( ) DISTRIBUCIÓN UNIFORME (o rectangular) 1 b a. para x > b DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY. x ) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. α α 2 DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE

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1 Estudiamos algunos ejemplos de distribuciones de variables aleatorias continuas. De ellas merecen especial mención las derivadas de la distribución normal (χ, t de Student y F de Snedecor), por su importancia en el desarrollo de la última parte de este manual (Inferencia estadística). Se incorporan otros ejemplos para que el lector pueda disponer de una referencia para su conocimiento básico. Tales distribuciones son : uniforme o rectangular, de Cauchy, exponencial, de Laplace, de Pareto, Gamma, Beta y log-normal. Los ejemplos se centrarán casi exclusivamente en las distribuciones : χ, t de Student y F de Snedecor. DISTRIBUCIÓN UNIFORME (o rectangular) Se denomina así a la variable aleatoria continua que toma valores comprendidos entre dos fijos a y b, siendo constante la probabilidad para cada uno de ellos : Función de densidad : X [a, b] con f(x) b a 0 para x < a x a Función de distribución : F(x) Pr(X x) para a x b b a para x > b Esperanza matemática y varianza : ( ) EX ( ) b a + VX ( ) DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY Tiene por función de densidad : π. ( + x ) para : - < x < Esta distribución carece de esperanza matemática y varianza. Puede generalizarse a : π. ( ) ( a + x b ) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Definida en función del parámetro α, tiene por función de densidad :.x α. e α para x > 0 0 para x 0 Esperanza matemática y varianza : EX ( ) VX ( ) α α DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE Esta distribución nace del análisis de errores en la medición, quedando definida a partir de su promedio (μ) y en función de un valor α. Recibe también el nombre de "distribución doble exponencial". Distribuciones continuas - 9

2 Tiene por función de densidad : x μ. e α para < x<. α Esperanza matemática y varianza : EX ( ) μ VX ( ). α Gráfica de la función de densidad de Laplace de promedio μ 0, para α DISTRIBUCIÓN DE PARETO Utilizada en la descripción de fenómenos biológicos y económicos, se define para valores de la variable superiores a uno dado (x 0 ). DISTRIBUCIÓN GAMMA Tiene por función de densidad (para un cierto α > 0) : α x0. x0 x 0 α+ Esperanza matemática y varianza : NOTA : La esperanza matemática existe sólo para valores α >. La varianza existe sólo para valores α >. para x x para x < x α. x0 α. x0 EX ( ) VX ( ) α ( α ).( α ) Definida en función de dos parámetros positivos α y p, y representada por G(α, p), tiene por función de densidad : p α α.x p ( p). e. x para x > 0 Γ 0 para x Gráficas de funciones de densidad gamma con parámetro α (para valores de p :, y 3) donde Γ(p) es la función gamma de Euler, que se describe al final de la exposición teórica del tema. Esperanza matemática y varianza : Moda : p p EX ( ) VX ( ) α α p Mo con p > α Relación con otras distribuciones : Para p, la distribución gamma G(α, ) coincide con la distribución exponencial de parámetro α. La distribución gamma G(α/, pν/) coincide con la distribución χ con ν grados de libertad (estudiada más adelante) DISTRIBUCIÓN BETA Está definida en función de dos parámetros positivos p y q, y tiene por función de densidad : 30 - Distribuciones continuas

3 f x Bpq x p x q ( ) (, )..( ) para 0< x < 0 para x 0 y x donde B(p,q) es la función beta de Euler, que se describe al final de la exposición teórica del tema. Los siguientes gráficos nos muestran la evolución de la función de densidad en función de p y q : Esperanza matemática, varianza, moda y asimetría : p p. q EX ( ) VX ( ) p + q ( p+ q).( p+ q + ) p Mo p+ q. pq..( q p) As 3 ( p+ q).( p+ q + ).( p+ q + ) DISTRIBUCIÓN LOGARÍTMICO-NORMAL La distribución normal surge formalmente de la suma de muchas variables aleatorias. En múltiples situaciones es preciso considerar el producto de variables, resuelto con la presente distribución. Una variable aleatoria es logarítmico-normal (o lognormal), si su logarítmo ( ln(x) ) corresponde a una distribución normal. Función de densidad : ( ln( x) μ). e. σ x. σ. π para ln( x) 0 siendo μ y σ la media y desviación típica de la distribución normal de partida. Distribuciones continuas - 3

4 DISTRIBUCIÓN χ DE PEARSON Siendo X, X,..., X n n variables aleatorias normales e independientes con media 0 y varianza, se define la nueva variable χ X + X X n A ella queda asociado el número n de sumandos que la integran, mediante lo que denominamos : grados de libertad n Función de densidad : ( n/ ) x ( n ) e x para x ( n / ). /. / > 0 Γ 0 para x 0 Esperanza matemática y varianza : EX ( ) n VX ( ) n Moda (definida para n > ) : Mo n - Gráficas de la función de densidad de χ, en función del número ν de grados de libertad : Tabla de la distribución : La tabla proporciona el valor de χ que deja a su izquierda un área -α, en función del número ν de grados de libertad Para valores superiores a 50 grados de libertad, puede aproximarse mediante la distribución normal tipificada N(0,) : Para n > 30 se verifica que z. χ. n con z N(0,) De aquí : χ. +. ( z n ) Relación con otras distribuciones : La distribución χ con ν grados de libertad es una distribución gamma G(/, ν/). La distribución χ con grados de libertad es una distribución exponencial de parámetro α /. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT La variable aleatoria denominada t de Student, se define como combinación de una variable Z normal tipificada y una χ con n grados de libertad, de la forma indicada a la derecha. Como en χ, queda asociado a cada variable t el número de sumandos de la variable χ : grados de libertad n Función de densidad : n + Γ. + n n.. π Γ ( n )/ Esperanza matemática (definida si n>) : ( ) EX 0 Varianza (definida si n>): ( ) VX Tablas de la distribución : x n para < x < n n t Z χ n Formalmente se define como suma de cuadrados de variables normales con desviación típica igual a la unidad, pero con cualquier promedio. En particular, la que estudiamos, es una χ centrada (aquella que verifica que la suma de promedios es igual a cero : Σμ 0) con todas las medias nulas. 3 - Distribuciones continuas

5 Se utilizan habitualmente los dos tipos de tablas, que se describen a continuación. Esta tabla proporciona el valor de t que deja a su izquierda un área -α, en función del número ν de grados de libertad. Esta tabla proporciona el valor positivo de t que deja a su derecha un área α/, en función del número ν de grados de libertad Para valores superiores a 50 grados de libertad, puede aproximarse mediante la distribución normal tipificada N(0,), siendo, en este caso, equivalentes : para ν > 50 t z N(0,) DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR La variable aleatoria denominada F de Snedecor, se define como el cociente de dos variables χ, tal como se indica a la derecha. En este caso, queda asociado a cada variable F los grados de libertad de cada χ : grados de libertad (ν, ν ) (grados de libertad de la χ del numerador, id. del denominador) Función de densidad : ν / ν / ν + ν ν ν.. ν Γ x. para x > ν + ν 0 ν ν Γ. Γ ( ν. x + ν) 0 para x 0 F χ χ ν ν Esperanza matemática (definida si ν > ) : ν EX ( ) ν Varianza (definida si ν > 4):. ν.( ν + ν ) VX ( ) ν.( ν ).( ν 4) Moda (definida si ν > ): ν.( ν ) Mo ν.( ν + ) Tabla de la distribución : La tabla proporciona el valor de F que deja a su derecha un área α, en función del número de grados de libertad del numerador ν y del denominador ν. Se suelen independizar las tablas en función del área α. Aquí se ofrecen para áreas iguales a 0'05, 0'05, 0'0 y 0'005, con grados de libertad (para el numerador y el denominador) correlativos desde a 60 y para 00, 00, y 400 y valores muy elevados del número de grados de libertad (representado por ). Se verifica que : Distribuciones continuas - 33

6 F ν, ν, α F ν, ν, α La relación anterior es utilizable para el cálculo de valores F que dejan a su derecha áreas 0'95, 0'975, 0'99 y 0'995 (-α). Propiedades : Si ν y ν tienden a infinito, el valor de F tiende a : F, Para ν, el valor F de Snedecor que deja a su izquierda un área - α, coincide con el cuadrado de una t de Student que deja a su izquierda un área - (α/).: F, ν, α t ν, ( α/ ) FUNCIÓN GAMMA DE EULER Denominada también "integral euleriana de segunda especie", se define (para valores p > 0) como : p x Γ( p) x. e. dx 0 Propiedades : Γ() ; Γ π Fórmula de recurrencia : Γ( p) p. Γ( p ) Para valores enteros de p : Γ( p) ( p )! (si p no es entero se recurre a tablas) π Verifica la relación : Γ( p). Γ( p) sen ( p. π) Gráfica de la función Gamma de Euler: FUNCIÓN BETA DE EULER Denominada también "integral euleriana de primera especie", se define (para valores p > 0, q > 0) como : Β( pq, ) x p q.( x). dx 0 Propiedades : Β( p, ) p Simetría de la función : Β( p, q) Β( q, p) ( q )! Si q es un número entero : Β( pq, ) p.( p+ ).( p+ )...( p+ q ) ( p )! Si p es un número entero : Β( pq, ) q.( q+ ).( q+ )...( q+ p ) Γ( p). Γ( q) Β( pq, ) Γ( p+ q) 34 - Distribuciones continuas

7 EJERCICIOS RESUELTOS Una variable aleatoria se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 00]. a) Calcule la probabilidad de que su valor esté comprendido entre 0 y 35. b) Determine su esperanza matemática y varianza. Para el cálculo de probabilidades se pueden seguir dos procedimientos; uno basado en la función de distribución y, el segundo, en el significado gráfico de la distribución uniforme. a) Su función de distribución es : La probabilidad pedida es : F(x) Pr(X 0 x 0 x x) Pr(0 X 35) Pr(X 35) - Pr(X 0) F(35) - F(0) parax < 0 para0 x 00 parax > ' De otro modo. Observando la gráfica de la distribución, deducimos que Pr ( 0 X 35) 5. 0' 5 (área sombreada) 00 dado que la altura es el valor común de las probabilidades : f(x) b a a + b b) E ( X ) 50V ( X ) ( b a) ( 00 0) Determinar los valores de una variable χ con grados de libertad : a) que deja a su derecha un área 0' b) que deja a su derecha un área 0'95 Determinar los valores de una variable χ con 76 grados de libertad : c) que deja a su derecha un área 0'55 d) que deja a su izquierda un área 0'75 e) Calcule, con 0 grados de libertad, Pr( χ > 8). 833'33 a) La tabla de χ nos proporciona, para α0', el valor : χ 7' 756 b) La tabla de χ nos proporciona los valores : χ 4' para un área a la derecha α0'95 χ ' para un área a la derecha α0'90 Como el área dada se encuentra entre las dos anteriores (es su media), interpolamos los valores tabulados de χ, obteniendo : 4 ' ' ' χ c) Siendo el número de grados de libertad superior a 50, determinamos el valor de χ mediante la distribución normal tipificada: El valor de z N(0,) que deja a su derecha un área igual a 0'55, deja a su izquierda un área 0'845. Consultando la tabla normal (con áreas a la izquierda) obtenemos el valor más próximo para z '0. χ z ν Con esto :.( +. ).'0 ( +.76 ) 88' 5547 d) Como en el apartado anterior, determinamos el valor de χ mediante la distribución normal tipificada : El valor de z N(0,) que deja a su izquierda un área 0'75 es : z 0'67. χ. z. ν Con esto : ( + ).( 0' ) 83' e) Para 0 grados de libertad, el valor más próximo a 8 es 8'4865. Dicho valor deja a su derecha un área α 0'0. Distribuciones continuas - 35

8 3 La probabilidad pedida es aproximadamente ese área : Pr( χ > 8) 0'0 Determinar los valores de una variable t con 6 grados de libertad : a) que deja a su derecha un área 0'0 b) que deja a su izquierda un área 0'05 c) Determinar el valor de una variable t con 90 grados de libertad que deja a su derecha un área igual a 0'. Calcule, con 0 grados de libertad : d) Pr( t < '09) e) Pr('3 t '5) a) De la tabla obtenemos directamente el valor t ' b) Por la simetría de la distribución, buscamos el valor t que deja a su derecha un área 0'05. El valor pedido es el opuesto del anterior : t -' c) Aproximamos mediante la distribución normal N(0,). Entre 0 y el valor pedido queda un área 0'5-0' 0'379, correspondiendo al valor z '7. Luego : t z '7 d) El valor más próximo de t es ' De aquí, consultando la tabla que relaciona t con las dos áreas laterales : Pr( t < '05) - 0'05 0'95 e) Los valores más próximos a los de t (con 0 g.l.) son, respectivamente, '35340 y '57973, con áreas a su izquierda 0'90 y 0'99. Luego : Pr('3 t '5) 0'99-0'90 0'09 4 Calcular los valores F ϕ de una distribución F de Snedecor tales que : a) Pr(F > F ϕ ) 0'05 con ν 8 y ν grados de libertad b) Pr(F F ϕ ) 0'99 con ν 9 y ν 4 grados de libertad c) Pr(F > F ϕ ) 0'95 con ν 8 y ν 00 grados de libertad Calcular las probabilidades : d) Pr(F < 4'7 ) con ν 4 y ν 9 grados de libertad e) Pr(5'3 < F 7'56 ) con ν 5 y ν 6 grados de libertad f) Pr(F 4 ) con ν 0 y ν 0 grados de libertad a) La tabla correspondiente a α 0'05 proporciona el valor pedido : F ' (para 8 y g.l.) b) Para α 0'0 ( - 0'99) encontramos : F 3'85563 c) En este caso tenemos que hacer uso de la propiedad : Fν ν α F,, ',, 0' F F ν, ν, α ',, ' 36 - Distribuciones continuas

9 d) Localizamos el F más próximo en las distintas tablas : Para 4 y 9 g.l. encontramos los valores de F : 3' (0'05) ; 4'77773 (0'05) ; 6'4875 (0'0) y 7'95703 (0'005). Luego : F - 0'05 0'975 e) Para 5 y 6 g.l. encontramos los valores de F : 3' (0'05) ; 5'68555 (0'05) ; 7' (0'0) y 9'8500 (0'005). Luego : F 0'05-0'00 0'05 f) Para 0 (tomamos 00 como más próximo) y 0 g.l. encontramos los valores de F : ' (0'05) ; 3'5855 (0'05) ; 4'0367 (0'0) y 4'77484 (0'005). Luego : F 0'0 5 Consideradas las siguientes variables : Distribuida según grados de libertad Calcular las probabilidades : A N(0,) no procede a) Pr(-' < A 3'99) B N(0,) no procede b) Pr(6 A + B < 7 4) C t de Student 0 c) Pr (C < -'09) D χ de Pearson 6 d) Pr (D > 3) E F de Snedecor 4 y 8 e) Pr (E 5'05) f) Definida la variable V 4.A D, calcule Pr(-'75 V '95) a) Consultando la tabla N(0,) que proporciona áreas a la izquierda encontramos, para -' y 3'99 ( 3'99) : 0'507 y 0' Luego la probabilidad a calcular resulta ser : 0' '507 0'88490 b) La suma de cuadrados de dos distribuciones N(0,) es una χ con dos grados de libertad. La tabla proporciona áreas a la izquierda : 0'975 (7'377930) y 0'95 (5'99455). Luego la probabilidad es : 0'975-0'95 0'05 c) Para 0 grados de libertad encontramos el valor positivo de t que deja a su derecha un área igual a 0'05 (valor más próximo '08596). La probabilidad que se solicita es la que deja a su izquierda el valor -t, la cuál coincide con la anterior. Así, la probabilidad pedida es igualmente 0'05. d) Para 6 grados de libertad encontramos el valor de χ 3' , que resulta dejar a su derecha un área igual a 0'0. Esta es la probabilidad que se solicita. e) Entre las cuatro tablas disponibles (diferentes valores de α) encontramos el valor más próximo 5'05734, correspondiente a α 0'05. Siendo el área pedida la correspondiente a la izquierda de E : Probabilidad pedida - 0'05 0' A A f) V t de Student con 6 grados de libertad. D D 6 para - '75 : área a la izquierda 0'05 ( ) para '95 : área a la izquierda 0'995 ( 90763) La probabilidad pedida es : 0'995-0'05 0'945 Distribuciones continuas - 37

10 6 Responda a las siguientes cuestiones : a) Sea X una VA (variable aleatoria) con distribución normal de media 0 y varianza 6. Calcule Pr(X<4). b) Sea Y una VA que se distribuye según χ 0. Sabiendo que Pr(Y > k) 0 05, cuánto vale k?. c) Sea Z una VA que se distribuye según t con 7 g.l. (grados de libertad). Calcule Pr(Z> 74). a) X N(0, 4) Pr(X < 4) b) Y χ 0 Pr(Y > k) 0 05 k c) Z t 7 Pr(Z > 74) 0 05 (en tabla aparece ) 7 Calcule P(X) y P(X>) en los casos siguientes : a) Si X es normal con media 3 y desviación típica. b) Si X es binomial con n3 y p/. c) Si X es F, con n y n 40. a) X N(3, ) Pr(X ) 0 (continua) Pr(X > ) b) X B(3, 0 5) Pr(X ) Pr(X > ) Pr(X 3) 0 5 c) X F,40 Pr(X ) 0 (continua) Pr(X > ) 0 050, ya que : NOTA : Tabla : α F ' Tabla : α 0 05 F Tabla : α 0 00 F Tabla : α F 9535 Si no hubiésemos encontrado un valor de F próximo a los 4 de las tablas, determinaríamos los que dejan esa probabilidad a la izquierda (-α a la derecha), haciendo uso de la expresión : F ν, ν, α F, 40, α F F ν, ν, α 40,, α -α F 04 ' ' α F 0' 344 ' α F 3' ' -α F 0' 365 4' 856 Así, por ejemplo : Pr(X > 0 35) o Pr(X < 0 35) Distribuciones continuas

11 EJERCICIOS PROPUESTOS a) Determine la función de distribución, esperanza matemática y varianza de la variable aleatoria continua X que se distribuye uniformemente en el intervalo [, 4] b) Para dicha variable, calcule las probabilidades : Pr(X 3) Pr('5 < X 05) Determinar los valores de una variable χ con 3 grados de libertad : a) que deja a su derecha un área 0'99 b) que deja a su izquierda un área 0'05 Determinar los valores de una variable χ con 3 grados de libertad : c) que deja a su derecha un área 0'575 d) que deja a su izquierda un área 0' e) Calcule, con 3 grados de libertad, Pr( χ > 0'6). Determinar los valores de una variable t de Student con 9 grados de libertad : a) que deja a su derecha un área 0'75 b) que deja a su izquierda un área 0'005 c) Determinar el valor de una variable t con 3 grados de libertad que deja a su izquierda un área igual a 0'7. Calcule, con 7 grados de libertad : d) Pr( t < 3) e) Pr(0'7 t 3'5) Calcular los valores A de una distribución F de Snedecor tales que : a) Pr(F > A ) 0'005 con ν 4 y ν grados de libertad b) Pr(F < A ) 0'95 con ν 5 y ν 4 grados de libertad c) Pr(F > A ) 0'975 con ν 7 y ν 0 grados de libertad Calcular las probabilidades : d) Pr(F < '9 ) con ν 5 y ν 3 grados de libertad e) Pr(40 < F 99 ) con ν 5 y ν grados de libertad f) Pr(F > 3'37 ) con ν 0 y ν 0 grados de libertad a) Sabiendo que Pr(χ < 7) 0 05, cuántos grados de libertad tiene dicha variable χ?. b) Para una variable χ con 5 grados de libertad, calcular Pr(χ < 50) a) Calcular, para 0 grados de libertad, Pr (t > ). b) Obtener el valor T de una t de Student con 5 grados de libertad, para el cuál Pr(t < T) 0. Siendo X una variable F de Snedecor con 8 y 0 grados de libertad, determinar su valor sabiendo que Pr(F > X) Con las dos variables aleatorias X y X, distribuidas según una N(0, ), se construye la nueva variable V 5.X + (3.X ). a) Calcular el valor m de V para el cuál Pr(V < m) 0'9. b) Hallar Pr (V 6'6). Distribuciones continuas - 39

12 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS R0 para x < F(x) Pr(X x) S x para x 4 E(X) 3 V(X) 0'3333 T para x > 4 b) 0'5 y 0' a) 4'06934 b) 5' c) (z-0'9) 09'66805 d) (z-'75) 95'5653 e) 0'90 a) -0'7075 b) c) 0'5 d) 0'99 e) 0'45 a) 99'5 b) ' c) 0' d) 0'99 e) 0'0 f) 0'0 a) 3 b) a) 0 05 b) V χ con 4 g.l. a) ' b) 0' Distribuciones continuas

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