8 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 8.

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1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema Ejemplos. Ejemplo 49 Supongamos que el tiempo que tarda en dar respuesta a un enfermo el personal sanitario de un hospital es uniforme entre 0 y 8 minutos. 1. Determinad la función de densidad y la función de distribución y dibujadlas. 2. Calculad la probabilidad que una respuesta exceda los 7 minutos. Dibujad el área que representa esta probabilidad en la función de densidad. Cómo representaríais esta probabilidad en la función de distribución? 3. Cuál creeis que es el tiempo medio de respuesta? 1. La v.a. X tiene una ley uniforme continua U(0,8). Por tanto, la función de densidad y la función de distribución de X son: { 0, si x 0, 1/8, si x (0,8), f(x) = F(x) = x/8, si 0 x 8, 0, si x / (0,8), 1, si x P(X > 7) = 1 P(X 7) = 1 F(7) = 1 7/8 = 1/8. 3. El tiempo medio de respuesta es E(X) = (0 + 8)/2 = 4 minutos. Ejemplo 50 La caducidad (en días) de un yogur es una variable aleatoria que tiene como función de distribución F(x) = 1 exp( x/21), si x 0, y vale 0 si x < Cuál es la función de densidad de X? 2. Cuál es la probabilidad que un yogur dure más de un mes? 3. Cuál es la duración media de los yogures? 1. La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución, por tanto, { 1 f(x) = 21 e x/21, si x 0, 0, si x < 0. 2.La probabilidad de que un yogur dure más de un mes es P(X > 30) = 1 P(X 30) = 1 F(30) = e 30/21 = A partir de la función de densidad, puede verse que la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro β = 21. Por tanto, la duración media de los yogures es E(X) = β = 21 días. Ejemplo 51 Lanzamos una moneda equilibrada 1000 veces. Calculad la probabilidad que el número de caras esté entre 490 y 510. Consideramos la v.a. X = número de caras obtenidas al lanzar una moneda 1000 veces, que tiene distribución binomial B(1000,1/2). Puesto

2 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 30 que np = 500 > 5 y n(1 p) = 500 > 5, podemos aproximar la ley de X por una ley normal N(500,250). Utilizando la correción por continuidad, tenemos que: P(490 < X < 510) = P( < X < ) ( = P < X 500 ) < = P( 0.66 < Z < 0.66), donde Z N(0, 1). Finalmente, utilizando las tablas de la ley normal estándar, P( 0.66 < Z < 0.66) = F(0.66) F( 0.66) = Ejemplo 52 El 5% de los termostatos fabricados por una empresa no satisfacen las especificaciones técnicas. Se extrae un lote de 2000 termostatos. a) Utilitzando la aproximación a la ley normal, calculad la probabilidad que el lote contenga más de 120 termostatos defectuosos. b) Se extrae del lote una muestra de 200 termostatos. Si el número de termostatos defectuosos en la muestra es inferior a 12, se acepta el lote, y se rechaza en caso contrario. Cuál es la probabilidad que se acepte el lote? a) La variable aleatoria X que cuenta el número de termostatos defectuosos en un lote de tamaño 2000 tiene una distribución binomial de parámetros n = 2000 y p = Puesto que n es grande, es conveniente aproximar la distribución binomial por la distribución normal de parámetros µ = np = 100 y σ 2 = np(1 p) = 95 y, por tanto, σ = 95. Entonces, tipificando la variable aleatoria X y utilizando la tabla de la distribución normal estándar, se obtiene: X P(X > 120) = P(X > ) = P > P(Z > 2) = 1 F(2) = b) Ahora, consideramos la variable aleatoria Y que cuenta el número de termostatos defectuosos en la muestra de tamaño 200. La distribución de Y es binomial de parámetros n = 200 y p = 0.05, que, como antes, la aproximaremos por una distribución normal de parámetros µ = np = 10 y σ 2 = np(1 p) = 9.5. En este caso, σ = 9.5. La probabilidad de aceptar el lote es: Y P(Y < 12) = P(Y < ) = P < P(Z < 0.81) = Ejemplo 54 Considerad la v.a. X que tiene ley uniforme discreta dada por la siguiente función de probabilidad: { 1/4, x = 1,2,3,4, f(x) = 0, en otro caso. Sean X 1,...,X n son v.a. i.i.d. con la misma distribución que X, y considerad la v.a. Y = 1 n X i. n i=1

3 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 31 Calculad la probabilidad P(2.4 < Y < 2.8) para n = 36. Respuesta: Consideramos X 1,X 2,...,X n v.a. i.i.d. con función de probabilidad f(x). Calculamos la esperanza y varianza de una de estas v.a.: E(X) = 1 4 ( ) = 5 2, E(X2 ) = 1 ( ) = 15 2, var(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = = 5 4. Por tanto, según el T.L.C. la ley de Y, para n = 36, es: ( 5 Y N 2, 5/4 ) = N(5/2,5/144) = N(2.5,0.035). 36 La probabilidad que nos piden es: P(2.4 < Y < 2.8) = P < Z < = P( 0.53 < Z < 1.60) = F(1.60) F( 0.53) = F(1.60) 1 + F(0.53) 8.2 Ejercicios. = = Ejercicio 30 Sea Z N(0,1). Utilizando las tablas calculad: 1. P(Z 2), P(Z 2), 2. P(Z 1.03), P(Z 1.03), 3. P(Z 0.748), P(Z 0.748), 4. P(Z 4), P(Z 4). 1. P(Z 2) = , P(Z 2) = , 2. P(Z 1.03) = Ejercicio 31 Sea Z N(0,1). Utilizando las tablas calculad: 1. P(Z 2.1), P(Z 2.22), 2. P(Z 1.13), P(Z 1.335), 3. P(Z 1.96), P(Z 2.33), 4. P(Z 2.576), P(Z 1.642). 1. P(Z 2.1) = 1 P(Z < 2.1) = = , 2. P(Z 2.33) = 1 P(Z < 2.33) = = Ejercicio 32 Sea Z N(0,1). Utilizando las tablas calculad: 1. P(1 Z 2), 2. P(0.5 Z 1.5), 3. P( 1.96 Z 1.96),

4 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE P( 2.58 Z 2.58). 1. P(1 Z 2) = P(Z 2) P(Z < 1) = = Ejercicio 33 Suponed que la altura de las mujeres de una cierta población es una variable aleatoria con distribución normal de media 163 cm y varianza 49. Calculad: 1. La probabilidad que una mujer escogida al azar mida menos de 172 cm. 2. La probabilidad que una mujer escogida al azar mida menos de 160 cm. 3. La probabilidad que una mujer escogida al azar mida más de 155 cm. 4. La probabilidad que una mujer escogida al azar mida más de 175 cm. 5. La probabilidad que una mujer escogida al azar mida entre 158 cm y 166 cm. 1. La probabilidad que una mujer escogida al azar mida menos de 172cm es: X P(X < 172) = P < = P(Z < 1.29) = , La probabilidad que una mujer escogida al azar mida menos de 160cm es: X P(X < 160) = P < = P(Z < 0.43) = , La probabilidad que una mujer escogida al azar mida más de 155cm es: X P(X > 155) = P > = P(Z > 1.14) = P(Z 1.14) = = , 5. La probabilidad que una mujer escogida al azar mida entre 158 cm y 166 cm es: ( P(158 < X < 166) = < X 163 ) < = P( 0.71 < Z < 0.43) = P(Z < 0.43) P(Z 0.71) = = Ejercicio 34 Suponiendo que Z N(0,1), calculad utilizando las tablas: 1. El percentil 25 (o primer cuartil) es z 0.25 = El percentil 50 (o mediana) es z 0.50 = El percentil 75 (o tercer cuartil) es z 0.75 = El percentil 95 es z 0.95 = El percentil 99 es z 0.99 = Entre qué dos valores de Z simétricos respecto del 0 se encuentran el 95% de las observaciones? Esto significa qué dos percentiles dejan en la parte central de la distribución un área de 0.95 y a las colas un área de Estos percentiles son z = 1.96 y z = 1.96.

5 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE Entre qué dos valores de Z simétricos respecto del 0 se encuentran el 90% de las observaciones? Entre los percentiles 5 y 95, es decir, en el intervalo [z 0.05,z 0.95 ], donde z 0.95 = 1.64 y z 0.05 = z 0.95 = Entre qué dos valores de Z simétricos respecto del 0 se encuentran el 99% de las observaciones? Ejercicio 35 Considerad la variable altura de les mujeres X N(163,49) y calculad: 1. El percentil 25 (o primer cuartil) es x 0.25 = z = Qué significa esto? Que el 25% de las mujeres tienen una altura inferior a cm. 2. El percentil 50 (o mediana) es x 0.50 = El percentil 75 (o tercer cuartil) es x 0.75 = z = El percentil 95 es x 0.95 = z = El percentil 99 es 6. Entre qué dos valores de X simétricos respecto de µ = 163 se encuentran el 95% de las observaciones? Esto significa qué dos percentiles dejan en la parte central de la distribución un área de 0.95 y en las colas un área de Estos percentiles son x y x 0.975, que se obtendrŕan a partir de z y z 0.975, respectivamente. x = 7z = y x = 7z = Entre qué dos valores de X simétricos respecto de µ = 163 se encuentran el 90% de las observaciones? 8. Entre quins dos valores de X simétricos respecto de µ = 163 se encuentran el 99% de las observaciones? Ejercicio 37 Una empresa produce paquetes de arroz. El peso de los paquetes se distribuye según una normal de media 1 kg y desviación 50 g. La empresa tiene un mecanismo de control que retira automáticamente todos los paquetes que pesan menos de 0.9 kg y los que pesan más de 1.1 kg. El resto de la producción se pone a la venta. a) Qué porcentaje de los paquetes producidos se retiran por el mecanismo de control? b) Si un paquete pasa el control, Cuál es la probabilidad que tenga un peso superior a 1.05 kg? Considermanos la v.a. X = peso de un paquete de arroz, que sigue una ley N(1, ). a) La probabilidad de que un paquete que se ponga a la venta es P(0.9 X 1.1) = P ( Z ) = F(2) F(1) = = Por tanto, el porcentaje de paquetes que se retiran de la venta es ( ) 100% = 4.56%. b) Nos piden la siguiente probabilidad condicionada: P(X > 1.05/0.9 X 1.1) = P(1.05<X 1.1) P(0.9 X 1.1) = = , donde P(1.05 < X 1.1) = P < Z = F(2) F(1) = =

6 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 34 Ejercicio 38 Se estima que el peso en el momento del nacimiento de los bebés de un cierto país sigue una distribución normal de media 2.6 kg y desviación 0.5 kg. a) Si los bebés de menos de 1.7 kg necesitan pasar por un periodo de incubación artificial, cuál es el porcentaje de bebés que necesitan pasar por este periodo? b) Qué porcentaje de bebés pesa más de 3.5 kg? c) A partir de qué peso se encuentra el 10% de los bebés que más pesan? d) Cuál es el intervalo centrado en la media que contiene el peso del 90% de los bebés? Considermanos la v.a. X = peso de un bebé, que sigue una ley N(2.6,0.5 2 ). Nos piden: a) P(X < 1.7); b) P(X > 3.5); c) k tal que P(X > k) = Por tanto, k = x 90 = 0.5z , donde z 0.90 = 1.28; d) El inetrvalo centrado en la media que contiene el peso del 90% de los bebés es [x 0.05,x 0.95 ], donde x 0.95 = 0.5z y x 0.05 = 0.5z , z 0.95 = 1.64 y z 0.05 = z 0.95 = 1.64.