Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

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1 Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. EstadísTICa Curso Primero Graduado en Geomática y Topografía Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía. Universidad Politécnica de Madrid Capítulo IV Ejercicios resueltos DISTRIBUCIONES CONTINUAS Manuel Barrero Ripoll. Mª Ángeles Castejón Solanas. Mª Luisa Casado Fuente. Luis Sebastián Lorente. Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía Universidad Politécnica de Madrid

2 Ejercicios

3 DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS Ejercicio 1. El Departamento de Transportes de un cierto país ha determinado que la licitación ganadora (baja) y en euros por contrato de reparación de carreteras, tiene una distribución uniforme con función de densidad: k si x k f(x) = 7 k 0 en cualquier otro caso donde k es la estimación que hace el Departamento sobre el coste de la reparación. a) Calcular la media y la desviación típica. b) Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están por debajo de la estimación del Departamento de Transportes? c) Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están 1,5 veces por encima de la estimación del Departamento de Transportes? Comprobemos en primer lugar que f(x) es una función de densidad. k k f (x)dx = dx = k 1, además f >, por tanto, f(x) es una 7k 7k = (x) 0, k 0 k función de densidad para cualquier valor de k. a) La media y desviación típica son: k k + k k μ= x dx = = k. σ= x k 7k 6 6 k k k 7 =. 6 b) P k < x < k = dx = 7k k k por debajo de k es1.8%. c) k k 1, por tanto, el porcentaje de licitaciones ganadoras pedidas 7 9 P x > k = dx =, por tanto, el porcentaje de licitaciones ganadoras pedidas que 7k 1 superan 1.5 veces la estimación del Departamento de Transportes es 6.9%. Ejercicio. Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años, que se distribuye según una distribución exponencial de media cuatro años. a) Calcular la función de densidad de la variable aleatoria T b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años. c) Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos? d) Calcular la probabilidad de un componente electrónico que ha funcionado ya más de cuatro años tenga una vida útil mayor de siete años. manuel.barrero@topografia.upm.es - IV

4 a) Si 1 μ= = λ= λ t 1 1, por tanto la función de densidad es f(t) = e, para todo t>0. b) El componente electrónico fallará antes de tres años si su vida útil es menor que tres años. La probabilidad de este suceso es: t 1 P T < = e dt = 1 e c) La vida útil t pedida, es la solución de la ecuación F(t)=0.95 () d) La probabilidad pedida es: t t t 1 F t = e dt = e = 0.95 t P ( t 7 ) ( > ) P t 7 > 1 P t > 7 e = = = t > P t > 1 P t > e 7 = e. El resultado se reduce a que no se averíe en 7-= años. La distribución exponencial no tiene memoria el tiempo de supervivencia del componente electrónico es independiente del tiempo vivido. Ejercicio. En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de una distribución N(150, 0.) metros y el intervalo de tolerancia es (19, 150) metros. Se pide: 1. Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos estén dentro del intervalo de tolerancia.. Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos.1. Tengan una separación menor que Tengan una separación comprendida entre 19.5 y Tengan una separación comprendida entre 19.9 y Si designamos con X a la variable aleatoria distancia entre dos aerogeneradores vecinos, se tiene: P 19. < X < 150. = F(150.) F(19.) lu_seb@topografia.upm.es Ejercicios

5 DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS.1) P( X < 19) = F(19) ) P( 19.5 < X < 19.9) = F(19.9) F(19.5) ) P( 19.9 < X < 150.) = F(150.) F(19.9) Ejercicio. Sea X N( μ, σ), cuáles son las probabilidades de que el valor de X se encuentre a una, dos o tres veces la desviación típica de la media? μ σ μ X μ μ+σ μ μ σ< <μ+σ = P σ σ σ o P( X ) < < = P 1 < Z < 1 = Observen que aproximadamente el 68% de los datos están en el intervalo ( μ σ, μ+σ). o P( μ σ< X <μ+ σ ) = μ σ μ X μ μ+ σ μ P < < σ σ σ = P( < Z < ) = El 95% de los datos están a una distancia de la media menor de dos veces la desviación estándar. o P( μ σ< X <μ+ σ ) = μ σ μ X μ μ+ σ μ P σ σ σ < < = P < Z < = Aproximadamente el 68%, 95% y el 99% de los datos están a una distanciade 1,, σ de la media. manuel.barrero@topografia.upm.es 5 - IV

6 Ejercicio 5. Una v. a. sigue una distribución Chi-cuadrado. Calcular: a) Las probabilidades P( χ 7.955), P( χ 11), P( χ 1.55) y P( χ <.955). b) Los valores χ de la variable tales que: 11 ( χ ) ; ; ; 9 χ =.99 P( χ9 χ ) = 0.95 P( χ9 χ ) = 0.05 ( 9 ) P P χ χ = a) Para el calcular las probabilidades del tipo P( χ 7.955), utilizamos la función DISTR.CHI(x;n). 11 b) Para el cálculo de los puntos críticos en una distribución con n grados de libertad, disponemos de la PRUEBA.CHI.INV(p;n), siendo p la probabilidad que deja a su derecha un χ c χ n valor en una distribución. χ c χ n P( χ9 χ ) = 0.99 P( χ 9 >χ ) = 0.01 χ P( χ9 χ ) = 0.95 P( χ 9 >χ ) = 0.05 χ P( χ9 χ ) = 0.05 P( χ 9 >χ ) = 0.95 χ.5 P χ9 χ = P( χ 9 >χ ) = 0. 9 χ.168 lu_seb@topografia.upm.es 6 Ejercicios

7 DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS Ejercicio 6. Una variable aleatoria sigue una distribución t de Student. Calcular: a) Las probabilidades P(t.7), P(t 1.57), P( 1 t 1) y P( t8 ) >. b) Los valores t c tales que P(t, y 10 t c ) = 0.0 P(t10 t c ) = 0.99 P( tc < t10 t c) = 0.95 a) Para obtener el valor de la probabilidad p = P t x) de una distribución t de Student, Excel proporciona la función =DISTR.T(x; grados_de_libertad; colas) donde el número de colas es una para p = P( t n x) y dos para p= P( tn x) = P( tn < x t n). ( n P(t8.7) = 0.055; P(t8 1.57) = 1 P(t8 1.57) = = ( 8 ) = 1 P( t8 1) = ; ( 8 ) P( 1 t 1) P t 1 P t > = b) Utilizando la función DISTR.T.INV, calculamos los valores de la variable que verifican las probabilidades pedidas. P(t10 t c) = 0.0 P( t10 t c) = 0.0 tc = P(t10 t c) = 0.99 P(t10 t c) = 0,01 P( t 10 t c ) = 0.0 tc.768. P( tc t10 t c) 0.95 < = P( t10 tc ) = 0.95 ( 10 c ) P t t = 0.05 tc =.81. manuel.barrero@topografia.upm.es 7 - IV

8 Ejercicio 7. Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,0) y la capacidad según una distribución N(10,5), calcular la probabilidad de avería. En los casos en que T es mayor que C se produce una avería, por tanto, en aquellos en que se verifica T C > 0. Además sabemos que las variables T y C son normales, así pues la variable R = T - C sigue una distribución normal cuya media y desviación típica son: μ= E[ R] = ; [ ] Así pues, la variable aleatoria R es N 0, σ = = + σ= Se producirá una avería en el caso de ser R > 0. Así pues, V R P(R > 0) = 1 P(R 0) = 1 F(0) P (R > 0) = Por tanto la probabilidad de avería en la línea eléctrica es Ejercicio 8. En un ascensor se permite subir 8 personas. Se sabe que el peso de una persona es una variable aleatoria N(65,17). Si el límite de seguridad del ascensor es de 650 kg, calcular la probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad. Sea X i la variable aleatoria peso de una persona X N(65, 17). Por ser los pesos de las personas que suben al ascensor variables aleatorias independientes, la suma de los pesos de las ocho personas seguirá una distribución normal. Si llamamos X a la variable aleatoria peso de las ocho personas, la media de la variable X es E[ X] = E[ 8 65] = 50 y la desviación típica i σ= 817 = 17 8 por tanto, X = X N μ, σ = N 50, 8.08 i i i y la probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad es lu_seb@topografia.upm.es 8 Ejercicios

9 DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS P(X > 650) =1 P(X 650) = 0.00 Observe que sumar n variables aleatorias no es lo mismo que multiplicar por n una variable aleatoria. Al calcular el peso de las ocho personas del ejercicio anterior, se está sumando ocho variables aleatorias independientes. Si multiplicamos el peso de una persona por ocho, se multiplica por ocho el peso de sólo una variable aleatoria. Si Z es la variable 8X 1, E Z E 8X y VZ= V8X = 6VXi ±, por tanto σ z = 8 17 = 16 [ ] = [ ] = = [ ] [ ] [ ] i. Observe que la media coincide, pero la desviación típica es distinta. i Ejercicio 9. A partir de las variables aleatorias independientes A, B, C, todas ellas N(0,), se definen las siguientes variables aleatorias: X=A B +CZ + 10, Y=A + B +C Calcular: a) P(X<8.), b) P(Y<9.5). 1) La variable X es una distribución normal por ser suma de distribuciones normales independientes. EX [ ] = EA [ B+ C+ 10] = E[ A] E[ B] E[ C] E[ 10] + + = = 10. VX [ ] = VA [ B+ C+ 10] = V[ A] V[ B] V[ C] V[ 10] = = 6. por tanto, X N(10, 6). P( X < 8.) = manuel.barrero@topografia.upm.es 9 - IV

10 ) Observamos que la variable Y es una suma de cuadrados de distribuciones normales. Si tipificamos dichas variables obtenemos una nueva variable que tendrá como distribución una Y A B C chi-cuadrado, esto es, = + + es la suma de los cuadrados de tres Y distribuciones N(0, 1), y por tanto, es una chi-cuadrado con tres grados de libertad. 1 P( χ >.6) P(Y < 9.5) = Y P <.6 = P( χ <.6) = 1 P( χ >.6) = lu_seb@topografia.upm.es 10 Ejercicios