4º ESO D MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMA 13.- PROBABILIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

Transcripción

1 1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS Cuando lanzamos un dado no podemos saber de antemano qué resultado nos va a salir. Sabemos que nos puede salir cualquier número del 1 al 6, pero no cuál. Decimos que lanzar un dado es un experimento aleatorio. También son experimentos aleatorios: lanzar una moneda, sacar una bola de una bolsa, sacar una carta de la baraja, etc. Experimento aleatorio es aquel cuyos resultados depende del azar y, aunque conocemos todos los resultados, no se puede saber de antemano el resultado que se va a obtener. Los experimentos que no son aleatorios se llaman experimentos deterministas. Espacio muestral de un experimento aleatorio Es el conjunto formado por todos los resultados que podemos obtener al hacer el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. Si extraemos al azar una bola de una caja que tiene bolas rojas, verdes, negras y blancas y anotamos el color, el espacio muestral es E = { R, V, N, B } El método del diagrama de árbol Es una técnica que sirve para saber cuáles son los resultados de un experimento aleatorio que consta de dos o más etapas. Por tanto, nos puede servir para obtener el espacio muestral. Ejemplo Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar una moneda y luego sacar una bola de una bolsa que contiene 3 bolas numeradas 1, 2 y 3. b) Ordenar las letras de la palabra FIN c) Lanzar una moneda 3 veces d) Sean A, B y C ciudades comunicadas por carreteras de forma que de A a B hay cuatro carreteras y de B a C hay dos. El experimento consiste en elegir una ruta para ir de A a C pasando por B. e) Sacar 2 bolas sin reemplazamiento de una urna que contiene 3 bolas blancas, 2 negras y 1 roja. f) Igual que el anterior pero con reemplazamiento g) Tirar un dado dos veces y luego restar los puntos 1 Calcula el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Se tira un dado dos veces y luego se suman los puntos. Sol.: E 2,3,4,5,6,7,,,10,11,12 b) Elegir una ruta para ir de Granada a Sevilla pasando por Málaga suponiendo que de Granada a Málaga hay 2 Sol.: E AM,AN,AP,BM,BN,BP carreteras, A y B, y de Málaga a Sevilla 3 carreteras, M, N y P. c) Sacar sucesivamente 3 bolas de una bolsa que tiene una bola numerada con el 3 y otra con el 7, Sol.: E 333,337,373,377,733,737,773,777 devolviendo la bola a la bolsa en cada extracción. d) Sacar sucesivamente 2 bolas con devolución de una caja que tiene 2 bolas verdes, 1 azul y 1 roja. Sol.: E VV,VA,VR,AV,AA,AR,RV,RA,RR e) Igual que el anterior pero sin devolverlas a la caja. Sol.: E VV,VA,VR,AV,AR,RV,RA 2.- SUCESOS ALEATORIOS Un suceso aleatorio es el conjunto formado por algunos resultados de un experimento aleatorio. Los sucesos se representan con letras mayúsculas En el experimento de sacar al azar una bola de una bolsa que contiene bolas numeradas del 1 al algunos sucesos son: A = salir un número menor que 3 = {1, 2} B = salir un múltiplo de 4 = {4, } C = { 2, 3, 5, 7 } = salir un número primo - Página 1 -

2 Probabilidad de un suceso aleatorio: Si en un experimento aleatorio todos los resultados tienen la misma posibilidad de aparecer, para calcular la probabilidad de un suceso A (que se representa por p(a)) se divide el número de casos favorables al suceso entre el número de casos posibles. Si A es un suceso cualquiera, se cumple la regla de Laplace: p(a) Casos favorables a que ocurraa NºdeelementosdeA Casos posibles Nº de elementos de E La probabilidad nos indica si es más o menos frecuente que ocurra dicho suceso. En una bolsa hay 3 bolas negras y 5 azules. Si se saca una bola al azar, la probabilidad de que sea 5 azul es p 0,625 62,5% La probabilidad de un suceso siempre es un número entre 0 y 1 (ambos incluidos): 0 p(a) 1, pues el número de casos favorables siempre es menor o igual al número de casos posibles. Suceso seguro El suceso seguro es el suceso que siempre se verifica y está formado por todos los resultados del experimento. Por tanto, el suceso seguro coincide con el espacio muestral, E Ejemplos: Al lanzar una moneda el suceso seguro es salir cara o cruz El suceso seguro cuando lanzamos un dado es salir un número del 1 al 6 La probabilidad del suceso seguro es 1 : p(e) = 1 Suceso imposible El suceso imposible es el nunca ocurre. Es el conjunto que no tiene ningún elemento. Este conjunto se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo Ejemplos: Al lanzar un dado, el suceso salir un número de 2 cifras es un suceso imposible. Si una bolsa sólo tiene bolas blancas y negras, el suceso sacar bola roja es un suceso imposible. La probabilidad del suceso imposible es 0 : p() = 0 Ejemplo 1 Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 1 verde y 1 azul. Se sacan sucesivamente dos bolas, sin devolverlas a la bolsa. Determina, usando un diagrama de árbol, la probabilidad de que: a) La 2ª bola sea roja b) La 1ª bola sea verde y la 2ª azul c) ninguna bola sea roja Ejemplo 2 Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados la suma de sus puntos sea 6? 2 Se lanza un dado dos veces. a) Determina el suceso A = la suma de los puntos es 7 y su probabilidad. - Página 2-1 Sol.: A 16,61,25,52,34,43 p(a) 6 2 Sol.: B 13,31,24,42,35,53,46,64 p(b) b) Determina el suceso B = la resta de los puntos es 2 y su probabilidad 3.- UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS Unión de sucesos La unión de dos sucesos A y B es otro suceso formado juntando los elementos de A y B. La unión de A y B se representa por A U B. El suceso A U B es el que expresa el hecho de que ocurra A o B En el lanzamiento de un dado, si tomamos los sucesos: A "salir nº par" 2,4,6 B "salir nº primo" 2,3,5 Entonces A U B = salir número par o primo = { 2, 3, 4, 5, 6 }

3 Intersección de sucesos La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso formado por los elementos comunes o repetidos de A y B. La intersección de los sucesos A y B se representa por A B. El suceso A B es el que expresa el hecho de que ocurra A y ocurra B al mismo tiempo. En la extracción de una carta de la baraja, si tomamos los sucesos: A" saliruna figura " B " saliroro " Entonces, A B = salir oro y figura = { sota oros, caballo oros, rey oros }. La probabilidad de la unión de dos sucesos A y B se puede calcular usando la fórmula p(a U B) = p(a) + p(b) p(a B) Sucesos compatibles y sucesos incompatibles Dos sucesos A y B son compatibles cuando pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los sucesos A = salir un número par B = salir un número primo son compatibles porque A B = salir par y primo = { 2 } : puede salir un 2, y en este caso ocurren los dos sucesos a la vez pues 2 es un número par y también es un número primo. Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, los sucesos son A = salir oro B = salir copa son incompatibles porque A B = salir oro y copa = : Es imposible que salga a la vez oro y copa. Si A y B son incompatibles, como A B = p(a B) = 0 y por tanto p(a U B) = p(a) + p(b) Sucesos contrarios Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario de A es aquel que expresa lo contrario que el suceso A y está formado por todos los resultados del experimento excepto los del suceso A El suceso contrario de A se representa por A c o también por A. Ejemplos: Si lanzamos un dado y el suceso A = salir número par = {2, 4, 6}, entonces el suceso contrario es A c = no salir número par = salir número impar = {1, 3, 5} Al lanzar un dado, si A = salir un número mayor que 4 = { 5, 6} entonces el suceso contrario es A c = salir un número menor o igual que 4 = {1, 2, 3, 4} Observa que: 1) A U A c = E 2) A y A c son incompatibles De las dos propiedades anteriores se deduce: 1 = p(e) = p(a U A c ) = p(a) + p(a c ). Por tanto: p(a c ) = 1 p(a) p(a) = 1 p(a c ) Ejemplo 1 Se consideran los sucesos A y B. Expresa, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos: a) Que no ocurra ninguno de los dos. b) Que ocurra al menos uno de los dos. c) Que ocurra B, pero que no ocurra A. Ejemplo 2 Dados los sucesos A y B, se sabe que p(a) = 0,3 p(b) = 0,6 y p(a U B) = 0,5 a) Halla p(a B) b) Son A y B incompatibles? Ejemplo 3 Se tiene una caja con 2 bolas verdes, 1 bola blanca y 1 negra. Se sacan sucesivamente tres bolas, sin devolverlas a la caja. Determina: a) El espacio muestral usando un diagrama de árbol. b) Los sucesos A = la 2ª bola es verde, B = la 3ª bola es blanca y su probabilidad. c) A B y su probabilidad. A y B son compatibles o incompatibles? d) A c, B c, A U B y sus probabilidades - Página 3 -

4 Ejemplo 4 Se saca una bola de una bolsa que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Si A = salir número par B = salir múltiplo de 3, calcula A c, B c, A U B y A B Ejemplo 5 Se saca al azar una carta de la baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que la carta: a) sea de oros b) sea una figura c) no sea un as d) sea de copas o de bastos e) sea de espadas o sea figura f) sea rey o sea de oros g) sea de oros y caballo h) sea de bastos y no sea figura 3 Dados los sucesos A y B, se sabe que p(a) = 0,5 p(b) = 0,4 y p(a B) = 0,12 a) Halla p(a U B) Sol.: 0,7 b) Son A y B incompatibles? Sol.: No, porque p(a B) 0 4 Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 2 negras y 1 azul. Se sacan sucesivamente dos bolas, sin devolverlas a la bolsa. Determina: Sol.: E RR,RN,RA,NR,NN,NA,AR,AN a) El espacio muestral usando un diagrama de árbol b) La probabilidad de los sucesos A = la 2ª bola es roja y B = la 1ª bola es azul Sol.: p(a) 3 p(b) 1 4 c) p(a B) e indica si A y B son compatibles Sol.: p(a B) 1, A y B son compatibles d) La probabilidad de los sucesos A c, B c y A U B Sol.: p(a c) 5 p(b c) 3 p(a B) Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de que: a) salga dos veces cara Sol.: 3 b) no salga ninguna cruz Sol.: 1 c) salga por lo menos una cruz Sol.: 7 6 Una bolsa tiene bolas numeradas del 1 al. Si se saca al azar una bola, calcula la probabilidad de que el número obtenido: a) sea mayor que 5 Sol.: 4 b) sea múltiplo de 3 o de 4 Sol.: 5 c) sea menor o igual que 3 Sol.: 3 d) no sea primo y sea múltiplo de 3 Sol.: 2 7 En una caja hay 4 bolas blancas, 7 negras y 5 azules. Si se saca una bola al azar, calcula la probabilidad de que: a) sea azul o negra b) no sea azul c) sea roja d) sea blanca, negra o azul 3 11 Sol.: a) b) c) 0 d) PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad condicionada Dados dos sucesos, A y B, con p(b) 0, se llama probabilidad de A condicionada a B a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. La probabilidad de A condicionada a B se representa por p(a / B) y se puede calcular usando la fórmula: p(a/b) - Página 4 - p(a B) Si despejamos p(a B) de la fórmula anterior se obtiene: p(a B) = p(a/b). p(b) Razonando de forma análoga para B condicionado a A: p(b) p(b/a) p(a B) p(a) Sucesos dependientes e independientes Dos sucesos A y B son independientes si p(a/b) = p(a) y p(b/a) = p(b) Por tanto, si A y B son independientes: p(a B) = p(a). p(b) Ejemplo 1 Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades p(a) = 0,6 y p(b) = 0,25. Determina las probabilidades que deben asignarse a los sucesos A U B y A B en cada uno de los siguientes supuestos: a) Si A y B fuesen incompatibles. b) Si A y B fueran independientes. c) Si p(a/b) = 0,4

5 Ejemplo 2 Se elige un número, al azar, entre el siguiente conjunto: {225, 201, 162, 210, 10, 172, 156, 13, 21, 167, 176, 222, 215, 120, 10, 171}. a) Calcula la probabilidad de que el número elegido sea impar. b) Si el número elegido es múltiplo de 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 200? Ejemplo 3 El 25% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70% en prensa digital y el 10% en ambos formatos. Elegido, al azar, un estudiante de esa Universidad: a) Calcula la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital. b) Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcula la probabilidad de que también las lea en prensa escrita en papel. Ejemplo 4 Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar. a) Haz la tabla de contingencia. b) Calcula la probabilidad de que sea blanca. c) Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada? d) Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada? e) Son independientes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blanca? Ejemplo 5 En un IES de 400 alumnos, el 45% son chicos. También se sabe que hay 10 chicos que aprueban el curso y 77 chicas que suspenden. Se elige una persona al azar. a) Calcula la probabilidad de que la persona elegida apruebe el curso b) Halla la probabilidad de que suspenda, sabiendo que se ha elegido un chico c) Calcula la probabilidad de que sea chica, sabiendo que se ha elegido una persona que suspende d) Son independientes los sucesos A = aprobar el curso y B = ser chica? Ejemplo 6 A la Junta General de Accionistas de una empresa asisten 105 accionistas de los cuales 45 tienen menos de 40 años y 1 más de 60 años. Sometida a votación una propuesta, es rechazada por la tercera parte de los menores de 40 años, por la tercera parte de los que están entre 40 y 60 años y por 4 personas mayores de 60 años; los demás la aceptan. a) Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 40 años y haya aceptado la propuesta. b) Si una persona la ha rechazado, calcula la probabilidad de que tenga más de 60 años Ejemplo 7 Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Se elige un día al azar. a) Haz un diagrama de árbol de probabilidades de la situación b) Cuál es la probabilidad de que vaya a la compra y la fruta no esté de oferta ese día? c) Calcula la probabilidad de que ese día Antonio no vaya a la compra y la fruta esté de oferta. Ejemplo Una urna A contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra urna B contiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, extraemos una bola de la urna A, y, si sale cruz, la extraemos de la urna B. Después miramos si la bola es par o impar. b) Calcula la probabilidad de que la bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par. Sol.: 3 14 c) Calcula la probabilidad de que la bola se haya sacado del a urna A sabiendo que es par En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes sucesos: A: sacar al menos dos caras. B: sacar una cara en el primer lanzamiento. a) Determina las probabilidades de los sucesos A, B, A U B, A B y A c Sol.: p(a) 1 p(b) 1 p(a B) 5 p(a B) 3 p(a c) c) Son incompatibles los sucesos A y B? Sol.: No d) Calcula la probabilidad de A/B y de B/A Sol.: 3, ambas 4 e) Son independientes los sucesos A y B? Sol.: No, porque p(a B) p(a).p(b) - Página 5 -

6 Sean dos sucesos, A y B, tales que p(a) = 0,5 p(b) = 0,4 y p(a/b) = 0,5 a) Halla la probabilidad de que se verifiquen los dos sucesos a la vez. Sol.: 0,2 b) Calcula la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos. Sol.: 0,7 c) Halla la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A Sol.: 0,4 d) Son incompatibles los sucesos A y B? Sol.: No e) Son independientes? Sol.: Sí 10 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: p(a) = 0,4, p(b) = 0,7 y p(a U B) = 0, Calcula: a) p(a B) Sol.: 0,3 b) p(b/a) Sol.: 0,75 11 Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Lena da en el blanco con probabilidad de 7/1 y Adrián con probabilidad de /14. Si ambos sucesos son independientes, calcula la probabilidad (en %) de los siguientes sucesos: a) Ambos dan en el blanco Sol.: 25% b) Al menos uno da en el blanco Sol.: 7%, aprox. 12 En un hospital se ha habido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son varones y, de éstos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo, se ha observado que 57 de las niñas nacidas en ese mes no tienen los ojos azules. a) Completa la siguiente tabla tienen los ojos azules no tienen los ojos azules Total varones hembras Total Se elige una persona al azar: b) Halla la probabilidad de que: 1) sea hembra Sol.: 47,5% 2) sea varón con ojos azules Sol.:10,5% 3) no tenga los ojos azules Sol.: 70,5% c) Sabiendo que es una mujer, calcula la probabilidad de que tenga los ojos azules Sol.: 20% d) Sabiendo que no tiene los ojos azules, calcula la probabilidad de que sea varón Sol.: 5,6%, aprox. 13 En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una encuesta para conocer los hábitos en cuanto a contratar los viajes por internet. Se observa que 120 son hombres y que, de estos, 4 contratan los viajes por internet, mientras que 24 de las mujeres no emplean esa vía. Elegido un congresista al azar, calcula la probabilidad de que: a) No contrate sus viajes por internet. Sol.: 30% b) Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer. Sol.: 70% c) Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet. Sol.: 60% 14 Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. b) Halla la probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna B. Sol.: 1 5 c) Calcula la probabilidad de que la bola sea negra y de la urna A. Sol.: Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se elige una urna al azar y se saca una bola. b) Calcula la probabilidad de que la bola sea de la urna B y roja. 1 Sol.: 6 c) Halla la probabilidad de que la bola sea azul y proceda de la urna A 3 Sol.: 14 d) Halla la probabilidad de que la bola sea negra Sol.: Un pescador tiene tres tipos de anzuelo de las que sólo uno es adecuado para pescar salmón. Si utiliza el anzuelo correcto la probabilidad de que pesque un salmón es 1/3, mientras que si usa cualquiera de los inadecuados esa probabilidad se reduce a 1/5. El pescador elige aleatoriamente un anzuelo. b) Cuál es la probabilidad de que haya elegido un anzuelo incorrecto y haya pescado un salmón? 2 Sol.: 15 c) Halla la probabilidad de que haya elegido el anzuelo correcto y no haya pescado un salmón 2 Sol.: - Página 6 -