Relación de Problemas. Tema 6

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Marina Farías Fidalgo
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1 Relación de Problemas. Tema 6 1. En una urna hay 5 bolas blancas y 2 negras y se sacan tres bolas sin reemplazamiento. a) Calcular la distribución conjunta del número de bolas blancas y negras de entre las que se sacaron. b) Calcular la distribución marginal de número de bolas blancas de entre las que se sacaron. 2. Calcular la función de densidad conjunta y las marginales correspondientes a la siguiente función de distribución conjunta, F (x, y) = (1 e αx )(1 e βy ), x 0, y 0, α > 0, β > Dada la siguiente función de densidad conjunta { 6 7 (x + y)2 0 x 1, 0 x 1 a) Calcular, integrando en la región apropiada,: Pr(X > Y ), Pr(X + Y 1) y Pr(X 1/2). b) Calcular las dos distribuciones marginales. 4. Un vector aleatorio (X, Y ) está distribuido uniformemente en el cuadrado de vértices (1,1), (1,-1), (-1,1) y (-1,-1), es decir, la función de densidad conjunta es: { 1/4 1 x 1, 1 y 1 Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) X 2 + Y 2 < 1 b) 2X Y > 0 c) X + Y < 2 5. El tiempo total (en horas) que permanece un cliente en un determinado restaurante se divide en: Y 1 =tiempo de espera hasta que se sirve el primer plato Y 2 = tiempo desde ese momento hasta que el cliente sale del restaurante ( es decir, tiempo de comer y pagar). Las variables aleatorias Y 1 e Y 2 tienen distribución conjunta dada por: { e y 1 y 2 0 y f(y 1, y 2 ) = 1, y 2 <

Calcular la función de densidad conjunta y las marginales correspondientes a la siguiente función de distribución conjunta, F (x, y) = (1 e αx )(1 e βy ), x 0, y 0, α > 0, β > 0. 3.

2 Calcular: a) La probabilidad de que el cliente pase más de una hora en el restaurante. b) Las distribuciones marginales de Y 1 e Y 2. c) La probabilidad de que un cliente tarde en ser servido más de una hora. 6. La cantidad en miligramos de dos componentes contenidos en un producto es una variable aleatoria bidimensional, cuya función de densidad viene dada por { 4xy 0 x, y < 1 Calcular la probabilidad de que la cantidad del primer componente sea menor que 0.3 miligramos cuando la del segundo es 0.8 miligramos. 7. El tiempo total que un camión permanece en una estación de descarga está definido por la variable aleatoria X, siendo Y la variable aleatoria que representa el tiempo de espera en la cola y Z el tiempo de descarga (X = Y +Z). Sabiendo que la distribución conjunta de X e Y es { (1/4)e x/2 0 y x < a). Calcular el tiempo medio total que permanece el camión en la estación. b). Calcular el tiempo medio que dura la descarga. c). Calcular el coeficiente de correlación entre el tiempo total y el tiempo de espera en la cola. 8. La variable aleatoria bivariante (X, Y ) está definida en el rectángulo OBCD. O = (0, 0) B = (1, 0) C = (1, 2) D = (0, 2). con función de densidad ky 2. a). Determinar el valor de k. b). Calcular las densidades marginales. c). Calcular las densidades condicionadas f(x y), f(y x). d). Son X e Y independientes?. e). Calcular Pr(Y 2X < 0). 9. Sean X e Y dos variables aleatorias con varianzas V ar(x)=2 y V ar(y )=4 y covarianza Cov(X, Y )=-2. Hallar la varianza de la variable aleatoria Z = 3X 4Y Dada la variable aleatoria bidimensional (X, Y ), cuya función de densidad es 24y(1 x y). en el triángulo limitado por los ejes y la recta x + y = 1, y cero en otro caso. Hallar el valor de E[Y X].

La cantidad en miligramos de dos componentes contenidos en un producto es una variable aleatoria bidimensional, cuya función de densidad viene dada por { 4xy 0 x, y < 1 Calcular la probabilidad de

3 11. En una fundición se controla la temperatura (X) y la presión (Y ) del interior de un horno. Cuando el horno está en funcionamiento, ambas variables se distribuyen de acuerdo a la siguiente densidad de probabilidad { cx 2 y 3 x > 50, y > 10 a) Encontrar c para que f(x, y) sea función de densidad. b) Hallar la función de densidad marginal de la temperatura. c) Calcular P r(x > 100, Y > 10). 12. Dada la siguiente función de densidad: { k para x e y en el recinto A a) Determinar k para que f(x, y) sea función de densidad. b) Hallar la función marginal de Y. 2 1 Recinto A Cada rueda delantera de una determinada marca de coche es supuestamente llenada a una presión de 2.6 psi (pounds per square inch). Supongamos que la presión real de la rueda derecha e izquierda son variables aleatorias X e Y respectivamente y su función de densidad conjunta está dada por, { K(x 2 + y 2 ) 2 x 3 2 y 3 Calcular: a) El valor de K

densidad. b) Hallar la función de densidad marginal de la temperatura. c) Calcular P r(x > 100, Y > 10). 12.

4 b) La probabilidad de que la presión en la rueda derecha sea mayor que en la izquierda 14. Un equipo de radio tiene dos partes, el receptor y el amplificador. LA duración del receptor es una v.a. exponencial de media 500 días, y la duración del amplificador, una v.a. exponencial de media 1000 días. Cuál es la probabilidad de que el fallo del equipo (cuando se produzca) sea debido a un fallo del receptor? (se supone que las variables son independientes). 15. El rendimiento de un procesador, Y, depende principalmente de 4 de sus componentes, X 1, X 2, X 3 y X 4, del modo siguiente: donde, Y = 2X 1 X X 3 3X 4 X 1 N(µ X1, σ 2 ) X 2 N(µ X2, σ 2 /2) X 3 N(µ X3, 2σ 2 ) X 4 N(µ X4, σ 2 /3) Si los componentes funcionan de forma independiente, a) Calcular el valor medio del rendimiento µ Y = E[Y ], y su varianza σ 2 Y = V ar[y ] b) se dice que el rendimiento del procesador es deficiente si baja de un límite L. Calcular la probabilidad de que el procesador sea deficiente si se tiene que, y además, σ = 1 y L = 2. µ X1 = 10 µ X2 = 12 µ X3 = 4 µ X4 = (Feb. 03) La v.a. bivariante (X, Y ) tiene función de densidad conjunta: { 1.5x 0 y 2x 2 Calcula: a) P r(y > X Y < 1) b) E[ X Y = 1.5] c) E[XY ] 17. Una compañía fabrica miras telescópicas cuya desviación del objetivo en mms se mide a través de dos VAs (X, Y ) con distribución ( ) ( ( )) X N Y 0, que indican las dos coordenadas en el plano (y el objetivo es el punto (0,0)). El ejército considera rechazable cualquier mira que no pasa la siguiente prueba: se efectúan tres disparos independientes y si alguno se desvía del objetivo en valor absoluto en más de 1mm en cualquiera de las dos coordenadas, se considera que es una mira defectuosa.

El rendimiento de un procesador, Y, depende principalmente de 4 de sus componentes, X 1, X 2, X 3 y X 4, del modo siguiente: donde, Y = 2X 1 X 2 + 1 2 X 3 3X 4 X 1 N(µ X1, σ 2 ) X 2 N(µ X2, σ 2 /2) X

5 a) Calcula la probabilidad de que el ejército considere defectuosa una mira. b) El proveedor vende al ejército cajas de 20 miras. El ejército considera rechazable cualquier caja con más de dos miras defectuosas. Calcula la probabilidad de que el ejército considere defectuosa una caja. 18. (Feb. 04) Una mancha de fuel debida a un vertido se encuentra en la situación mostrada en la figura. El avance diario de la mancha en dirección Este viene caracterizado por una Normal con media 20 km y desviación típica 5 km, mientras que el avance diario en dirección Sur viene caracterizado por una Normal con media 26 km y desviación típica 10 km. Zona de emergencia Costa B Este Costa B 150 Sur Costa A Zona de emergencia Costa A a) Cuál es la probabilidad de que al cabo de tres días la mancha haya alcanzado la costa A? Si tomamos la v.a. bidimensional normal formada por los avances en ambas direcciones y con coeficiente de correlación ρ, b) Considerando ρ = 0, cuál es la probabilidad de que en un día la mancha haya llegado a la zona de emergencia de las dos costas?. c) Considerando ρ = 0.25, cuál es la probabilidad de que en un día la mancha esté más cerca de la costa A que de la costa B? 19. (Sep 03) Sea (X, Y ) una v.a. bidimensional con función de densidad conjunta: { ke y si 0 < x < y a) Calcular el valor de k b) Son X e Y independientes? c) Son X y Z = Y X independientes? d) Calcular la esperanza de las v.a. X + Y, X + Z, Y.Z, X.Z

04) Una mancha de fuel debida a un vertido se encuentra en la situación mostrada en la figura.

6 20. Sea la v.a. (X, Y ) con función de densidad { k(1 + xy) si 1 < x < 1, 1 < y < 1 Calcular a) El valor de k b) Las funciones de densidad marginales c) Son las variables X e Y independientes? d) Las funciones de densidad condicionadas e) P r(y > X 2 ) 21. (Feb. 05) Se elige un punto X al azar en el intervalo (0, 1). Supuesto que X = x, Y es una variable aleatoria exponencial de media 1, cuya densidad viene definida por x { xe xy si y > 0 f Y X (y x) = 0 otro caso Calcular: a) La función de densidad conjunta del vector aleatorio (X, Y ). b) La densidad marginal de Y y la esperanza de Y sabiendo que X = x. c) La probabilidad condicionada P ( Y > 1 X < 1 2). 22. (Sep. 05) sean X, Y dos variables aleatorias continuas, uniformemente distribuidas en el triangulo OAB con O = (0, 0) A = (1, 0) B = (0, 1) Sea f la funcion de densidad conjunta de X e Y definida por k si (x, y) OAB f (x, y) = 0 si no a) Calcular k. para que f sea funcin de densidad. b) Calcular las densidades marginales de X e Y. c) Calcular las densidades condicionales de X Y y de Y X. d) Son X e Y independientes? e) Calcular Pr(X + Y < 0.5)

Supuesto que X = x, Y es una variable aleatoria exponencial de media 1, cuya densidad viene definida por x { xe xy si y > 0 f Y X (y x) = 0 otro caso Calcular: a) La función de densidad conjunta del

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