EXPERIMENTOS ALEATORIOS ESPACIO MUESTRAL SUCESO. Probabilidad de un suceso. Ley de Laplace. Resolución de problemas

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1 EXPERIMENTOS ALEATORIOS ESPACIO MUESTRAL SUCESO Tipos de sucesos Probabilidad de un suceso Frecuencia absoluta y relativa de un suceso - Imposible - Seguro - Incompatibles - Compatibles - Contrarios - Equiprobables Ley de Laplace Ley de los grandes números Resolución de problemas COLEGIO VIZCAYA PROBABILIDAD 169

2 PARA APRENDER 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. En nuestra vida diaria nos vamos encontrando con muchos acontecimientos. En algunos casos podríamos predecir que ocurrirá, pero en otras situaciones no sabemos predecir qué es lo que sucederá porque dependen del azar. - De los siguientes experimentos señala cuales dependen del azar y cuáles no: a) Lanzar una moneda al aire. b) Abrir un grifo. c) Extraer una carta de una baraja. d) Tirar una moneda trucada con dos caras. e) Tirar un dado. Experimento aleatorio: Es aquella situación o acontecimiento en cuya realización influye el azar y por lo tanto no se puede predecir el resultado que se va a obtener al realizarlo. 2. ESPACIO MUESTRAL. - Indica para cada uno de los siguientes experimentos que resultados se pueden obtener al realizarlo: a) Lanzar un dado. b) Lanzar una moneda. c) Extraer una carta de una baraja. d) Lanzar un dado de quinielas. e) Hacer girar la ruleta. Espacio muestral: Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa con la letra E. 3. SUCESOS. - Vamos a considerar el experimento aleatorio de lanzar un dado. Quién es su espacio muestral? E = { } Tomamos ahora varios subconjuntos de E, por ejemplo: - Salir un número par: A = {2, 4, 6} - Salir un número impar: A = {1, 3, 5} - Salir un múltiplo de 3: A = {3, 6} - Salir un divisor de 4: A = {1, 4} - Salir el 5: A = {5} A todos estos subconjuntos de E se les llama sucesos o sucesos aleatorios. Sucesos: Son los subconjuntos del espacio muestral. 170 PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

3 PARA PRACTICAR Cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios? a) Abrir un libro por una página cualquiera y anotar el número de la página de la derecha. b) Realizar el sorteo del cupón de la ONCE. c) Extraer sin mirar una bola de una bolsa que contiene 5 bolas azules y 6 verdes. d) Abrir las compuertas de un pantano lleno de agua. e) Medir la longitud de una circunferencia de 5 m de radio. f) La celebración de las elecciones generales. g) Lanzar un dado y anotar el resultado que se obtiene. Lanzamos una chincheta y observamos si cae con la punta hacia arriba o no. a) Es una experiencia aleatoria? b) Escribe el espacio muestral. 3. En una urna hay 10 bolas de colores numeradas. a) Es una experiencia aleatoria? b) Escribe el espacio muestral y seis sucesos PARA APRENDER 4. TIPOS DE SUCESOS. - Vamos a volver a lanzar un dado. Recuerda que E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Relaciona la columna de la izquierda con el suceso correspondiente de la derecha. A = Salir un número mayor de 3. {2, 4, 6} {1, 3, 5} B = Salir un número mayor de 6. {6} C = Salir menor de 4. {3, 4} D = Salir el 6. {1, 3, 5} E = Salir un número mayor de 2 y menor de 5. F = Salir impar. {2, 4, 6} G = Salir par. {2, 4, 6} {2, 3, 5} H = Salir múltiplo de 2. {4, 5, 6} I = Salir par y salir número primo. {2, 4, 6} J = Salir par y salir impar. {1, 2, 3, 4, 5, 6} K = Salir menor que 7. {1, 2, 3} o COLEGIO VIZCAYA PROBABILIDAD 171

4 - Suceso imposible: El que nunca se verifica. Se designa por O. - Suceso seguro: El que siempre se verifica. - Sucesos incompatibles: Los que no se pueden verificar a la vez. - Sucesos compatibles: Los que se pueden verificar a la vez. - Sucesos contrarios: Si se verifica un suceso entonces el otro no. - Sucesos equiprobables: Los que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Lee las definiciones y después contesta a las siguientes preguntas relacionadas con el ejercicio anterior. a) Qué tipo de suceso es A? b) Qué observas en los sucesos F y G? c) Encuentras algún elemento en común en los sucesos I? Cómo son estos sucesos? d) Y en J? e) Qué tipo de sucesos son A, B y D? f) Cómo son G y H? g) Son equiprobables los sucesos F y G? PARA PRACTICAR 4. Di si son compatibles o incompatibles los siguientes sucesos asociados al experimento de lanzar un dado. a) A = {1, 3} y B = {4, 5, 6} b) A = {3, 4, 5} y B = {2, 4, 6} c) A = {2} y B = {1, 2} d) A = {3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 6} 5. Observa las siguientes bolsas y di en cuál de ellas son equiprobables los sucesos: A = {extraer bola blanca} y B = {extraer bola negra} 6. En una caja hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Escribe los sucesos contrarios de los siguientes sucesos A = {2, 3, 6} B = {1, 5, 9, 10} C = {6} D = {2, 5} 172 PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

5 PARA APRENDER 5. PROBABILIDAD DE UN SUCESO. - Considera el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire: a) Cuál es el espacio muestral? b) Qué porcentaje de posibilidades tenemos de sacar cara al lanzar una vez la moneda? c) Y cruz? d) Expresa los los porcentajes anteriores en forma de fracción irreducible y de nº decimal. e) Suma las fracciones y suma los números decimales. Qué número se obtiene? - Considera ahora el experimento de extraer una bola de la bolsa siguiente: Completa: Suceso Oportunidades Fracción Decimal Sacar una bola blanca 2 2/11 0'18 Sacar una bola negra Sacar una bola rayada Sacar una bola gris Sacar una bola amarilla Suma a) Qué bola tiene más posibilidades de salir? c) Qué no puede salir nunca? b) Y menos? d) Qué sacamos siempre? Ley de Laplace: Si todos los sucesos de un experimento aleatorio son equiprobables: Probabilidad de un suceso = nº de casos favorables al suceso nº total de casos posibles Observaciones: - La probabilidad de un suceso es un número que está entre 0 y 1. - Si la probabilidad es 0, el suceso es imposible. - Si la probabilidad es 1, el suceso es seguro. - Cuanto más cerca esté una probabilidad del 0, menos probable será el suceso. - Cuanto más cerca esté una probabilidad del 1, más probable será el suceso. COLEGIO VIZCAYA PROBABILIDAD 173

6 PARA PRACTICAR 7. En un campamento hay 32 alumnos europeos, 13 americanos, 15 africanos y 23 asiáticos. Se elige al azar un alumno para que sea el portavoz. Qué probabilidad hay de que sea europeo? 8. Una bolsa contiene 5 bolas rojas y 7 azules y otra bolsa contiene 9 bolas rojas y 13 azules. En qué bolsa es más fácil obtener bola azul? 9. Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 verdes y dos amarillas, y se extrae una bola sin mirar. Halla la probabilidad de que sea: a) amarilla b) roja c) verde d) no amarilla e) no verde f) no roja 10. Se lanza un dado de quinielas. Halla la probabilidad de que salga el 1, el 2 y la X. PARA APRENDER 6. FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA DE UN SUCESO. Realiza los siguientes experimentos aleatorios y anota los resultados que obtengas en cada caso. - Lanzar 50 veces un dado: Cara Suma Nº de veces Frecuencia absoluta = fa Frecuencia relativa = fr a) Cuál es la probabilidad de sacar cualquiera de las caras? b) Las frecuencias relativas son próximas a la probabilidad de cada suceso? 174 PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

7 - Lanzar 100 veces un dado: Cara fa fr Suma a) Cuando aumentamos el número de lanzamientos, cómo son las frecuencias relativas respecto a la probabilidad de cada suceso? b) Qué crees que ocurrirá si lanzamos el dado 1000 veces? Ley de los grandes números: Al repetir muchas veces una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de cada suceso toma valores parecidos a su probabilidad. Además, cuanto más veces repitamos el experimento más se parecerán la frecuencia relativa y la probabilidad. Esta propiedad resulta muy útil para evaluar las probabilidades de los sucesos que se obtienen en experimentos cuya probabilidad no se puede obtener de antemano. - Aitor quiere saber cuál es la probabilidad de que al lanzar al aire una chincheta caiga con la punta hacia arriba o hacia abajo. El piensa que la probabilidad de ambos sucesos es la misma (P = 0'5), podrías ayudarle a salir de su duda? Posición fa fr Hacia arriba Hacia abajo Suma Ana que juega todas las tardes con sus amigos al parchís, se ha hecho un dado de madera. Desde que juega con ese dado no hace más que ganar partidas, y sus amigos creen que el dado de Ana está trucado. Para saber si el dado está defectuoso lo han lanzado 1000 veces y han obtenido los siguientes resultados. Cara fa fr ' Suma 1000 a) Se puede afirmar que el dado está trucado? b) Por qué? COLEGIO VIZCAYA PROBABILIDAD 175

8 PARA APRENDER 7. DIAGRAMAS DE ÁRBOL. Problema resuelto: Calcula la probabilidad de que la bolita caiga en cada recinto. En principio no tenemos ni idea de cómo afrontar este problema, así que vamos a hacer una simulación. Imagínate que en lugar de una bola introducimos 16 bolas En la primera bifurcación la mitad de las bolas irá por el camino de la izquierda y la otra mitad por el de la derecha: En la segunda bifurcación la mitad de las bolas de cada camino irán repartiéndose en partes iguales por los otros caminos y así sucesivamente hasta llegar al final A B C D Volviendo ahora a nuestro dibujo original: 1 P (llegar a A) = = 0' P (llegar a B) = = 0' P (llegar a C) = = 0' P (llegar a D) = = 0' PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

9 PARA ENTRENAR 1. Calcula la probabilidad de que una bolita caiga por cada recinto. a) b) 2. Calcula la probabilidad de que la bolita caiga en cada recinto. a) b) c) 3. En una urna hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Son compatibles o no los siguientes pares de sucesos? a) A = {salir par} y B = {salir impar} b) A = {salir múltiplo de 3} y B = {salir número primo} c) A = {salir múltiplo de 4} y B = {salir múltiplo de 5} d) A = {salir número menor que 4} y B = {salir número mayor que 6} 4. En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos una bola y anotamos su color. Es una experiencia aleatoria? 5. Cuáles de los siguientes números pueden corresponder a valores de una probabilidad? Razona tu respuesta '001,, - 0'5, 0'76, 1'0005, Observa las siguientes bolsas. En cuál de ellas los sucesos {obtener una bola blanca} y {obtener una bola negra} son equiprobables? 7. Explica por qué es necesario experimentar si queremos conocer las probabilidades de las caras de un dado mal construido. COLEGIO VIZCAYA PROBABILIDAD 177

10 8. De cuál de las siguientes bolsas es más probable sacar una bola blanca? 9. De una bolsa con 7 bolas rojas, 5 verdes, 3 amarillas, 11 negras y 3 azules, sacamos una bola al azar. Cuál es la probabilidad de que sea roja? Y de qué no sea negra? 10. Halla las siguientes probabilidades cuando se lanza un dado al aire: a) El resultado es par. b) El resultado es un número primo. c) El resultado es múltiplo de 3. d) El resultado es múltiplo de 2. e) El resultado es mayor de 1. f) El resultado es menor de 5. g) El resultado es menor de En un examen de geografía hay que saber situar obre un mapa del mundo 20 ríos. Aitana sólo se ha estudiado 15 de ellos. a) Si en el examen le piden situar uno, cuál es la probabilidad de que sea uno de los que sabe? Y de los qué no sabe? b) Si le piden que sitúe uno de los que no sabe y, en lugar de no contestar, lo hace a boleo. Cuál es la probabilidad de que acierte? 12. Calcula la probabilidad de que la bolita caiga en cada recinto. a) b) c) d) 13. Se extrae una carta de una baraja española. Son compatibles los siguientes sucesos? a) A = {salir oros} y B = {salir as} b) A = {salir sota} y B = {salir caballo} c) A = {salir bastos} y B = {salir espadas} d) A = {salir copas} y B = {salir rey} 178 PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

11 14. Tengo en la mano 10 cartas con los números del 1 al 10. Una amiga escoge una carta al azar. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Salir un nº menor que 3. b) Salir un nº mayor que 3. c) Salir un nº divisible por 3. d) Salir un nº divisible por En cuál de las siguientes bolsas es más probable obtener una bola blanca? 16. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos asociados a extraer una carta de una baraja española: a) Que sea un as. e) Que sea el rey de bastos. b) Que sea una espada. f) Que sea una figura. c) Que sea un rey. g) Que sea un número mayor que 7. d) Que sea la sota de copas. h) Que sea el as de bastos. 17. Una bolsa contiene 10 bolas rojas, 6 azules y 4 amarilla. Se extrae una bola sin mirar. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que sea roja. d) Que no sea roja. b) Que sea azul. e) Que no sea amarilla. c) Que sea amarilla. f) Que no sea azul. 18. Señala en cada caso, si se trata de un fenómeno aleatorio o determinista. a) Acertar el resultado de un partido de baloncesto antes de que se juegue. b) En una bolsa transparente hay canicas de distintos colores y elegimos una verde. c) Soltar una piedra en el aire y ver qué ocurre. d) Saber si lloverá de 10 de mayo del año Una urna tiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. En otra urna hay 6 bolas blancas y 9 negras. En cuál es más fácil sacar una bola blanca al azar? 20. La urna de un sorteo contiene 100 bolas numeradas del 1 al 100. Asier lleva todas las papeletas de los números que terminan en 5 y Maitane todas las papeletas de los números que son múltiplos de 11. Quién tiene más probabilidad de ganar? COLEGIO VIZCAYA PROBABILIDAD 179

12 21. En una rifa se han vendido 500 papeletas numeradas del 1 al 500. Cuál es la probabilidad de que el premio corresponda a un número de una cifra? Y de dos cifras? Y que empiece por 3? 22. Se lanza un dado tetraédrico como el de la figura que tiene 4 numeradas del 1 al 4, y anotamos el resultado de la cara oculta. a) Halla el espacio muestral. b) Escribe el suceso obtener múltiplo de 3. c) Escribe el suceso obtener múltiplo de 2. d) Halla la probabilidad de los dos sucesos anteriores e) Son compatibles o incompatibles? 23. En una nevera hay 6 refrescos de cola, 12 de naranja y 5 de limón. Cuando Nekane iba a coger un refresco se fue la luz, y por tanto, lo tomó al azar. Halla la probabilidad de: a) Que sea de cola. b) Que sea de naranja. c) Que sea de limón. d) Que sea de cola o limón. e) Que no sea de limón. 24. En una urna hay 3 bolas verdes y 5 bolas rojas. Añadimos cuatro bolas de cada color. Cuándo es más fácil sacar la bola roja? 25. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extrae una bola al azar, halla la probabilidad de que sea: a) La bola 5. b) Inferior a 4. c) Mayor que 6. d) Mayor que 2 y menor que PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

13 26. Juegos de azar: miles de personas apuestan cada semana a distintos juegos de azar con la esperanza de que algún día la suerte les sonreirá. Pero, sabes cuántas probabilidades hay de ganar? a) En el sorteo de la Lotería Nacional hay billetes. Cuál es la probabilidad de acertar el primer premio? b) En un sorteo de la ONCE entran en juego números distintos con 1000 series por número. Cuántos boletos entran en juego en un sorteo? Cuál es la probabilidad de llevarse el premio? Durante cuántos años crees que tendríamos que jugar en el sorteo si compramos un boleto por día si queremos ganar? c) Sabiendo que la probabilidad de ganar el primer premio en la Lotería Primitiva es 1/ y que una apuesta cuesta 1, cuántos euros nos tenemos que gastar para asegurarnos que nos llevaremos el primer premio en un sorteo? COLEGIO VIZCAYA PROBABILIDAD 181

14 27. De esta unidad tienes que saber definir y poner un ejemplo de: 1) Experimento aleatorio. 2) Espacio muestral. 3) Suceso. 4) Tipos de sucesos. 5) Ley de Laplace. 6) Ley de los grandes números. 182 PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA