Cap. 5 : Distribuciones muestrales

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1 Cap. 5 : Distribuciones muestrales Alexandre Blondin Massé Departamento de Informática y Matematica Université du Québec à Chicoutimi 18 de junio del 2015 Modelado de sistemas aleatorios Ingeniería de sistemas, producción y ambiental A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 1 / 43

2 Tabla de contenidos 1. Teorema del límite central 2. La media muestral 3. Las distribuciones χ 2 y Student 4. La varianza muestral 5. Muestras de población A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 2 / 43

3 Teorema Teorema Sean X 1, X 2,..., X n variables aleatorias que tienen la misma distribución de media µ y de varianza σ 2. Si n, entonces la distribución de X 1 + X X n es aproximadamente normal de media nµ y de varianza nσ 2. Corolario La variable aleatoria X 1 + X X n nµ σ n sigue aproximadamente una distribución normal estándar. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 3 / 43

4 Ejemplo (1/2) Una compañía de seguros tiene clientes. El precio reclamado anualmente por un cliente es una variable aleatoria de media 320$ y de desviación estándar 540$. Cuál es la probabilidad que la cantidad total reclamada por los clientes sea mayor que 8,3M$. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 4 / 43

5 Ejemplo (1/2) Una compañía de seguros tiene clientes. El precio reclamado anualmente por un cliente es una variable aleatoria de media 320$ y de desviación estándar 540$. Cuál es la probabilidad que la cantidad total reclamada por los clientes sea mayor que 8,3M$. Sea X i la cantidad reclamada por el cliente i y X = n i=1 X i. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 4 / 43

6 Ejemplo (1/2) Una compañía de seguros tiene clientes. El precio reclamado anualmente por un cliente es una variable aleatoria de media 320$ y de desviación estándar 540$. Cuál es la probabilidad que la cantidad total reclamada por los clientes sea mayor que 8,3M$. Sea X i la cantidad reclamada por el cliente i y X = n i=1 X i. Como n est bastante grande, se aplica el teorema del límite central. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 4 / 43

7 Ejemplo (2/2) Aquí, n = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 5 / 43

8 Ejemplo (2/2) Aquí, n = Entonces, por el teorema del límite central, tenemos que X es aproximadamente normal con parámetros µ = = σ = , A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 5 / 43

9 Ejemplo (2/2) Aquí, n = Entonces, por el teorema del límite central, tenemos que X es aproximadamente normal con parámetros Consecuamente, µ = = σ = , P (X > 8, ) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 5 / 43

10 Ejemplo (2/2) Aquí, n = Entonces, por el teorema del límite central, tenemos que X es aproximadamente normal con parámetros µ = = σ = , Consecuamente, P (X > 8, ) P (Z > 8, ) 8, A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 5 / 43

11 Ejemplo (2/2) Aquí, n = Entonces, por el teorema del límite central, tenemos que X es aproximadamente normal con parámetros µ = = σ = , Consecuamente, P (X > 8, ) P (Z > 8, ) 8, P (Z > 3,51) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 5 / 43

12 Ejemplo (2/2) Aquí, n = Entonces, por el teorema del límite central, tenemos que X es aproximadamente normal con parámetros µ = = σ = , Consecuamente, P (X > 8, ) P (Z > 8, ) 8, P (Z > 3,51) 0, A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 5 / 43

13 Aplicación (1/3) El peso total W en toneladas que un puente puede soportar tiene una distribución normal de media 400 y de desviación estándar 40. Suponemos que el peso en toneladas de un carro sigue una distribución normal de media 3 y de desviación estándar 0,3. Cuántos carros son necesarios para que el riesgo que haya un problema sea mayor que 10 %? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 6 / 43

14 Aplicación (1/3) El peso total W en toneladas que un puente puede soportar tiene una distribución normal de media 400 y de desviación estándar 40. Suponemos que el peso en toneladas de un carro sigue una distribución normal de media 3 y de desviación estándar 0,3. Cuántos carros son necesarios para que el riesgo que haya un problema sea mayor que 10 %? Suponemos que hay n carros en el puente y sea W i el peso del carro i. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 6 / 43

15 Aplicación (1/3) El peso total W en toneladas que un puente puede soportar tiene una distribución normal de media 400 y de desviación estándar 40. Suponemos que el peso en toneladas de un carro sigue una distribución normal de media 3 y de desviación estándar 0,3. Cuántos carros son necesarios para que el riesgo que haya un problema sea mayor que 10 %? Suponemos que hay n carros en el puente y sea W i el peso del carro i. Obtenemos P n = P (W 1 + W W n W ) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 6 / 43

16 Aplicación (1/3) El peso total W en toneladas que un puente puede soportar tiene una distribución normal de media 400 y de desviación estándar 40. Suponemos que el peso en toneladas de un carro sigue una distribución normal de media 3 y de desviación estándar 0,3. Cuántos carros son necesarios para que el riesgo que haya un problema sea mayor que 10 %? Suponemos que hay n carros en el puente y sea W i el peso del carro i. Obtenemos P n = P (W 1 + W W n W ) = P (W 1 + W W n W 0). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 6 / 43

17 Aplicación (2/3) Por el teorema del límite central, n i=1 W i es aproximadamente normal de media 3n y de varianza (0,3) 2 n = 0,09n. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 7 / 43

18 Aplicación (2/3) Por el teorema del límite central, n i=1 W i es aproximadamente normal de media 3n y de varianza (0,3) 2 n = 0,09n. También, parece razonable que W y las W i son independentes; A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 7 / 43

19 Aplicación (2/3) Por el teorema del límite central, n i=1 W i es aproximadamente normal de media 3n y de varianza (0,3) 2 n = 0,09n. También, parece razonable que W y las W i son independentes; W sigue una distribución normal de tal manera que la variable aleatoria X = n i=1 W i W es aproximadamente normal con [ n ] E[X] = E W i W = 3n 400 i=1 ( n ) Var(X) = Var W i + Var(W ) = 0,09n i=1 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 7 / 43

20 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

21 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

22 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. Entonces, buscamos n de tal manera que 400 3n 0,09n ,28. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

23 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. Entonces, buscamos n de tal manera que 400 3n 0,09n ,28. Obtenemos 400 3n 0,09n = 1,28 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

24 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. Entonces, buscamos n de tal manera que 400 3n 0,09n ,28. Obtenemos 400 3n 0,09n = 1, n + 9n 2 = 1,28 2 (0,09n ) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

25 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. Entonces, buscamos n de tal manera que 400 3n 0,09n ,28. Obtenemos 400 3n 0,09n = 1, n + 9n 2 = 1,28 2 (0,09n ) 9n ,147456n ,56 = 0 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

26 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. Entonces, buscamos n de tal manera que 400 3n 0,09n ,28. Obtenemos 400 3n 0,09n = 1, n + 9n 2 = 1,28 2 (0,09n ) 9n ,147456n ,56 = 0 n 116,2110 o n 150,4721. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

27 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. Entonces, buscamos n de tal manera que 400 3n 0,09n ,28. Obtenemos 400 3n 0,09n = 1, n + 9n 2 = 1,28 2 (0,09n ) 9n ,147456n ,56 = 0 n 116,2110 o n 150,4721. Pero, hay que rechazar n 150,4721 (falsa solución). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

28 Aplicación (3/3) Buscamos z que satisface P (Z z) = 0,1; Leyendo una table de distribución normal, z 1,28. Entonces, buscamos n de tal manera que 400 3n 0,09n ,28. Obtenemos 400 3n 0,09n = 1, n + 9n 2 = 1,28 2 (0,09n ) 9n ,147456n ,56 = 0 n 116,2110 o n 150,4721. Pero, hay que rechazar n 150,4721 (falsa solución). Así, a partir de n 117, el riesgo es mayor que 10 %. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 8 / 43

29 Aproximación de una variable binomial Sea X una variable aleatoria binomial de parámetros (n, p); Entonces donde X i = X = X 1 + X X n, { 1, si la prueba i es un éxito; 0, de otra manera. También, E[X i ] = p y Var(X i ) = p(1 p). Por el teorema del límite central X np np(1 p) es aproximadamente normal estándar. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 9 / 43

30 Ejemplo (1/2) En un programa de estudios, el número promedio de estudiantes que son aceptados cada año es 150. En el pasado, cerca de 30 % de los estudiantes se inscriben de hecho al programa. Consecuamente, el director del programa acepta 450 aplicaciones por año. Cuál es la probabilidad que más de 150 estudiantes decidan inscribirse en el programa? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 10 / 43

31 Ejemplo (2/2) Sea X el número de estudiantes que se inscriben al programa. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 11 / 43

32 Ejemplo (2/2) Sea X el número de estudiantes que se inscriben al programa. Asumiendo que los estudiantes se inscriben de manera independentes, tenemos que X B(450; 0,3). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 11 / 43

33 Ejemplo (2/2) Sea X el número de estudiantes que se inscriben al programa. Asumiendo que los estudiantes se inscriben de manera independentes, tenemos que X B(450; 0,3). Entonces P (X > 150) = 450 i=151 P (X = i) = 450 i=151 ( ) 450 (0,3) i (0,7) 450 i. i A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 11 / 43

34 Ejemplo (2/2) Sea X el número de estudiantes que se inscriben al programa. Asumiendo que los estudiantes se inscriben de manera independentes, tenemos que X B(450; 0,3). Entonces P (X > 150) = 450 i=151 P (X = i) = 450 i=151 Es imposible calcular esta suma a mano. ( ) 450 (0,3) i (0,7) 450 i. i A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 11 / 43

35 Ejemplo (2/2) Sea X el número de estudiantes que se inscriben al programa. Asumiendo que los estudiantes se inscriben de manera independentes, tenemos que X B(450; 0,3). Entonces P (X > 150) = 450 i=151 P (X = i) = 450 i=151 Es imposible calcular esta suma a mano. ( ) 450 (0,3) i (0,7) 450 i. i Se puede aproximar con una distribución normal: P (X > 150) P ( ) 150, ,3 Z P (Z 1,59) 0, ,3 0,7 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 11 / 43

36 Corrección de continuidad La distribución binomial es discreta mientras que la distribución normal es continua; Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución binomial; Tenemos que P (X = i) = P (i 0,5 < X < i + 0,5); Cuando se aproxima por una distribución normal, es mejor corrigir agregando o restando 0,5. En el ejemplo, preferimos P (X > 150) = P (X > 150,5) P ( ) 150, ,3 Z 450 0,3 0,7 a P (X > 150) P ( ) ,3 Z ,3 0,7 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 12 / 43

37 Tabla de contenidos 1. Teorema del límite central 2. La media muestral 3. Las distribuciones χ 2 y Student 4. La varianza muestral 5. Muestras de población A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 13 / 43

38 La media muestral Definición Sea una población de objetos. A cada objeto se asocia un valor númerico. Esta población tiene una media µ conocida y una varianza σ 2 non conocida. Sea X 1, X 2,..., X n una muestra de esta población. Entonces la media muestral es X = X 1 + X X n. n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 14 / 43

39 La media muestral es una variable aleatoria Suponemos que una muestra X 1, X 2,..., X n se elige al azar; Entonces X es una variable aleatoria; Cuál es la distribución de X? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 15 / 43

40 Esperanza de la media muestral Se puede calcular la esperanza de X sin conocer su distribución: [ ] X1 + X X n E[X] = E n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 16 / 43

41 Esperanza de la media muestral Se puede calcular la esperanza de X sin conocer su distribución: E[X] = [ ] X1 + X X n E n = 1 n (E[X 1] + E[X 2 ] + + E[X n ]) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 16 / 43

42 Esperanza de la media muestral Se puede calcular la esperanza de X sin conocer su distribución: E[X] = [ ] X1 + X X n E n = 1 n (E[X 1] + E[X 2 ] + + E[X n ]) = 1 (µ + µ + + µ) n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 16 / 43

43 Esperanza de la media muestral Se puede calcular la esperanza de X sin conocer su distribución: E[X] = [ ] X1 + X X n E n = 1 n (E[X 1] + E[X 2 ] + + E[X n ]) = 1 (µ + µ + + µ) n = µ. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 16 / 43

44 Varianza de la media muestral De manera similar, se calcula la varianza: ( ) X1 + X X n Var[X] = Var n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 17 / 43

45 Varianza de la media muestral De manera similar, se calcula la varianza: Var[X] = ( ) X1 + X X n Var n = 1 n 2 (Var(X 1) + Var(X 2 ) + + Var(X n )) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 17 / 43

46 Varianza de la media muestral De manera similar, se calcula la varianza: Var[X] = ( ) X1 + X X n Var n = 1 n 2 (Var(X 1) + Var(X 2 ) + + Var(X n )) = 1 n 2 ( σ 2 + σ σ 2) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 17 / 43

47 Varianza de la media muestral De manera similar, se calcula la varianza: Var[X] = ( ) X1 + X X n Var n = 1 n 2 (Var(X 1) + Var(X 2 ) + + Var(X n )) = 1 n 2 ( σ 2 + σ σ 2) = 1 n 2 nσ2 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 17 / 43

48 Varianza de la media muestral De manera similar, se calcula la varianza: Var[X] = ( ) X1 + X X n Var n = 1 n 2 (Var(X 1) + Var(X 2 ) + + Var(X n )) = 1 n 2 ( σ 2 + σ σ 2) = 1 n 2 nσ2 = σ2 n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 17 / 43

49 Distribución de X La variable X tiene una esperanza de µ; Se puede estimar µ; Cuál es la calidad de la estimación? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 18 / 43

50 Distribución de X La variable X tiene una esperanza de µ; Se puede estimar µ; Cuál es la calidad de la estimación? Depiende de la dispersión de X; A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 18 / 43

51 Distribución de X La variable X tiene una esperanza de µ; Se puede estimar µ; Cuál es la calidad de la estimación? Depiende de la dispersión de X; Notamos que Var(X) = σ 2 /n; A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 18 / 43

52 Distribución de X La variable X tiene una esperanza de µ; Se puede estimar µ; Cuál es la calidad de la estimación? Depiende de la dispersión de X; Notamos que Var(X) = σ 2 /n; Consecuamente, cuando n, Var(X) 0; A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 18 / 43

53 Distribución de X La variable X tiene una esperanza de µ; Se puede estimar µ; Cuál es la calidad de la estimación? Depiende de la dispersión de X; Notamos que Var(X) = σ 2 /n; Consecuamente, cuando n, Var(X) 0; En otras palabras, mayor es la muestra, mayor es la probabilidad que X sea una estimación correcta para µ. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 18 / 43

54 Aplicación del teorema del límite central Teorema Sea X 1, X 2,..., X n una muestra de una población de media µ y de varianza σ 2. Sea n i=1 X = X i. n Entonces la variable aleatoria X µ σ/ n sigue aproximadamente una distribución normal estándar. Nota De manera general, para que la aproximación sea aceptable, es preferable que n 30. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 19 / 43

55 Ejemplo (1/2) Se mide la distancia entre la Tierra y una estrella. Como es díficil tener una medida precisa, se toman varias medidas. Suponemos que las medidas son independentes, que la media es d y que la desviación estándar es 2 años-luz. Cuántas medidas se deben tomar para estar seguro a 95 % que la estimación es correcta con un error de ±0,5 años-luz? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 20 / 43

56 Ejemplo (1/2) Se mide la distancia entre la Tierra y una estrella. Como es díficil tener una medida precisa, se toman varias medidas. Suponemos que las medidas son independentes, que la media es d y que la desviación estándar es 2 años-luz. Cuántas medidas se deben tomar para estar seguro a 95 % que la estimación es correcta con un error de ±0,5 años-luz? Sea n el número de medidas tomadas. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 20 / 43

57 Ejemplo (1/2) Se mide la distancia entre la Tierra y una estrella. Como es díficil tener una medida precisa, se toman varias medidas. Suponemos que las medidas son independentes, que la media es d y que la desviación estándar es 2 años-luz. Cuántas medidas se deben tomar para estar seguro a 95 % que la estimación es correcta con un error de ±0,5 años-luz? Sea n el número de medidas tomadas. Entonces X es aproximadamente normal de media d y de desviación estándar 2/ n. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 20 / 43

58 Ejemplo (2/2) Consecuamente, la probabilidad que X sea dentro del intervalo de error es P ( 0,5 < X d < 0,5) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 21 / 43

59 Ejemplo (2/2) Consecuamente, la probabilidad que X sea dentro del intervalo de error es P ( 0,5 < X d < 0,5) = P ( 0,5 2/ n < X d 2/ n < 0,5 ) 2/ n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 21 / 43

60 Ejemplo (2/2) Consecuamente, la probabilidad que X sea dentro del intervalo de error es P ( 0,5 < X d < 0,5) = P ( 0,5 2/ n < X d 2/ n < 0,5 ) 2/ n P ( n/4 < Z < n/4) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 21 / 43

61 Ejemplo (2/2) Consecuamente, la probabilidad que X sea dentro del intervalo de error es P ( 0,5 < X d < 0,5) = P ( 0,5 2/ n < X d 2/ n < 0,5 ) 2/ n P ( n/4 < Z < n/4) = P (Z < n/4) P (Z < n/4) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 21 / 43

62 Ejemplo (2/2) Consecuamente, la probabilidad que X sea dentro del intervalo de error es P ( 0,5 < X d < 0,5) = P ( 0,5 2/ n < X d 2/ n < 0,5 ) 2/ n P ( n/4 < Z < n/4) = P (Z < n/4) P (Z < n/4) = 2P (Z < n/4) 1. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 21 / 43

63 Ejemplo (2/2) Consecuamente, la probabilidad que X sea dentro del intervalo de error es P ( 0,5 < X d < 0,5) = P ( 0,5 2/ n < X d 2/ n < 0,5 ) 2/ n P ( n/4 < Z < n/4) = P (Z < n/4) P (Z < n/4) = 2P (Z < n/4) 1. Buscamos n que satisface 2P (Z < n/4) 1 0,95, es decir P (Z < n/4) 0,975. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 21 / 43

64 Ejemplo (2/2) Consecuamente, la probabilidad que X sea dentro del intervalo de error es P ( 0,5 < X d < 0,5) = P ( 0,5 2/ n < X d 2/ n < 0,5 ) 2/ n P ( n/4 < Z < n/4) = P (Z < n/4) P (Z < n/4) = 2P (Z < n/4) 1. Buscamos n que satisface 2P (Z < n/4) 1 0,95, es decir P (Z < n/4) 0,975. Entonces, n/4 1,96 de tal manera que n 62. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 21 / 43

65 Tabla de contenidos 1. Teorema del límite central 2. La media muestral 3. Las distribuciones χ 2 y Student 4. La varianza muestral 5. Muestras de población A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 22 / 43

66 Definición Definición Sean Z 1, Z 2,..., Z n variables aleatorias normales estándares independentes. Entonces la variable X = n Zi 2 = Z1 2 + Z Zn 2 i=1 sigue una distribución de χ 2 con n grados de libertad y se escribe X χ 2 n. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 23 / 43

67 Densidad de χ 2 Densidad Densidad de la distribución de χ 2 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 24 / 43

68 Tabla de χ 2 Tabla de los valores de la FDA de χ 2 con n grados de libertad Sea X χ 2 n. Cada entrada de la tabla corresponde a la probabilidad P (X x). Por ejemplo, para n = 6, tenemos P (X 1.237) = 0.975, que se obtiene leyend la entrada a la intersección de la fila n = 6 y de la columna n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 25 / 43

69 Distribución de Student Definición Sea Z una variable aleatoria normal estándar y χ 2 n una variable aleatoria que tiene una distribución de χ 2 con n grados de libertad. Suponemos que Z y χ 2 n sean independentes. Entonces la variable T n = Z χ 2 n /n sigue una distribución de Student o una t-distribución con n grados de libertad. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 26 / 43

70 Densidad de Student Densidad de la distribución de Student n = 1 n = 2 n = 4 n = 10 n = 20 normal Densidad A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 27 / 43

71 Tabla de Student Tabla de los valores de la FDA de una distribución de Student con n grados de libertad Sea X Tn. Cada entrada de la tabla corresponde a la probabilidad P (X x). Por ejemplo, para n = 6, tenemos P (X 1.943) = 0.95, que se obtiene leyendo la entrada a la intersección de la fila n = 6 y de la columna n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 28 / 43

72 Propiedades de las dos distribuciones Sean X 1 y X 2 dos variables independentes que siguen una distribución χ 2, con grados de libertad n 1 y n 2 ; Entonces X 1 + X 2 sigue una distribución χ 2 con grados de libertad n 1 + n 2 ; La distribución χ 2 permite estimar la varianza de una muestra; La distribución de Student permite realizar pruebas de hipótesis. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 29 / 43

73 Tabla de contenidos 1. Teorema del límite central 2. La media muestral 3. Las distribuciones χ 2 y Student 4. La varianza muestral 5. Muestras de población A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 30 / 43

74 La varianza muestral Definición Sean X 1, X 2,..., X n variables aleatorias de una distribución de media µ y de varianza σ 2. Sea X la media muestral. Entonces n S 2 i=1 = (X i X) 2 n 1 se llama varianza muestral y S = S 2 se llama desviación estándar muestral. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 31 / 43

75 Esperanza de la varianza muestral (1/2) Sabemos del capítulo 1 que n (x i x) 2 = i=1 n x 2 i nx 2, i=1 para cualquier vector de números x = (x 1, x 2,..., x n ). Entonces, n (n 1)S 2 = Xi 2 nx 2. Calculamos la esperanza de los dos lados de esta igualdad. i=1 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 32 / 43

76 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

77 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

78 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] [ n ] = E Xi 2 nx 2 i=1 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

79 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] [ n ] = E Xi 2 nx 2 = E i=1 [ n Xi 2 i=1 ] ne[x 2 ] A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

80 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] [ n ] = E Xi 2 nx 2 = E i=1 [ n Xi 2 i=1 ] ne[x 2 ] = ne[x 2 1] ne[x 2 ] A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

81 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] [ n ] = E Xi 2 nx 2 = E i=1 [ n Xi 2 i=1 ] ne[x 2 ] = ne[x1] 2 ne[x 2 ] = n(var(x 1 ) + E[X 1 ] 2 ) n(var(x) + E[X] 2 ) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

82 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] [ n ] = E Xi 2 nx 2 = E i=1 [ n i=1 X 2 i ] ne[x 2 ] = ne[x 2 1] ne[x 2 ] = n(var(x 1 ) + E[X 1 ] 2 ) n(var(x) + E[X] 2 ) = nσ 2 + nµ 2 nσ 2 /n nµ 2 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

83 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] [ n ] = E Xi 2 nx 2 = E i=1 [ n i=1 X 2 i ] ne[x 2 ] = ne[x 2 1] ne[x 2 ] = n(var(x 1 ) + E[X 1 ] 2 ) n(var(x) + E[X] 2 ) = nσ 2 + nµ 2 nσ 2 /n nµ 2 = nσ 2 σ 2 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

84 Esperanza de la varianza muestral (2/2) (n 1)E[S 2 ] = E[(n 1)S 2 ] [ n ] = E Xi 2 nx 2 = E i=1 [ n i=1 X 2 i ] ne[x 2 ] = ne[x 2 1] ne[x 2 ] = n(var(x 1 ) + E[X 1 ] 2 ) n(var(x) + E[X] 2 ) = nσ 2 + nµ 2 nσ 2 /n nµ 2 = nσ 2 σ 2 = (n 1)σ 2, de tal manera que E[S 2 ] = σ 2. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 33 / 43

85 Tabla de contenidos 1. Teorema del límite central 2. La media muestral 3. Las distribuciones χ 2 y Student 4. La varianza muestral 5. Muestras de población A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 34 / 43

86 Población normal Sea una muestra X 1, X 2,..., X n de una población normal de media µ y de varianza σ 2 ; La media muestral es X = La varianza muestral es n i=1 X i ; n S 2 = n i=1 (X i X) 2 ; n 1 Cuáles son las distribuciones de X y S 2? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 35 / 43

87 Distribución de X Como X i N (µ, σ 2 ), tenemos que X sigue una distribución normal de media E[X = µ y de varianza Consecuamente: Var(X) = σ2 n. Teorema La variable X µ σ/ n sigue una distribución normal estándar. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 36 / 43

88 Distribución de S 2 Teorema Si X 1, X 2,..., X n es una muestra de una población normal de media µ y de varianza σ 2, entonces (n 1)S 2 sigue una distribución de χ 2 con n 1 grados de libertad. σ 2 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 37 / 43

89 Independencia de X y S 2 Teorema Si X 1, X 2,..., X n es una muestra de una población normal de media µ y de varianza σ 2, entonces las variables aleatorias X y S 2 son independentes. Corolario La variable aleatoria T = n X µ S sigue una distribución de Student con n 1 grados de libertad y se escribe T t n 1. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 38 / 43

90 Ejemplo El tiempo de uso de un procesor para procesar una tarea sigue una distribución normal de media 20 nanosecondes y de desviación estándar 3 nanosecondes. Se recoge una muestra de 15 tareas. Cuál es la probabilidad que la varianza de la muestra sea mayor que 12? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 39 / 43

91 Ejemplo El tiempo de uso de un procesor para procesar una tarea sigue una distribución normal de media 20 nanosecondes y de desviación estándar 3 nanosecondes. Se recoge una muestra de 15 tareas. Cuál es la probabilidad que la varianza de la muestra sea mayor que 12? Tenemos n = 15 y σ 2 = 9. Entonces ( 14S P (S 2 2 > 12) = P 9 > ) = P (χ 2 14 > 18,67) 0,1779. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 39 / 43

92 Calculadores A veces, las tablas son incompletas, tenemos que utilizar ordenadores para calcular las probabilidades; Por ejemplo, P (χ2 14 > 18,67) y P (χ ,67) no se encuentran en la tabla de χ 2. Con Scipy, se obtiene fácilmente 1 >>> from scipy import stats 2 >>> 1 - stats.chi2.cdf(18.67, 14) También existen online calculadores: A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 40 / 43

93 Población finita Sea una población de N objetos y p [0, 1] la proporción de elementos que tienen una característica dada. Una muestra aleatoria de n objetos es un conjunto de objetos {X 1, X 2,..., X n } eligidos con probabilidad uniforme, es decir que cada de los ( N n) subconjuntos tienen la misma probabilidad. Claramente, X 1, X 2,..., X n no son independentes, porque siguen una distribución hipergeométrica (sin reemplazo); Pero cuando N es grande, la dependencia vuelve casi nulla y tiende hacia una distribución binomial. Entonces, se puede utilizar la aproximación normal. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 41 / 43

94 Ejemplo (1/2) Suponemos que 45 % de una población prefiere un candidato para las próximas elecciones. Sea una muestra de 200 personas elegidas al azar. Calculen 1. (a) la esperanza y la varianza del número de personas de la muestra que prefieren el candidato. 2. (b) la probabilidad que más que la mitad de las personas prefieren el candidato. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 42 / 43

95 Ejemplo (1/2) Suponemos que 45 % de una población prefiere un candidato para las próximas elecciones. Sea una muestra de 200 personas elegidas al azar. Calculen 1. (a) la esperanza y la varianza del número de personas de la muestra que prefieren el candidato. 2. (b) la probabilidad que más que la mitad de las personas prefieren el candidato. Tenemos n = 200 y p = 0,45. Entonces, X = np = 90, A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 42 / 43

96 Ejemplo (1/2) Suponemos que 45 % de una población prefiere un candidato para las próximas elecciones. Sea una muestra de 200 personas elegidas al azar. Calculen 1. (a) la esperanza y la varianza del número de personas de la muestra que prefieren el candidato. 2. (b) la probabilidad que más que la mitad de las personas prefieren el candidato. Tenemos n = 200 y p = 0,45. Entonces, X = np = 90, S = np(1 p) = 200 0,45 0,55 7,0356. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 42 / 43

97 Ejemplo (2/2) X es binomial con parámetros n = 200 y p = 0,45. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 43 / 43

98 Ejemplo (2/2) X es binomial con parámetros n = 200 y p = 0,45. Se puede aproximar con la distribución normal: P (X 101) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 43 / 43

99 Ejemplo (2/2) X es binomial con parámetros n = 200 y p = 0,45. Se puede aproximar con la distribución normal: P (X 101) = P (X 100,5) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 43 / 43

100 Ejemplo (2/2) X es binomial con parámetros n = 200 y p = 0,45. Se puede aproximar con la distribución normal: P (X 101) = P (X 100,5) P ( X 90 7,0356 ) 100,5 90 7,0356 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 43 / 43

101 Ejemplo (2/2) X es binomial con parámetros n = 200 y p = 0,45. Se puede aproximar con la distribución normal: P (X 101) = P (X 100,5) P ( X 90 7,0356 P (Z 1,4924) ) 100,5 90 7,0356 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 43 / 43

102 Ejemplo (2/2) X es binomial con parámetros n = 200 y p = 0,45. Se puede aproximar con la distribución normal: P (X 101) = P (X 100,5) P ( X 90 7,0356 P (Z 1,4924) 0,0678. ) 100,5 90 7,0356 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 5 43 / 43

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