TALLER 1 ESTADISTICA II

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1 TALLER 1 ESTADISTICA II Profesor: Giovany Babativa Distribuciones Muestrales 1. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar, Halle: a. P (Z < 1,2) b. P (Z > 1,2) c. P ( 1,7 < Z < 1,2) d. P ( 1,7 < Z < 1,2) 2. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar, Halle: a. La probabilidad de que Z sea menor que es igual a 0.7. b. La probabilidad de que Z sea menor que es igual a c. La probabilidad de que Z sea menor que es igual a 0.6. d. La probabilidad de que Z sea menor que es igual a 0.2. e. P ( 1,96 < X < k) = 0,95 3. Suponga que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros en un año es una variable aleatoria con una distribución normal que tiene una media de $380,000 pesos y una desviación estándar de $50,000. a. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de $ pesos en libros en un año? b. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de $ pesos en libros en un año? c. Explique gráficamente por qué la respuestas de los dos literales anteriores son iguales. d. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre $ y $ pesos en libros en un año? 4. Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar obtenga una calificación mayor que la media más 1.5 desviaciones estándar? 5. El canal Caracol desea lanzar una novela. El gerente de mercadeo del canal cree que su incertidumbre sobre el índice de audiencia que tendrá esta novela durante el primer mes es una variable aleatoria con distribución normal con media 18,2 y una desviación estándar de 1.6. Según el gerente, la probabilidad de que la audiencia sea menos de es de Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal con media 700 y desviación estándar de

2 2 a. Se concede sobresaliente por una calificación de más de 820. Qué proporción de todos los estudiantes obtiene sobresaliente? b. Se decide suspender al 5 % de los estudiantes que tienen las calificaciones más bajas Cuál debe ser la calificación mínima para evitar ser suspendido? 7. En un examen la media de las calificaciones fue de 74 con una desviación estándar de 7. Si al 12 % de la clase se le otorga una calificación de Muy Bien y las calificaciones siguen una distribución normal, cuál es la calificación de Muy Bien más baja posible? 8. Suponga que un instructor asume que las calificaciones finales de un estudiante son los valores de una variable aleatoria X con distribución normal con media µ y varianza σ 2. El instructor decide asignar calificación A a aquellos estudiantes cuyo puntaje exceda a µ+σ, B a aquellos cuyo puntaje este entre µ y µ + σ, C a aquellos con puntajes entre µ σ y µ, D a aquellos cuyo puntaje este entre µ 2σ y µ σ, y F a los que tengan un puntaje inferior a µ 2σ. Encontrar el porcentaje de estudiantes que obtienen una A. 9. La duración media del producto es de 5 años con un desviación estándar de 1 año. Obtenga la probabilidad de que la duración media de una muestra aleatoria de 9 de éstos productos sea superior a 4.4 años. 10. El tiempo que el cajero de un banco dedica a un cliente es una variable aleatoria con una media de µ = 3,2 min. y una desviación estándar de σ = 1,6 minutos. Si se considera una muestra aleatoria de 64 clientes, obtenga la probabilidad de que el tiempo medio de atención por cajero sea: a. a lo sumo 2.7 min b. más de 3.5 min c. por lo menos 3.2 min, pero menos de 3.4 min 11. Suponga que el número de barriles de petróleo que se produce en un pozo diariamente es una variable aleatoria con una distribución no especificada. Si observa la producción en 64 días seleccionados en forma aleatoria, y si se sabe que la desviación estándar del número de barriles por días es σ = 16, determine la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de cuatro barriles del verdadero valor de la producción por día. 12. El precio medio de venta de las viviendas nuevas en Chia es de $115 millones con una desviación estándar de $25 millones. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 viviendas nuevas que fueron vendidas en dicha ciudad. Halle: a. La probabilidad de que la media muestral de estos precios sea más de $110 millones. b. La probabilidad de que la media muestral se encuentre entre $113 y $117 millones. 13. Se tomó una muestra aleatoria de 16 directivos de Empresas. Se desea estimar el tiempo medio que se tardan diariamente en desplazarse al trabajo. Suponga que el tiempo que tarda cualquier directivo es una variable aleatoria con distribución normal con una media de 87 minutos y una desviación estándar de 22 minutos. Cuál es la probabilidad de que la media muestral a. Sea de menos de 100 minutos? b. Esté fuera del intervalo 85 a 95 minutos? 14. El tiempo que dedican los estudiantes a estudiar antes de un examen es una variable aleatoria que sigue una distribución con desviación estándar de 8 horas. Se toma una muestra aleatoria de 4 estudiantes, determine la probabilidad de que la media muestral

3 3 a. Sea más de 2 horas mayor que la media poblacional. b. Sea más de 3 horas inferior a la media poblacional. c. Difiera más de 4 horas de la media poblacional. 15. En el curso de estadística II de la U. Salle hay 250 estudiantes. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 de estos estudiantes y a cada uno se le pregunta por la cantidad de tiempo que ha dedicado a hacer los ejercicios que el profesor puso la semana pasada. Suponga que la población tiene una media de 100 minutos con una desviación estándar de 30 minutos, determine la probabilidad de que la media muestral: a. Sea más de 120 minutos. b. Se de por lo menos 80 minutos. c. Se encuentre dentro de 85 y 110 minutos. 16. Sea X 1, X 2 una m.a de tamaño 2 de una distribución normal con media µ y varianza 1. Considere los siguientes tres estimadores de µ: T 1 = 2 3 X X 2 T 2 = 1 4 X X 2 a. Muestre que T i es insesgado para i = 1, 2, 3. b. Cuál de los tres estimadores es el mejor?. T 3 = 1 2 X X Calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones tomadas de una población normal con varianza σ 2 = 6, tenga una varianza muestral S 2 : a. Superior a b. Menor que c. Entre y Suponga que los tiempos requeridos por Transmilenio para alcanzar uno de sus destinos sigue una distribución normal con una desviación estándar de σ = 1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 viajes, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral de los tiempos sea mayor que Se sabe que los pesos de ciertas especies de peces se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 2 gramos; si se toma una muestra de 12 peces de las especies referidas, encuentre la probabilidad de que la varianza de la muestra sea menor que Suponga que el número de horas que los adolescentes invierten a la semana en ver televisión tienen una distribución normal con una varianza de 3. Se escoge una muestra de 17 adolescentes y se registra el número de horas que ven televisión a la semana. Calcule la probabilidad de que la desviación estándar muestral de los tiempos obtenidos sea mayor que El número de defectos que tienen las llantas producidas por una máquina sigue una distribución normal con desviación estándar de 1.2. Se toma una muestra de 33 llantas, cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea a lo sumo de 0.9?

4 4 22. Supónga que X F m n. Encontrar el valor de x para el cual: a. P (X x) = 0,99 con m = 7, n = 3. b. P (X x) = 0,005 con m = 20, n = 30. c. P (X x) = 0,95 con m = 2, n = 9. Intervalos de Confianza 23. Una muestra aleatoria de empleados de un grupo numeroso perteneciente a una empresa, entregó las siguientes calificaciones en un examen de aptitud: 63; 72; 56; 65; 66; 74; 57; 59; 63. Suponga que la desviación estándar de la población es 6; construya un intervalo de confianza del 95 % para estimar la calificación promedio de todos los trabajadores de la empresa. 24. Una empresa fabrica focos que tienen una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tuvieron una duración promedio de 780 horas, calcule los intervalos de confianza del 90 %, 95 % y 99 % para la vida media real de todos los focos producido por la Empresa. 25. Cuál debe ser el tamaño de la muestra del ejercicio anterior si se desea tener una confianza de 96 % con un error del 10 % al estimar la verdadera media? 26. Una máquina expendedora de gaseosa se regula de tal forma que la cantidad embotellada sigue una distribución normal con desviación estándar de 0.15 decilitros. Si una muestra aleatoria de 36 botellas presenta un contenido promedio de 2.25 dl, calcule los intervalos de confianza del 90 %, 95 % y 99 % para la media de todas las bebidas embotelladas por la máquina. 27. Cuál debe ser el tamaño de la muestra del ejercicio anterior si se desea tener una confianza de 95 % con un error del 9 % al estimar la verdadera media? 28. Una muestra aleatoria de 20 estudiantes del curso de Estadística obtuvo una calificación media de 72 con una varianza de 16. Encuentre los intervalos de confianza del 90 %, 95 % y 99 % para σ Una muestra aleatoria de 25 cigarrillos de cierta marca tiene un contenido promedio de nicotina de 1.3 mg y una desviación estándar de 0.17 mg. Obtenga los intervalos de confianza del 90 %, 95 % y 99 % para σ Se ha observado durante 15 días el precio de la acción de Ecoperocrol: 3,4 2,5 4,8 2,9 3,6 2,8 3,3 5,6 3,7 2,8 4,4 4 5,2 3 4,8 Encuentre los intervalos de confianza del 90 %, 95 % y 99 % para σ Los siguientes son los tiempos en minutos que se demoran los directivos de cierta empresa en llegar desde su casa a su trabajo en dos ciudades diferentes: Ciudad Ciudad

5 5 a. Un intervalo de confianza para el tiempo promedio de llegada en la ciudad 1 es (56.041, ) Cuál es el nivel de confianza de este intervalo? b. Halle un intervalo de 95 % de confianza para la varianza del tiempo de llegada en la ciudad 2. c. Halle un intervalo de 95 % de confianza para tiempo medio de llegada en la ciudad 2.