5 Variables aleatorias contínuas

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1 5 Variables aleatorias contínuas Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un intervalo de números reales.. Función de densidad. La función de densidad de una variable aleatoria continua es una función f que cumple f(x) 0; Z f(x)dx = : () (comparar con (6)) y para todo a < b F (b) F (a) = P (a < X b) = Z b a f(x)dx: (2) Entonces es evidente que para una variable aleatoria continua: P (a < X < b) = P (a X b) La relación entre la función de densidad y la función de distribución está dada por: F (x) = P (X x) = Z x f(y)dy; de donde se deduce que la función de distribución de una variable aleatoria continua, es una función continua en todas partes; y que la función de densidad es la derivada de la función de distribución, en todos los puntos en los que esta última sea derivable: df (x) dx : 5. Parámetros de una variable aleatoria continua La esperanza o media de una variable continua con función de densidad f; es EX = cuando esta integral está de nida. Z xf(x)dx: 27

2 Si X es una variable aleatoria continua con densidad f y h es una función cualquiera, h(x) es una variable aleatoria cuya esperanza se calcula como: Eh(X) = Z h(x)f(x)dx cuando esta integral está de nida. La propiedad de linealidad del valor esperado también vale para variables aleatorias continuas, así como la de nición y propiedades de la varianza, y de la desviación típica. Para variables aleatorias continuas se de nen los cuantiles de la siguiente forma, para cualquier 0 < < ; el cuantil-, es el valor x(); tal que F (x()) = P (X x()) = Z x() f(x)dx = En particular, el cuantil-0:5 se llama mediana y es el valor e, tal que: F (e) = Z e f(x)dx = =2 Ejemplo 5. Sea X una v. a. con densidad dada por: 0:2 si x 0 0:2 + cx si 0 < x 0 en caso contrario Obtener F (x) Gra car f(x) y F (x) Calcular F ( ), F (0) y F () Calcular P (0 X 0:5) Ejemplo 5.2 Sea X una v.a. con la siguiente función de distribución: 0 si x < 0 x=8 si 0 x < 2 x 2 =6 si 2 x 4 si x > 4 Obtener la función de densidad para X Calcular P ( X 3) Calcular P (X :5) Realice los ejercicios de a 5 28

3 5.2 Distribución uniforme Veamos un ejemplo muy simple: supongamos que una persona toma un colectivo para ir al trabajo, que pasa exactamente cada 5 minutos. Si sale de su casa sin tener en cuenta la hora, el tiempo X, que tiene que esperar en la parada es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor en el intervalo [0; 5], la función de densidad para esta variable es: =5 si x [0; 5] 0 en otro caso Es evidente que f(x) 0, para todo x; y que el área total bajo f(x) es igual a. La probabilidad de que tenga que esperar entre y 3 minutos es: P ( X 3) = R 3 dx = Se dice que esta variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo [0,5] En general se dice que una variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo [a,b] (X s U[a; b]), si su función de densidad está dada por: si x[a; b] b a 0 en otro caso esta función cumple: f(x) 0 para todo x; y R f(x)dx =. Calculemos la media y varianza de una variable aleatoria con distribución uniforme en [a,b]. EX = Z xf(x)dx = Z b a x b a dx = b 2 a 2 b a 2 = b + a 2 entonces la media de una distribución uniforme es el punto medio del intervalo. Para calcular la varianza, calculamos primero EX 2 = entonces Z x 2 f(x)dx = Z b a x 2 b a dx = b 3 a 3 b a 3 = a2 + ab + b 2 3 var(x) = EX 2 (EX) 2 = a2 + ab + b 2 3 (b + a) 2 4 = (b a)2 2 29

4 La función de distribución está dada por: 0 si x < a F (x) = x a si x[a; b] b a si x > b Para calcular la mediana e; podemos hacer: y despejando: F (e) = e a b a = =2 med(x) = e = b + a 2 en este caso la mediana y la media coinciden. Esto ocurre siempre que la distribución es simétrica. 5.3 Distribución exponencial Veamos otro ejemplo de variable aleatoria continua. Pensemos en un proceso temporal de Poisson, y consideramos el tiempo T transcurrido entre la presentación de dos eventos sucesivos. Ese tiempo T, es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor no negativo, y puede demostrarse que tiene función de densidad dada por: e x si x > 0 0 si x 0 y se dice que tiene distribución exponencial con parámetro (X v ()), donde es el valor medio del número de eventos por unidad de tiempo. Su función de distribución está dada por: F (t) = Z t f(x)dx = e t si t > 0 0 si t 0 Ejemplo 5.3 Supongase que se reciben llamadas en una línea telefónica de emergencias las 24 hs del día, según un proceso de Poisson con una tasa 0.5 llamadas por hora. Cuál es la probabilidad de que transcurran más de dos horas entre dos llamadas sucesivas? 30

5 La variable aleatoria T; el tiempo (medido en horas) entre dos llamados sucesivos, tiene distribución exponencial con = 0:5. Entonces: P (T > 2) = P (T 2) = ( e 0:52 ) = 0:3679 La media y varianza de una variable exponencial están dadas por: ET = ; var(t ) = 2 luego Para calcular la mediana e F (e) = e e = =2 med(t ) = e = ln 2 en este caso puede verse que la mediana es menor que la media. Realice los ejercicios de 6 a La distribución normal La distribución normal típica (o normal N(0; )) tiene densidad '(z) = p 2 e z2 =2 se puede ver que esta función es simétrica respecto de 0 Si Z tiene esta distribución, entonces se prueba que EZ = 0; var(z) = Llamamos (z) a su función de distribución; entonces para todo a < b: P (a Z b) = (b) (a): Por ser ' simétrica, la cumple ( z) = (z): (3) 3

6 Las tablas de suelen incluir sólo las z 0; y los valores para z < 0 se obtienen usando (3). Por ejemplo, se obtiene de la tabla que (:02) = 0:846: Para calcular ( :02) se hace 0:846 = 0:539. Se deduce de (3) que los cuantiles de la N(0; ) cumplen y en particular la mediana z( ) = z(); (4) med(z) = e = z(0:5) = 0: La variable X tiene distribución normal con media y varianza 2 (que se indica N(; 2 )) si su función de densidad está dada por: p 2 e (x )2 =2 2 puede verse que la grá ca de esta función es simétrica respecto de : También puede demostrarse que si X s N(; 2 ), entonces: E(X) =, V (X) = 2 Importante: La familia de distribuciones normales tiene la siguiente propiedad: si X s N(; 2 ), entonces para cualquier a 6= 0 y cualquier b, se veri ca que Y = ax + b s N(a + b; a 2 2 ) Entonces, variable normalizada Z = (X )= tiene distribución N(0; ): O sea que X s N(; 2 ) si X = + Z donde Z s N(0; ): (5) Ejemplo 5.4 Sea X s N(30; 4), se desea calcular P (28 < X < 3): P (28 < X < 3) = P ((28 30)=2 < (X 30)=2 < (3 30)=2) = = P ( < Z < =2) = (0:5) ( ) = (0:5) ( ()) = = 0:695 ( 0:843) = 0:

7 En general, para calcular probabilidades correspondientes a una X con distribución N(; 2 ); se la lleva al caso N(0; ), trabajando con Z = (X )=: Su función de distribución es entonces F (x) = P (X x) = P y por lo tanto, si a < b : P (a X b) = F (b) Z x b F (a) = x = a ; : De aquí se puede ver que para cualquier variable aleatoria X con distribución normal, la probabilidad de que X esté dentro de desvío estándar de su media es: P ( < X < + ) = () ( ) = 0:6826 P ( 2 < X < + 2) = (2) ( 2) = 0:9544 y P ( 3 < X < + 3) = (3) ( 3) = 0:9974 Usando (5), se prueba que los cuantiles de una variable X con distribución N(; 2 ) cumplen x() = + z(); (6) donde z() son los cuantiles de N(0; ): En particular, la mediana de una X s N(; 2 ) es med(x) = x(0:5) = Ejemplo 5.5 Calcularemos los cuantiles de 0.80 y de 0.20 de una variable normal X con media 5 y desviación 2. De la tabla: (0:84) = 0:7995 y (0:85) = 0:8023: Interpolando resulta aproximadamente z(0:8) = 0:843; y por lo tanto x(0:8) = :843 = 6:686: Para el otro cuantil, usamos z(0:2) = z(0:8) y por lo tanto x(0:8) = 5 2 0:843 = 3:34: Realice los ejercicios de 0 a 4 Realice el resto de los ejercicios 33

8 Práctica 3. Sea X una variable aleatoria con densidad dada por: c(2 x) si 0 x 2 0 en caso contrario (a) Determinar el valor de c y gra car f(x) (b) Obtener y gra car F (x) (c) Calcular P ( X 2) (d) Calcule E(X) y V (X) (e) Sea Y = 2X + 3, cuál es la E(Y )? (f) Calcular el 80-percentil. (el cuantil-0:80) 2. Sea X una variable aleatoria con densidad dada por: kx3 si 0 x 0 en caso contrario (a) Hallar la constante k, y gra car (b) Calcular la función de distribución F (x) y gra car. (c) Usando la F (x), calcular P (0:5 < X < 0:75) (d) Calcular E(X) y V (X) (e) Calcular la mediana. (f) Sea Y = =X, calcular E(Y ) 3. El tiempo de vida, en horas, de cierto tipo de tubo de radio es una variable aleatoria que tiene función de densidad dada por 0 si x 00 00=x 2 si x > 00 (a) Veri car que ésta es una función de densidad. (b) Calcular la probabilidad de que uno de esos tubos deba ser reemplazado antes de las 50 horas de operación (c) Puede calcular la media del tiempo de vida de estos tubos? 34

9 (d) Puede calcular la mediana del tiempo de vida de estos tubos? (e) Determinar el valor tal que el tiempo de vida del 90% de los tubos de radio de ese tipo sea inferior a ese valor (el 90-percentil) 4. Sea X la temperatura a que tiene lugar cierta reacción química, y sea su densidad: (4 9 x2 ) si x 2 0 en otro caso (a) Gra car f(x) (b) Hallar la función de distribución y gra carla (c) Es 0 la temperatura mediana a que se realiza la reacción química?. Si no es así, la temperatura mediana es menor o mayor que 0? (d) Suponga que esta reacción química se realiza en 0 laboratorios en forma independiente, y que la función de densidad de la temperatura de reacción es la misma en cada laboratorio. Sea Y el número entre estos 0 laboratorios en los que la temperatura de la reacción es superior a. Qué distribución tiene esta variable aleatoria? 5. Para ciertas muestras de minerales, la proporción de impurezas por muestra es una variable aleatoria Y, con densidad dada por: f(y) = (3=2)y2 + y si 0 y 0 en caso contrario El valor de cada muestra es U = 5 0:5Y. Encontrar E(U) y V (U) 6. Suponga que la temperatura de reacción X (en o C) de un cierto proceso químico tiene una distribución uniforme en [70; 95]. Calcular: (a) P (X < 80), (b) P (75 < X < 90) 7. Un artículo sugiere que la profundidad (cm) de la capa de bioturbación del sedimento, puede modelarse como una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (7; 5; 20). (a) Cuáles son la media y la varianza de la profundidad? (b) Cuál es la probabilidad de que la profundidad observada sea a lo sumo 0? Entre 0 y 5? 35

10 (c) Cuál es la probabilidad de que la profundidad observada esté dentro de desvío estándar del valor medio? 8. La duración de cada operación que realiza cierta máquina puede representarse mediante una v.a. uniforme de media 0 segundos y varianza 3 seg2. Cuántos segundos tarda como mínimo, el 75% de las veces? 9. Supongamos que el tiempo de funcionamiento de una lámpara está exponencialmente distribuida con media 0. Supongamos que una persona entra en una habitación donde hay una lámpara encendida. (a) Cuál es la probabilidad de que la lámpara dure menos de 6 horas? (b) Cuál es la probabilidad de que no se funda la bombilla si la persona desea trabajar 5 horas? (c) Cuál es la probabilidad de que dure entre 4 y 8 horas? 0. Sea X el tiempo (en minutos) entre dos llegadas sucesivas a un servicio de emergencias. Si X tiene distribución exponencial con = 0; 25. Calcular: (a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas. (b) La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sea menor de 0 minutos. Cierto médico invierte 5 minutos, por término medio, en atender a un paciente. Sabiendo que la duración de la consulta sigue una distribución exponencial y que atiende durante 2 horas, cuál es el número máximo de pacientes que podrá atender con probabilidad 0; 90? 2. La variable Y tiene distribución normal típica. Calcular las probabilidades de (a) Y 2; 23, (b) Y > ; 35, (c) 0; 5 < Y < ; Calcular: (a) la mediana y los cuartiles de una variable con distribución normal tipica (b) Idem, para la distribución N(0; 36) (c) Para esta última, calcular los percentiles del 0% y del 90%. 36

11 4. En determinada población la presión arterial diastólica entre mujeres de 8 a 74 años se encuentra distribuida normalmente con una media de = 77 mmhg y una desviación estándar de = ; 6 mmhg (a) Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga una presión arterial diastólica menor de 60 mmhg? (b) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica mayor de 90 mmhg? (c) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica entre 60 y 90 mmhg? 5. Una fábrica produce tornillos, las especi caciones indican que el diámetro de los mismos debe estar entre ; 9 y ; 2 pulgadas. Si el proceso de producción es tal que el diámetro de los tornillos es una variable aleatoria con distribución normal con media ; 96 y desviación estandar 0; 005: Qué porcentaje de la producción no satisface las especi caciones? 6. Un sistema consta de 5 componentes idénticos conectados en serie. Cuando falla uno de los componentes, falla todo el sistema. Suponga que cada componente tiene una duración que está distribuida exponencialmente con = 0; 0 y que dicha duración es independiente para cada componente. De na A i ={i-ésimo componente dura por lo menos t horas}, i = ; :::; 5 (estos A i son eventos independientes). Sea X = el tiempo en que falla el sistema (esto es la duración más breve entre las cinco componentes) (a) El evento (X t), es equivalente a qué evento donde aparecen las A i? (b) Por medio de la independencia de las A i, calcule P (X t). Luego obtenga F (t) = P (X t) y la densidad de X 7. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) es una varable aleatoria X con densidad dada por: 2( =x2 ) si x 2 0 en caso contraio (a) Calcular la función de distribución. 37

12 (b) Calcular la mediana. (c) Calcular E(X) y V (X) (d) Si al principio de la semana hay 2300 galones en existencia y no se recibe nuevo suministro durante la semana, cuántos galones se espera que queden al terminar la semana? 8. Se ha estudiado el volumen corpuscular medio eritrocitario (VCM) en pacientes con posible diagnóstico de anemia ferropénica como indicador de esta patología, el verdadero diagnóstico se establece con biopsia de médula osea. Para simpli car, suponemos que los valores de VCM en la población siguen ua distribución normal. En una población de pacientes con diagnóstico con rmado de anemia ferropénica se ha estimado = 73 y = 6;. En una población donde se ha descartado ese diagnóstico se ha estimado = 82 y = 5; 9: Si se utilza un valor del VCM inferior a 75, para diagnosticar anemia ferropénica. (a) Cuál es la sensibilidad de este método? Esto es: cuál es probabilidad de diagnosticar correctamente un paciente que tiene anemia ferropénica? Cuál es la probabilidad de un falso positivo? (b) Cuál es la especi cidad? Esto es la probabilidad de clasi car correctamente a un paciente sin anemia ferropénica Cuál es la probabilidad de un falso negativo? (c) Cómo cambiarían esos valores si el valor de corte fuera 80, y si fuera 85? 9. Considere una variable aleatoria X con media y desviación estándar ; y sea g(x) una función de X; esta es una variable aleatoria, buscaremos una forma de aproximar su media y su varianza. La aproximación de la serie de Taylor a g(x) en un entorno de es: g(x) ' g() + g 0 ()(X ) (7) El lado derecho de esta ecuación es una función lineal de X. Si la distribución de X está concentrada en un intervalo sobre el que la función g sea aproximadamente lineal, entonces (7) puede usarse para aproximar los valores de E(g(X)) y V (g(x)) (a) Encuentre las expresiones para estas aproximaciones. 38

13 (b) Si el voltaje v en un medio es jo, pero la corriente I es aleatoria, entonces la resistencia (R = v=i) también será aleatoria. Si I = 20 y I = 0:5, calcule los valores aproximados de R y R. (c) La absorbancia a de una solución es el el negativo del logaritmo (decimal) de su transmitancia t, a = log t: Se tiene una medición de t con error, representada por una variable aleatoria X con media t y desviación ; de modo que la absorvancia también es una variable aleatoria representada por Y = log X. Si t = 0:50 y = 0:00; calcular la desviación estándar de Y (el error en la medición de la absorvancia) 39

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