Álgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja 1. Tema 5. PROBABILIDAD. 1. Probabilidad: conceptos fundamentales. Regla de Laplace.

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1 Álgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja 1 Tema 5. PROBABILIDAD. 1. Probabilidad: conceptos fundamentales. Regla de Laplace. 1. Un dado se lanza dos veces. Se pide: (a) Construir el espacio muestral. Cuál es el número de sucesos elementales? (b) Sean los sucesos A = { en el primer lanzamiento el número que sale es menor o igual que 2 } B = { el segundo lanzamiento es mayor o igual que 5 }. (i) Calcular P (A) y P (B). (ii) Calcular P (A B). (iii) Son A y B sucesos incompatibles? 2. Se lanzan dos dados simultáneamente. Sean los sucesos A = { la suma de los puntos es impar } B = { al menos se obtiene un 1 } Calcular P (A B). 3. Si A B =, P (A) = 1/5 y P (B) = 2/5, calcular P (A c B c ). 4. Sean los sucesos A y B con P (A B) = 7/8, P (A B) = 1/4 y P (A c ) = 5/8. Hallar P (A), P (B) y P (A B c ). 5. Sean los sucesos A y B con P (A) = 1/2, P (A B) = 3/4 y P (B c ) = 5/8. Hallar P (A B), P (A c B c ), P (A c B c ) y P (A c B). 6. La probabilidad de que una persona sea rubia es de 0.4 y la probabilidad de que tenga los ojos negros es 0.3. Calcular las siguientes probabilidades: (a) que sea rubia y tenga los ojos negros. (b) que sea rubia o tenga los ojos negros. (c) que tres personas sean rubias. (d) que dos personas sean rubias o tengan los ojos negros. 7. Para la señalización de emergencia de un hospital se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador accione la alarma durante la avería es igual a 0.99 para el primero de ellos y 0.95 para el segundo. Hallar la probabilidad de que durante la avería se accione sólo un indicador.

2 Álgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja 2 8. Una urna contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y 5 negras. Calcular la probabilidad de que al extraer dos bolas consecutivas sean ambas del mismo color. 9. Hallar la probabilidad de que en una familia con 4 hijos, por lo menos uno de ellos sea varón. 10. A un congreso científico asisten 100 congresistas. De ellos 80 hablan francés y 40 inglés. Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no pueden entenderse sin intérprete? 11. Un lote de doce artículos tiene cuatro defectuosos. Si se toman tres sin reemplazar, calcular la probabilidad de que (a) ninguno sea defectuoso; (b) alguno sea defectuoso. 12. Seis personas se sientan alrededor de una mesa. Cuál es la probabilidad de que dos personas determinadas estén contiguas? 13. Determínese la probabilidad de que dos personas de un conjunto de r (r=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35) tengan el mismo cumpleaños. 14. En una baraja de 40 cartas, cuál es la probabilidad de que un grupo de cinco cartas contenga exactamente dos ases? 15. Probabilidad de que al lanzar un dado 7 veces al aire salga tres veces el mismo número. 16. Cuál es la probabilidad de acertar la lotería primitiva? Cuánto dinero hay que gastarse para que la probabilidad de ganar sea 1/2? Si un apostante gasta ptas, qué probabilidad tiene de ganar? 17. Se lanzan cuatro monedas y se sabe que por lo menos aparecerán dos caras. Cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente cuatro caras? 18. Se supone que 5 de cada 100 hombres y 20 de cada mujeres son daltónicos. Se elige al azar una persona daltónica. Cuál es la probabilidad de que dicha persona sea hombre? 2. Probabilidad condicionada. 19. Se lanza una moneda dos veces. Sea A el suceso salir cara en la primera tiradaτ B el suceso salir cara en la segunda tirada. Demuéstrese que A y B son independientes pero no incompatibles. 20. Una urna tiene 3 bolas de colores rojo, azul y blanco. Sin reemplazamiento se sacan aleatoriamente una bola y después otra. Considérense los sucesos: A = { la bola roja es seleccionada en la primera extracción } B = { la bola roja es seleccionada en la segunda extracción } C = { la bola azul es seleccionada en la primera extracción } Determínese P (A), P (B), P (C) y P (B/C).

3 Álgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja Una urna contiene 5 bolas blancas y 7 negras. Se extraen dos bolas simultáneamente. Supuesto que se sabe que una de las dos bolas es blanca, hallar la probabilidad de que lo sea también la otra. 22. Se lanzan varios dados y se obtienen tres puntos. Hallar la probabilidad de que se haya jugado con tres dados. 23. En una reunión hay 10 personas, de las cuales 3 son daltónicas y 4 llevan gafas. Se sabe además que la probabilidad de que un daltónico lleve gafas es de 0.6. Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar (a) sea daltónica y lleve gafas; (b) sea daltónica o lleve gafas? 24. En una cierta ciudad el 40 % de la población tiene cabellos castaños, el 25 % tiene ojos castaños y el 15 % tienen cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar. (a) Si tiene cabellos castaños, cuál es la probabilidad de que no tenga ojos castaños? (b) Si tiene ojos castaños, cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? (c) Cuál es la probabilidad de que no tenga ni cabellos ni ojos castaños? 25. La probabilidad de que tres hombres den en el blanco son, respectivamente, 1/6, 1/4 y 1/3. Cada uno dispara una vez al blanco. (a) Hallar la probabilidad de que exactamente uno de ellos dé en el blanco. (b) Si solamente uno pega en el blanco, cuál es la probabilidad de que haya sido el primer hombre? 26. Una urna contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules. (a) Se extrae una bola. Hallar la probabilidad de que dicha bola sea (i)roja; (ii) blanca; (iii) azul; (iv) no roja; (v) roja o blanca. (b) De la urna se sacan sucesivamente 3 bolas. Hallar la probabilidad de que salgan en el orden roja, blanca y azul si cada bola (i) se repone; (ii) no se repone. 27. Se extraen, sucesivamente, tres bolas de una urna que contienen 4 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras. Hallar la probabilidad de sacarlas en el orden blanca, roja y negra si las extracciones se hacen (a) con reemplazamiento; (b) sin reemplazamiento. 3. Probabilidad total. Teorema de Bayes. 28. La caja A contiene 5 fichas azules y 3 rojas y la caja B contiene 4 fichas azules y 6 rojas. (a) Se traslada una ficha de la caja A a la caja B. A continuación se extrae una ficha de la caja B. Cuál es la probabilidad de que la ficha extraída sea roja?

4 Álgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja 4 (b) Se trasladan dos fichas de la caja A a la caja B; seguidamente se extrae una ficha de la caja B. Cuál es la probabilidad de que la ficha extraída sea azul? 29. Se lanza una moneda cargada de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3. Si sale cara, se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale cruz, se elige al azar un número del 1 al 5. Hallar la probabilidad de que se escoja un número par. 30. Una urna U 1 contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 8 azules; otra urna U 2 contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Se lanza un dado corriente: si sale el 3 o el 6 se escoge una bola de U 2, de lo contrario la bola se extrae de U 1. Hallar la probabilidad de que: (a) se escoja una bola roja; (b) se escoja una bola blanca; (c) se escoja una bola azul; (d) Si se escoge una bola roja, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna U 1? (e) Si se escoge una bola blanca, cuál es la probabilidad de que aparezca un 5 en el dado? 31. La caja A contiene nueva cartas numeradas de 1 a 9, y la caja B contiene cinco cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si el número es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A. 32. La urna U 1 contiene 5 bolas blancas y 3 rojas, y la urna U 2 tiene tres blancas y 4 rojas. Se extrae una bola de la urna U 1 y, sin mirarla, se introduce en la urna U 2. Después se extrae una bola de la urna U 2 y resulta ser roja. Qué probabilidad hay de que la bola trasladada fuese roja? 33. Un comerciante compra 3 clases de yogur, A, B y C. Se sabe que el 20 % de la clase A, el 30 % de B y el 50 % de C vienen en malas condiciones, y que de las marcas B y C se compra igual cantidad y de la A lo mismo que de aquéllas juntas. Si un cliente compra un yogur en ese comercio, cuál es la probabilidad de que esté en buen estado? Si compra uno y resultó estar en malas condiciones, cuál es la probabilidad de que sea de la marca A? 34. Una fábrica produce elementos provenientes de las máquinas A,B y C. La máquina A realiza la mitad de la producción, mientras que la B sólo hace la tercera parte. Los porcentajes de averías de la máquinas (de elementos defectuosos) son 5 %, 8 % y 10 %, respectivamente. Se pide: (a) Si se toma un elemento al azar, cuál es la probabilidad de que esté averiado? (b) Si tenemos un elemento defectuoso, hallar la probabilidad de que haya sido producido por la máquina B. 35. Un barco cubre diariamente el servicio entre Ceuta y Algeciras. Sabemos que la probabilidad de accidente en un día sin niebla es de y en un día con niebla En un cierto mes hubo 18 días sin niebla y 12 con niebla. En un día de dicho mes se produjo un accidente. Calcular la probabilidad de que el accidente haya ocurrido

5 Álgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja 5 (a) en un día sin niebla. (b) en un día con niebla. 36. En el jardinero del Sr. Martínez no se puede confiar. La probabilidad de que olvide regar el rosal durante la ausencia del Sr. Martínez es de 2/3. El rosal está en un estado inseguro: si se le riega tiene igual probabilidad de progresar o de secarse, pero solamente un 0.25 de probabilidad de progresar si no se le riega. Después de su regreso, el Sr. Martínez se encuentra con que el rosal está seco. Cuál es la probabilidad de que el jardinero no lo haya regado? 37. Un banco ha estimado que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es de 0.3. También ha estimado que el 40 % de los préstamos no pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones y el 60 % de los préstamos pagados a tiempo fueron solicitados igualmente para financiar viajes de vacaciones. Se pide: (a) Probabilidad de que un préstamo que se haga para financiar un viaje de vacaciones no se pague a tiempo. (b) Probabilidad de que si el préstamo se hace para propósitos distintos a viajes de vacaciones, sea pagado a tiempo. 38. En una fábrica de tornillos, las máquinas M 1, M 2 y M 3 producen, respectivamente, el 30 %, 45 % y 25 % del total. Analizadas las producciones se sabe que el 1 %, el 4 % y el 3 % de cada máquina, respectivamente, son defectuosas. Si se toma al azar un tornillo y resulta ser defectuoso, cuál es la máquina que con mayor probabilidad lo ha fabricado?