos posiciones de las rojas} Ω ( ) (a) A : las rojas ocupan la 1 era y la 6 a posiciones. A 1 P(A) A / Ω 1/15 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 27 (b) P(Ā) 1 P(A) 14/15 (c) C : las rojas ocupan dos posiciones juntas. C 5 P(C) C / Ω 5/15 1/3 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 28 El Problema del Cumpleaños El Problema del Cumpleaños Hay r personas en un cuarto. Encontrar la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo cumpleaños (ignore feb. 29). Ω {ω 1,...,ω r } ω i {1,2,...,365} cumpleaños de la persona i A : Todos los cumpleaños son diferentes. Ω (365) r A P 365,r Encuentre la P(A) y lo que queremos es P(Ā). nota: Cuando n 366 P(A) 1. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 29

11 Combinatorias Multinominales Combinatorias Multinominales Si tenemos n elementos diferentes y queremos formar k grupos de n 1 elementos, n 2 elementos,..., n k elementos. Donde n k i1 n i, entonces resultará que la cantidad total de grupos es: C n n 1 n 2...n k n! n 1!n 2!...n k! IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 30