Departamento de Matemática Aplicada a las T.I.C.

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César Vázquez Chávez
hace 5 años
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1 Departamento de Matemática Aplicada a las T.I.C. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS PRIMERA PRUEBA (Otoño 2015 Duración: 1 hora y 45 min. FECHA: 26 de Octubre de 2015 APELLIDOS: NOMBRE: DNI: TITULACIÓN: Ejercicio 1 (1,5 puntos Tres amigos A, B y C juegan a un juego de dardos. Cada uno de ellos lanza un dardo de forma independiente. Las probabilidades de dar en la diana central son 0.3 para A, 0.2 para B y 0.1 para C. 1. Calcula la probabilidad de que solamente uno de los tres dé en el centro. Sean los sucesos A, B y C los sucesos da en la diana el jugador A, B y C, respectivamente. El suceso solo hace diana el jugador A, J A, se puede expresar como J A A B C, análogamente solo hace diana el jugador B y solo hace diana el jugador C, se expresan J B Ā B C y J C Ā B C, respectivamente. Los sucesos J A, J B y J C son incompatibles entre si, ya que J A J B [A B C] [Ā B C] A Ā, y de forma análoga J A J C J B J C. El suceso que solamente uno de los tres dé en el centro, S, es S J A J B J C. Entonces, por ser J A, J B y J C incompatibles entre si P (S P (J A J B J C P (J A + P (J B + P (J C Por ser los sucesos A, B y C independientes entre sí, P (J A P (A P ( B P ( C. Otra forma sería, P (J A P (A B C P (A B C P (A \ (B C P (A P (A (B C P (A P ((A B (A C P (A P (A B P (A C + P (A B C Análogamente se calculan P (J B y P (J C. Por tanto, P (S P (J A J B J C P (J A +P (J B +P (J C Sabiendo que solamente uno de ellos ha hecho diana, calcula la probabilidad de que haya sido el jugador B. Sabiendo que ha ocurrido S, la probabilidad de haya ocurrido B es P (B/S Pero, B S B [J A J B J C ] (B J A (B J B (B J C P (B S. P (S (A B B C (Ā B B C (Ā B B C (Ā B C J B por contener algunas intersecciones B B que es el conjunto vacío. Por tanto, y utilizando otra vez que A, B y C son independientes entre sí, P (B/S P (B S P (S P (J B P (S P (Ā P (B P ( C

2 Ejercicio 2 (1,5 puntos En una determinada ciudad se ha cometido un asesinato. De la investigación se encarga un detective, que tiene 5 sospechosos entre los que se encuentra el asesino. El detective sospecha igualmente de los cinco individuos. Se sabe que el detective trabaja con un pequeño margen de error, de forma que la probabilidad de creer inocente al verdadero asesino es de 0.05 y la probabilidad de creer culpable a una persona inocente es de Si el detective cree que una persona es culpable, cuál es la probabilidad de que esa persona sea el asesino? Se definen los siguientes sucesos: A ser asesino, I ser enjuiciado inocente y C ser enjuiciado culpable Hay un asesino de entre 5 sospechosos, por tanto, la probabilidad de que una persona elegida al azar sea el asesino es P (A 1/5 y de que una persona elegida al azar sea inocente es P (Ā 4/5. La probabilidad de creer inocente al verdadero asesino, es la probabilidad de ser enjuiciado inocente condicionada a que es el asesino, es decir, P (I/A Además, se sabe que P (C/A 1 P (I/A 0.95 La probabilidad de creer culpable a una persona inocente, es la probabilidad de ser enjuiciado culpable condicionada a que no es el asesino, es decir, P (C/Ā Se pide la probabilidad de que una persona que sea el asesino haya sido enjuiciada culpable, es decir, la probabilidad de que una persona sea el asesino condicionada a que ha sido enjuiciada culpable. Por tanto, la probabilidad requerida es P (A/C, para calcular dicha probabilidad se recurre al teorema de Bayes, P (A/C P (C/AP (A P (C/AP (A + P (C/ĀP (Ā

3 Ejercicio 3 (1,5 puntos Disponemos de una urna conteniendo 20 bolas de cinco colores, blanco, negro, rojo, azul y verde, con cuatro bolas de cada color. Se eligen al azar cuatro bolas simultáneamente. 1. Calcula la probabilidad de obtener tres bolas blancas y una negra. El orden no es relevante y no puede haber bolas repetidas en cada agrupación, por lo que el número de agrupaciones posibles de 4 bolas viene dado por C 20, 4 ( Sea A el suceso obtener tres bolas blancas y una negra. Se obtiene A cuando se eligen 3 bolas de entre las 4 blancas y 1 bola de entre las 4 negras. A puede ocurrir de C 4, 3 4 formas. Como todos los resultados del experimento son igualmente probables, podemos aplicar la regla de Laplace, por tanto, P (A No de casos favorables a A N o de casos posibles ( ( , Calcula la probabilidad de obtener exactamente tres bolas del mismo color. Sea T el suceso obtener exactamente tres bolas del mismo color. Se obtiene T cuando se elige uno de los cinco colores, se eligen 3 de las 4 bolas del color seleccionado, y se elige 1 bola de entre las 16 que no son de ese color. T puede ocurrir de 5 C 4, 3 16 formas. Por tanto, P (T No de casos favorables a T N o de casos posibles 5 C 4, ( ( C 20 20, ,

4 Ejercicio 4 (2 puntos Sea X la variable aleatoria que mide la duración, en horas, de ciertos componentes que funcionan independientemente. Si la duración media de cada componente es de 1000 horas y suponemos que X sigue un modelo exponencial, 1. Calcula la proporción de componentes que duran al menos 800 horas. X Exp(λ Sabemos que E(X 1/λ 1000 λ 1/1000 Así pues, la función de densidad de X vendrá dada por f X (x { e x/ < x < 0 en otro caso P (X f X (x dx e x/1000 dx e x/ Aproximadamente, el 45 % de los componentes dura, al menos, 800 horas. 800 e 4/ Calcula la probabilidad de que, entre 7 componentes elegidos al azar, haya al menos 2 que duren por lo menos 800 horas. Sea Y la variable aleatoria número de componentes, de entre los 7, que duran por lo menos 800 horas. P (Y i Y Bin(n 7, p 0.45 ( i ( i, i 0, 1, 2,... 7 i P (Y 2 1 P (Y < 2 1 [P (Y 0 + P (Y 1] [( ( ] [ ] Se inspeccionan componentes secuencialmente, calcula la probabilidad de que el cuarto componente que dure por lo menos 800 horas sea el décimo que se inspecciona. Sea Z la variable aleatoria número de componentes que hay que inspeccionar para encontrar el cuarto componente que dura al menos 800 horas. Z BN(r 4, p 0.45 ( i 1 P (Z i ( i 4, i 4, 5, 6,... 3 P (Z 10 (

5 Ejercicio 5 (2 puntos Se elige un punto al azar en el intervalo ( 3, 3. Sea X la variable aleatoria continua que representa la abscisa del punto. Sabemos que X tiene una distribución uniforme en el intervalo ( 3, Sea λ un número real tal que 0 < λ < 1. Calcula P ( 3λ < X < 3λ, en función de λ. f(x { 1/6 si 3 < x < 3 0 en otro caso P ( 3λ < X < 3λ 6λ 1 6 λ. 2. Calcula la probabilidad de que la distancia del punto elegido al punto de abscisa 3 sea mayor que 1 si sabemos que su abscisa es positiva. P (3 X > 1/X > 0 P (X < 2/X > 0 P (0 < X < 2 P (X > 0 2/6 1/2 2/3. 3. Utiliza la desigualdad de Tchebyshev para encontrar una cota, en términos de λ, para la probabilidad del primer apartado. P ( kσ X µ kσ 1 1 k 2 E(X 0, V ar(x 36/12 3 P ( k 3 X k k 2 k 3 3λ k 3λ Luego P ( 3λ < X < 3λ 1 1 3λ 2 5

6 Ejercicio 6 (1,5 puntos Una gestoría tramita pólizas de seguro de forma independiente. El tiempo de tramitación de una póliza sigue una distribución Normal con media 30 minutos y desviación típica 2 minutos. 1. Determina el tiempo máximo de tramitación del 90 % de las pólizas. Se define la variable aleatoria X como tiempo que se tarda en tramitar una póliza, la cual sigue una distribución X N(30, 2. El tiempo que no será superado en el 90 % de las ocasiones coindice con el cuantil 0.9, es decir F X (q P (X q 0.9 Como F Z (q (consultando en las tablas q , entonces: 1.28 q q Se analizan sucesivamente pólizas al azar. Cuál es el número medio de pólizas que tendremos que inspeccionar para encontrarnos con la primera cuyo trámite dure más de 35 minutos? Sea N la variable aleatoria N o de pólizas inspeccionadas hasta encontrarnos la primera cuyo trámite dure más de 35 minutos. Esta es una v.a. geométrica de parámetro p, siendo p la probabilidad de que una póliza tarde en tramitarse más de 35 minutos, N Ge(p. p P (X > 35 P (Z X 30 2 > P (Z > F Z ( Finalmente, el valor esperado viene dado por E[N] pólizas tramitadas. p

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