Fórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática

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1 DEPARTAMENT D ESTADÍSTICA I INVESTIGACIÓ OPERATIVA Fórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática A. Distribuciones de variables aleatorias. 1. Descripción de una distribución univariante. a) Función de distribución: F (x) = P (X x), x R. Cumple: Es no decreciente, continua por la derecha, lím x F (x) = 0 y lím x + F (x) = 1. b) Caso discreto: Función de probabilidad. f(x) = P (X = x), x R. Debe cumplir: f(x) 0 x R, y i f(x i) = 1. c) Caso absolutamente continuo: Función de densidad. f(x) tal que P (X A) = f(x)dx para todo A subconjunto de Borel de R. A Debe cumplir: f(x) 0 x R, y + f(x)dx = Descripción de distribuciones bivariantes. a) Función de distribución conjunta. F (x, y) = P (X x, Y y) (x, y) R 2. Marginales: F X (x) = lím y F (x, y), y F Y (y) = lím x F (x, y). Independencia: X e Y son independientes si y sólo si F (x, y) = F X (x)f Y (y) (x, y) R 2. b) Caso discreto: Función de probabilidad conjunta. f(x, y) = P (X = x, Y = y). Debe cumplir: f(x, y) 0 (x, y) R 2, y i,j f(x i, y j ) = 1. Marginales: f X (x) = j f(x, y j), y f Y (y) = i f(x i, y). Condicionales: Para cada y tal que f Y (y) > 0, se puede definir f X Y =y (x) = f(x,y) f Y (y) x R. Para cada x tal que f X (x) > 0, se puede definir f Y X=x (y) = f(y,x) f X (x) y R. Independencia: X e Y son independientes si y sólo si f(x, y) = f X (x)f Y (y) (x, y) R 2. c) Caso absolutamente continuo: Función de densidad conjunta. f(x, y) tal que P ((X, Y ) A) = f(x, y)dxdy. A Debe cumplir: f(x, y) 0 (x, y) R 2, y + + f(x, y)dxdy = 1. Marginales: f X (x) = + f(x, y)dy, y f Y (y) = + f(x, y)dx. Condicionales: Para cada y tal que f Y (y) > 0, se puede definir f X Y =y (x) = f(x,y) f Y (y) x R. Para cada x tal que f X (x) > 0, se puede definir f Y X=x (y) = f(y,x) f X (x) y R. Independencia: X e Y son independientes si y sólo si f(x, y) = f X (x)f Y (y) (x, y) R 2.

2 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Distribución de una función de variables aleatorias. a) Caso univariante: Sea X v.a. absolutamente continua con función de densidad f X ( ), y sea S su soporte; esto es, P (X S) = 1. Sea Y = r(x) y sea T = r(s) = {y R : x S con y = r(x)}, siendo r una función de S en T biyectiva. Sea x = s(y) la función inversa de r( ). Entonces: f X (s(y)) d dy s(y) si y T f Y (y) = 0 en otro caso. b) Caso multivariante: Sea X = (X 1,..., X n ) un vector aleatorio cuya distribución es absolutamente continua y sea f X ( ) su función de densidad de probabilidad. Sea S el soporte de f X ( ); esto es, P (X S) = 1. Sea Y = r(x) una función biyectiva, con Y i = r i (X), y sea T = r(s). Si x = s(y) representa la función inversa de r( ), entonces la función de densidad de probabilidad del vector aleatorio Y viene dada por: J f X (s(y)) si y T f Y (y) = 0 en otro caso. Donde J es el valor absoluto del jacobiano de la transformación. Esto es, J es el determinante de la matriz cuyo elemento (i, j) es si y j. B. Esperanzas y Momentos. 4. Esperanzas. a) Caso discreto: Si x x f(x) < +, entonces E(X) = x x f(x). Si x g(x) f(x) < +, entonces E(g(X)) = x g(x)f(x). b) Caso continuo: Si + x f(x)dx < +, entonces E(X) = + x f(x)dx. Si + g(x) f(x)dx < +, entonces E(g(X)) = + g(x)f(x)dx. c) Linealidad: E(aX + by + c) = ae(x) + be(y ) + c. d) Si X e Y son independientes, E(XY ) = E(X)E(Y ). e) Si P (a X b) = 1 a E(X) b. f ) Si P (X a) = 1 y E(X) = a P (X = a) = 1. g) Si X Y E(X) E(Y ). h) Desigualdad de Jensen: Si g(x) es convexa (por ejemplo g(x) = x 2 ) E(g(X)) g(e(x)). 5. Momentos. a) Momento de orden k : E(X k ), si existe esa esperanza. b) Momento de orden k respecto a la media: E((X E(X)) k ), si existe esa esperanza. c) Si existe E(X k ) existen E(X j ) y E((X E(X)) j ) j = 0, 1,... k.

3 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O. 3 d) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = E(exp {tx}), si existe t en un intervalo abierto de R que contenga el punto t = 0. Si la función generatriz de momentos existe, entonces: E(X k ) = dk dt k Ψ(t), calculada en t = 0. Si Y = ax + b con a 0 Ψ Y (t) = exp{bt}ψ X (at). Si Z = X + Y con X, Y independientes Ψ Z (t) = Ψ X (t)ψ Y (t). Sean {X 1, X 2,..., X n } variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, y sea X n = 1 n n X i su media muestral, entonces Ψ Xn (t) = [ Ψ X ( t n )] n. e) Función característica: Φ(t) = E(exp {itx}), que siempre existe. Φ(0) = 0, Φ(t) 1, y Φ(t) es uniformemente continua. Si existe E(X k ), entonces dk dt k Φ(0) = i k E(X k ). Si Y = ax + b Φ Y (t) = exp{ibt}φ X (at). Si Z = X + Y con X, Y independientes Φ Z (t) = Φ X (t)φ Y (t). Si {X 1, X 2,..., X n } son variables aleatorias i.i.d. Φ Xn (t) = [ Φ X ( t n )] n. 6. Varianzas, Covarianzas y Correlaciones. Si las esperanzas involucradas en las siguientes expresiones existen, entonces: a) Varianza: V (X) = E((X E(X)) 2 ) = E(X 2 ) E 2 (X). b) Covarianza: Cov(X, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))) = E(XY ) E(X)E(Y ). c) V (ax + b) = a 2 V (X). d) V ( n X i) = n V (X i) + 2 i<j Cov(X i, X j ). e) X, Y indep. Cov(X, Y ) = 0 V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). f ) Desigualdad de Cauchy-Schwarz: [E(XY )] 2 E(X 2 )E(Y 2 ). g) Coeficiente de correlación lineal de Pearson: ρ(x, Y ) = Cov(X,Y ). V (X)V (Y ) h) ρ(x, Y ) 1 con igualdad si y sólo si Y = ax + b. 7. Esperanza y Varianza Condicional. La esperanza y varianza condicionales, E(Y X) y V (Y X), son funciones de la variable aleatoria X definidas, para cada valor x, como la esperanza y varianza de la distribución de la variable aleatoria Y condicionada a X = x. Cumplen las siguientes propiedades: a) E(Y ) = E[E(Y X)]. b) V (Y ) = E[V (Y X)] + V [E(Y X)]. 8. Desigualdad de Chebyschev y Teorema Central del Límite. a) Desigualdad de Markov: P (X 0) = 1 P (X t) E(X) t t > 0. b) Desigualdad de Chebyschev: V (X) < + P ( X E(X) t) V (X) t 2 t > 0. c) Ley débil de los Grandes Números: Sean X 1, X 2,... variables aleatorias i.i.d. cuya esperanza existe, E(X i ) = µ, y sea X n la media muestral de las n primeras variables aleatorias. Entonces, la sucesión X 1,..., X n,... converge en probabilidad a µ, esto es: ε > 0, lím P ( X n µ < ε) = 1. n d) Teorema central del límite de Lindeberg-Levy: Si X 1, X 2,... son variables aleatorias i.i.d. con E(X i ) = µ y V ar(x i ) = σ 2, entonces n(x n µ) σ converge en distribución a una variable aleatoria Normal típica. Esto es: [ ] lím P n(xn µ) x x = N(t 0, 1)dt. n σ En consecuencia, si n es suficientemente grande, la distribución de X n puede aproximarse mediante una distribución Normal de media µ y varianza σ2 n.

4 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O. 4 C. Algunas distribuciones discretas: 9. Bernoulli Br(p). a) Función de probabilidad: f(x p) = p x (1 p) 1 x si x = 0, 1. b) Rango del parámetro: 0 p 1. c) Media y Varianza: E(X) = p; V ar(x) = p(1 p). 10. Binomial Bi(n, p). a) Es la distribución del número de éxitos en n pruebas Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas. ( ) n b) Función de probabilidad: f(x n, p) = p x x (1 p) n x si x = 0, 1,..., n. c) Rango de los parámetros: 0 p 1 y n = 1, 2,.... d) Media y Varianza: E(X) = np; V ar(x) = np(1 p). e) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = (pe t + 1 p) n. f ) Función característica: Φ(t) = (pe it + 1 p) n. g) Sean X 1,..., X n variables aleatorias independientes con X i Bi(n i, p), entonces: ( n n ) X i Bi n i, p. h) Distribución Bernoulli: X Br(p) si y sólo si X Bi(1, p). 11. Hipergeométrica Hg(A, B, n). a) Función de probabilidad: f(x A, B, n) = A x A + B n B n x si x = 0,..., n. b) Rango de los parámetros: A, B y n deben ser enteros mayores que 0. c) Media y Varianza: E(X) = na nab(a+b n) A+B ; V ar(x) = (A+B) 2 (A+B 1). d) Si X i, X j son variables aleatorias Bernoulli representando las extracciones i, j (i j) de una prueba hipergeométrica, entonces: AB Cov(X i, X j ) = (A + B) 2 (A + B 1). e) Si X 1, X 2 son dos variables aleatorias independientes con X i Bi(n i, p), entonces: f ) X 1 (X 1 + X 2 = k) Hg(n 1, n 2, k). ( ) A Si A + B es grande en comparación con n, entonces Hg(x A, B, n) Bi x n, A+B. 12. Geométrica Ge(p). a) Es la distribución del número de fracasos antes del primer éxito en una sucesión de pruebas Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas. b) Función de probabilidad: f(x p) = p(1 p) x si x = 0, 1, 2,... c) Rango del parámetro: 0 p 1. d) Media y Varianza: E(X) = 1 p 1 p p ; V ar(x) = p. 2

5 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Binomial Negativa Bn(r, p). a) Es la distribución del número de fracasos antes del éxito r en una sucesión de pruebas Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas. ( ) r + x 1 b) Función de probabilidad: f(x r, p) = p x r (1 p) x si x = 0, 1, 2,... c) Rango de los parámetros: 0 p 1 y r = 1, 2,.... d) Media y Varianza: E(X) = r(1 p) p ; V ar(x) = r(1 p) p. [ 2 ] r ( p e) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = 1 (1 p)e para t < log t [ ] p r. f ) Función característica: Φ(t) = 1 (1 p)e it g) Sean X 1, X 2,..., X n v.a. independientes, X i Bn(r i, p) i = 1, 2,..., n, entonces: ( n n ) X i Bn r i, p. h) Distribución Geométrica: X Ge(p) si y sólo si X Bn(1, p). 14. Poisson P o(λ). a) Función de probabilidad: f(x λ) = e λ λ x x! si x = 0, 1,... b) Rango del parámetro: λ > 0. c) Media y Varianza: E(X) = V ar(x) = λ. d) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = e λ(et 1). e) Función característica: Φ(t) = e λ(eit 1). f ) 1 1 p Si X 1, X 2,..., X n son variables aleatorias independientes, X i P o(λ i ), entonces: ( n n ) X i P o λ i. g) Si X 1, X 2 son variables aleatorias independientes con X i P o(λ i ) i = 1, 2, entonces: ( ) λ 1 X 1 (X 1 + X 2 = k) Bi k,. λ 1 + λ 2 h) Si n tiende a infinito y p tiende a cero, permaneciendo np = λ constante, entonces: Bi(x n, p) converge a P o(x λ). i) Si n tiende a infinito y (1 p) tiende a cero, permaneciendo n(1 p) = λ constante, entonces la función de probabilidad Bn(x r, p) converge a la función de probabilidad P o(x λ). ).

6 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O. 6 D. Algunas distribuciones absolutamente continuas: 15. Uniforme U n(α, β). a) Función de densidad: f(x α, β) = 1 β α si α < x < β. b) Rango de los parámetros: < α < β < +. c) Media y Varianza: E(X) = α+β (β α)2 2 ; V ar(x) = 12. d) Si X se distribuye Un(α, β), entonces Y = X α β α se distribuye Un(0, 1). 16. Normal N(µ, σ 2 ). a) Función de densidad: f(x µ, σ 2 ) = 1 σ 2π exp { 1 2 b) Rango de los parámetros: µ R y σ 2 > 0. c) Media y Varianza: E(X) = µ; V ar(x) = σ 2. ( x µ ) 2 } σ d) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = exp{µt σ2 t 2 }. e) Función característica: Φ(t) = exp{iµt 1 2 σ2 t 2 }. f ) x R. Si X 1, X 2,..., X n son variables aleatorias independientes, X i N(µ i, σi 2 ), entonces: ( ) n n n b + a i X i N b + a i µ i, a 2 i σi Gamma Ga(α, β). a) Función Gamma de Euler: Γ(α) = + 0 x α 1 exp{ x}dx, que existe y es finita α > 0. Algunas de sus propiedade: Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(0,5) = π, y Γ(α + 1) = αγ(α) α > 0. b) Función de densidad: f(x α, β) = βα Γ(α) xα 1 e βx si x > 0. c) Rango de los parámetros: α > 0 y β > 0. d) Media y Varianza: E(X) = α β, V ar(x) = α β 2. e) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = f ) ( α Función característica: Φ(t) = β β it). ( β β t) α si t < β. g) Si X 1,..., X n son variables aleatorias independientes, X i Ga(α i, β), entonces: ( n n ) X i Ga α i, β. h) Si X Ga(α, β), entonces: ax Ga(α, β/a). 18. Exponencial Ex(λ). a) X Ex(λ) si y sólo si X Ga(1, λ). b) Falta de memoria. Si X Ex(λ), entonces P (X > h + s X > h) = P r(x > s), h > 0 y s > 0. c) Sean X 1,..., X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de manera que X i Ex(λ). Sean Y 1,..., Y n los estadísticos de orden de la muestra aleatoria anterior. Entonces Y 1 Ex(nλ) e Y i+1 Y i Ex((n i)λ), para i = 1,..., n Ji-Cuadrado χ 2 (ν). a) X χ 2 (ν) si y sólo si X Ga( ν 2, 1 2 ). b) X Ga(α, β) si y sólo si Y = 2βX χ 2 (2α). c) X N(0, 1), entonces X 2 χ 2 (1). d) Sean X 1,..., X n variables aleatorias i.i.d. N(0, 1), entonces n X2 i χ2 (n).

7 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Beta Be(α, β). a) Función de densidad: f(x α, β) = Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 si 0 < x < 1. b) Rango de los parámetros: α > 0 y β > 0. c) Media y Varianza: E(X) = α α+β ; V ar(x) = αβ d) Función generatriz de momentos: 1 + k=1 e) Si X Be(α, β), entonces: 1 X Be(β, α). f ) (α+β) 2 (α+β+1) ( k 1 α+r r=0 α+β+r Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, con X Ga(α 1, β) e Y Ga(α 2, β), X entonces X+Y y (X +Y ) son variables aleatorias independientes con distribuciones Be(α 1, α 2 ) y Ga(α 1 + α 2, β) respectivamente. g) Distribución Uniforme: X Un(0, 1) si y sólo si X Be(1, 1). 21. Cauchy Ca(µ, σ). a) Función de densidad: f(x µ, σ) = [ π ( 1 + ( x µ σ )2)] 1 x R. b) Rango de los parámetros: µ R y σ > 0. c) Momentos: No existe ningún momento. d) Si X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes con distribución N(0, 1) entonces su cociente, X 1 /X 2, sigue una distribución Ca(0, 1). 22. t-student t(ν). a) Función de densidad: f(x ν) = b) Rango del parámetro: ν > 0. c) Momentos E(X k ) = k+1 ν k Γ( 2 )Γ( 2 ) πγ( ν E(X k ) = 0 si k impar y menor que ν. E(X k ) no existe si k ν. ν+1 ( Γ( 2 ) νπγ( ν 2 ) 1 + x2 ν ) ν+1 2 ) t k k!. x R. 2 ) ν k/2 si k es par y menor que ν. d) Media y Varianza: E(x) = 0 si ν > 1, V ar(x) = ν ν 2 si ν > 2. e) Si Z N(0, 1) e Y χ 2 (ν) son independientes, entonces: X = Z t(ν). Y/ν f ) Distribución Cauchy: X se distribuye Ca(0, 1) si y sólo si X t(1). 23. F-Snedecor F (m, n). a) Función de densidad: f(x m, n) = b) Rango de los parámetros: m > 0 y n > 0. m+2k Γ( 2 )Γ( n 2k 2 ) c) Momentos: E(X k ) = Γ( m 2 )Γ( n 2 ) ( n m )k para k < n 2. E(X k ) no existe para k n 2. d) Media y Varianza: E(X) = n (n 2) m+n Γ( 2 ) n/2 Γ( m 2 )Γ( n xm/2 1 2 )mm/2 n si x > 0. (mx+n) (m+n)/2 si n > 2, V ar(x) = 2n2 (m+n 2) m(n 2) 2 (n 4) si n > 4. e) Sean Y χ 2 (m) y Z χ 2 (n) dos variables aleatorias independientes, entonces X = Y/m Z/n tiene una distribución F (m, n). f ) Si X t(ν) entonces X 2 F (1, ν). g) Si X F (m, n), entonces Y = 1/X F (n, m). mx h) Si X F (m, n), entonces mx+n Be(m/2, n/2).

8 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O. 8 E. Algunas tablas 1 estadísticas: 24. Tabla de dígitos aleatorios Estas tablas se han construido con ayuda de las funciones del SPSS8.0, excepto la tabla de dígitos aleatorios. Para esa tabla se ha utilizado el algoritmo de Wichmann y Hill, por lo que en realidad es una tabla de pseudodígitos aleatorios.

9 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O. 9 25a. Función de distribución Binomial. n k p = 0.1 p = 0.2 p = 0.25 p = 0.3 p = 0.4 p =

10 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O b. Función de distribución Binomial. (Continuación) n k p = 0.1 p = 0.2 p = 0.25 p = 0.3 p = 0.4 p =

11 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Función de distribución Poisson. x λ = 1 λ = 2 λ = 3 λ = 4 λ = 5 λ = 6 λ = 7 λ = 8 λ = 9 λ = 10 x

12 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Función de Distribución de la Normal Típica. z Algunos cuantiles de la Normal Típica. α q α α q α α q α α q α α q α

13 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Cuantiles de la distribución t-student. g.l. Orden de los cuantiles

14 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O a. Cuantiles de la distribución Ji Cuadrado 2. g.l. Orden de los cuantiles Para mayores grados de libertad puede utilizarse el Teorema Central del límite: Si X es Ji-cuadrado con n grados de libertad, n suficientemente grande, entonces Z = X n sigue, aproximadamente, una distribución Normal Típica. 2n

15 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O b. Cuantiles de la distribución Ji Cuadrado 3. (Continuación). g.l. Orden de los cuantiles Para mayores grados de libertad puede utilizarse el Teorema Central del límite: Si X es Ji-cuadrado con n grados de libertad, n suficientemente grande, entonces Z = X n sigue, aproximadamente, una distribución Normal Típica. 2n

16 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Cuantiles 0.95 de las distribuciones F con k y m grados de libertad. k, grados de libertad del numerador m

17 Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática. Depto. de Estadística e I.O Cuantiles 0.90 de las distribuciones F con k y m grados de libertad. k, grados de libertad del numerador m