Universidad Nacional de La Plata

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1 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Agrarias y Forestales CÁLCULO ESTADÍSTICO STICO Y BIOMETRÍA CONTENIDOS UNIDAD 3: Introducción al Cálculo de Probabilidades. Experimento aleatorio. Espacio muestral. Eventos. Definiciones de probabilidad: clásica, frecuencial y axiomática. Propiedades deducidas de la función de probabilidad. Regla aditiva. Probabilidad condicional. Regla multiplicativa. Independencia de eventos. Arboles de probabilidad. Teorema de Bayes.

2 DEFINICIONES Experimento aleatorio: es un experimento que arroja dos o más resultados imprevisibles. Cada uno de ellos se llama suceso aleatorio o punto muestral Espacio muestral: conjunto de resultados que se puede obtener de un experimento aleatorio. Se indica generalmente con Ω Evento: todo subconjunto de Ω Conjunto de partes P Ω : conjunto de todos los subconjuntos posible de Ω ( # Ω ) Tipos de Eventos: Eventos excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir simultaneamente, si ocure uno no puede ocurrir el otros. Se dice que son disjuntos. Eventos exhaustivos: su unión forma Ω Evento complementario: complemento de A es A c tal que A c Ω -A Son excluyentes y exhaustivos Algebra de Eventos: Ocurre A y B A B Ocurre A o B A B No ocurre A A c

3 PROBABILIDAD Definición clásica: Sea un experimento aleatorio con n resultados expresados en Ω todos igualmente posibles y sea A un evento formado por k elementos de Ω entonces: # A k P(A) # Ω n casos favorables casos posibles Obviamente P(φ) 0 y P(Ω) Problemas : definición sólo aplicable a espacios equiprobables Definición frecuencial: Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω y A un evento asociado a él. Si f A (n) es la frecuencia absoluta con que aparece A cuando el experimento se repite n veces, entonces: P(A) lim n f A ( n ) n Es decir, es la frecuencia relativa de A cuando experimento se repite infinitas veces el 3

4 Definición axiomática: Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral Ω, la probabilidad es una función P(.) que aplica los elementos del conjunto de partes P Ω sobre los número reales tal que: -P(A) 0 A P Ω -P(Ω) -P(A B) P(A) + P(B) si y sólo si son excluyentes P(A B) 0 Propiedades deducidas: -P(φ) 0-0 P(A) - P(A) - P(A c ) -P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) P Ω Ω A c A φ -p p R - Si A incluído en B P(A) P(B) 0 Probabilidad condicional: Definimos probabilidad de A dado B o probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B a: P(A/B) P(A B) P(B) B pasa a ser espacio referencial y sólo los elementos de A que también están en B pueden ocurrir. Regla multiplicativa: como P(A B) P(A/B) P(B) y P(B/A) P(A B) P(A) Entonces: P(A B) P(A/B). P(B) P(A B) P(B/A). P(A) 4

5 Eventos independientes: dos eventos son independientes si y solo si P(A) P(A/B), es decir, la ocurrencia o no de uno de ellos no afecta la probabilidad del otro. Eventos excluyentes son o no independientes? Arboles de probabilidades: cuando un experimento es la repetición de sucesivas experiencias simples, es útil representar secuencialmente los resultados posibles en un árbol de probabilidades, donde cada rama indica el resultado obtenido en cada uno de los pasos, así como la probabilidad del suceso. Por ejemplo se extraen 3 bolillas de una urna que contiene 6 bolillas negras y 4 blancas, el árbol correspondiente resulta: 5

6 Análisis Combinatorio Herramienta de la Matemática que nos permite en ciertas ocaciones conocer el número de sucesos posibles de un experimento (cardinal del espacio muestral o # Ω) Permutaciones : es el conjunto de arreglos de r elementos que se pueden formar de un total de n elementos donde el orden de estos elementos es importante, es decir, dos arreglos son diferentes si el orden de los elementos es distinto. n r P n r P n r n! (n - r)! Con reposición Sin reposición Combinaciones: es el conjunto de arreglos de r elementos que se pueden formar de un total de n elementos sin reposición y donde el orden de lo elementos no es importante, es decir dos arreglos con los mismos elementos pero en distitnto orden son considerados iguales. n C n r r n! (n - r)! r! Ejemplo: si tenemos un grupo de 4 novillos: un Hereford (E), un Charolais ( C), un Holando (H) y un Abeerden Angus (A) y se extraen dos novillos al azar decir cantidad de arreglos o grupos en los siguientes casos: - Con reposición y donde importa el orden - Sin reposición y donde importa el orden - Sin reposición y donde no importa el orden 6

7 CONTENIDOS UNIDAD 4: Distribuciones de Probabilidad. Variable aleatoria. Caso continuo y discreto. Modelos de probabilidad. Función de cuantía y de densidad. Función de probabilidad acumulada. Parámetros característicos de un modelo de probabilidad: esperanza y varianza de una variable aleatoria. Propiedades. Modelos usuales de probabilidad: geométrico, binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Estándar y Normal Generalizado. Otros modelos teóricos: Chi-Cuadrado, t-student y F- Snedecor. Generación de datos aleatorios pertenecientes a distribuciones dadas utilizando software estadístico. Variable aleatoria Dado un espacio muestral Ω asociado a un experimento aleatorio, se define como V.A. a toda función que aplica Ω sobre los reale. Es asociarle un número a cada resultado de un experimento aleatorios. Ejemplo Ejemplo Experimento aleatorio Espacio muestral Tirar dos dados {(,); (,); (,3);... ; (6,6)} Extaer 4 frutos clasificándolos en sano/enfermo {(S,S,S,S); (S,S,S,E); (S,S,E,S);... ; (E,E,E,E)} Variable aleatoria Suma de puntos Nro. de frutos enfermos Recorrido V.A. {,3,4,5,6,7,8,9,0,,} {0,,,3,4} 7

8 Asignarle un probabilidad a cada valor del recorrido de una V.A. es encontrar la de distribución de probabilidad de esa V.A. Ω (6,6) (6,5). (,). (,3) (,) (,) R R 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 V.A. P(.) p: función de cuantía Distribución de probabilidad Distribución de frecuencia p i 9% 7% 4% 5/36 6/36 5/36 Representaciones gráficas Probabilidad % 8% 3/36 4/36 4/36 3/36 Parámetros de la distribución 6% 3% /36 /36 /36 /36 - Esperanza - Variancia 0% X x i i p i 8

9 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS Distribución de probabilidad acumulada: Propiedades: F ( ) 0 X P( x ) X x 0 lim F ( X ) X lim F ( X ) X + 0 Es no decreciente P(x < X < x ) F(x ) - F(x ) Media teórica o Esperanza: E( X ) µ X x R x x p( x ) Variancia: V( X ) [ ] [ ] x p( x ) µ σ X E ( x µ ) E[X ] E(X) x R x Propiedades: E(a+b.X) a + b.e(x) V(a+b.X) b.v(x) E(X+Y) E(X) +E(Y) V(X+Y) V(X) + V(Y) + COV(X,Y) V(X-Y) V(X) + V(Y) + COV(X,Y) 9

10 ) Distribución Binomial: sea un experimento aleatorio que consiste en n ensayos repetidos con probabilidad constante donde cada prueba es un exp. dicotómico o Bernoulli (admite dos resultados) con V.A. asociada X : Nro. de éxitos en las n repeticiones, entonces: R X {0,,, 3,..., n} X Bi(n;p) n x x n x P( X x) p ( p) con p : prob. de éxito n x ( n n! x)! x! Ej: en un monte frutal 0% de los árboles están enfermos. Si vamos a elegir una muestra de 5 árboles queremos estudiar como será la V.A. nro. árboles enfermos en la muestra E(X) n. p V(X) n. p. (-p) 45% 35% 40% 40,96% 30% 3,5% 3,5% 35% 30% 3,77% Bi(5;0.) 5% Bi(5;0.5) Probabilidad 5% 0% 0,48% Probabilidad 0% 5% 5,6% 5,6% 5% 0% 0% 5% 5,% 5% 3,3% 3,3% 0% 0,64% 0,03% X 0% X 70% 70% 60% 59,06% 60% 59,06% 50% Bi(5;0.) 50% Bi(5;0.9) Probabilidad 40% 30% 3,80% Porcentaje 40% 30% 3,80% 0% 0% 0% 7,9% 0% 7,9% 0% 0,8% 0,04% 0,00% X 0% 0,00% 0,04% 0,8% X 0

11 ) Distribución Poison: se puede presentar como una forma límite de la distribución Binomial en situaciones donde p es pequeño (p 0) y n muy grande o incluso imposible de determinar (n ). R X {0,,, 3,...} X P (λ) con λ n.p Su función de cuantá es: P( X x ) e λ x λ x! E(X) V(X) λ n 30 o 50 p 0,0 o 0,05 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS m5 m0 m0 m50 m00 m00

12 Función de densidad f(x) -f(x) 0 x R x - + f ( x ) dx - P(x < X < x ) x x f ( x ) dx Esperanza: + E( X ) x f ( x ) dx Variancia: V( X ) + [ E( X ] x f ( x ) dx ) Distribución acumulada F(x) x F( x ) 0 ) f ( x 0 dx ) Distribución Uniforme: R X [a;b] X U(a;b) f(x) b a si a < X < b 0 en otro caso f(x) E( X ) a + b V( X ) ( b - a) a b X

13 ) Distribución Exponencial: R X [0;+ ] X Exp(λ) f(x) λ. e- λ para x 0 E(X) / λ V(X) / λ λ f(x) X 3) Normal Stándar: R Z [- ;+ ] Z N(0,) f ( z ) π e z 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 f(z) 0,0 0,5 0,0 0,05 0, Z 3

14 Características: Simetrica respecto a Y Asintótica con eje X cuando x ± Máximo en X0 Dos puntos de inflexión en X ± Area bajo la curva E(Z) 0 V(Z) 0,45 0,40 0,35 0,30 f(z) 0,5 0,0 0,5 0,0 68% 95% 99,7% 0,05 0, Z F( z ) z φ( z ) π e z dz,,0 0,8 F(z) 0,6 0,4 0, 0, Z z ( z Z < z ) e dz φ( z ) φ( z ) P < z π z 4

15 z z P(Z<) z z 0 P(Z<) P(Z<,06) P(Z<,3)

16 z z 0 P(Z<) P(Z<,06) P(Z<,3) P(Z<-)??? -P(Z<) z

17 z P(-,5<Z<0,8) 4) Normal Generalizada: sea una V.A. X combinación lineal de la normal estándar Z tal que X a + b. Z, se dice que X es una variable que tiene distribución normal generalizada con E(X) a y V(X) b Entonce una combinación lineal de Z puede escribirse como: X µ x + σ x Z R x [- ;+ ] X N(µ, σ ) 0, 0,0 0,8 0,6 f(x) 0,4 0, 0,0 F ( x ) π σ e x µ σ 0,08 0,06 0,04 0,0 0, X 7

18 P( X < x ) 0 P Z < x 0 µ σ x x Ej: si x N(0,4) calcular P(7<X<) OTRAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS TEORICAS: 5) Chi-cuadrado: suma de n variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribución N(0,), elevadas al cuadrado. z + z + z z n χ (n) 6) t-student: cociente entre una variable N(0,) y raíz de otra con χ (n ) dividida por n, es decir, si Z N(0,) y V χ (n ) y ambas son independientes entonces: Z V n t(n ) 8

19 7) F-Snedecor: cociente de dos varaibles con χ dividadias por sus respectivos n. Si U y V son dos variables aleatorias independientes con distribución chi-cuadrado con n y n, entonces: W ( n) V ( n ) F(n ;n ) 9