Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias"

Transcripción

1 Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Noviembre 2010 Contenidos Variables Aleatorias 3 Variable Aleatoria Función de Distribución Distribución Discreta de Probabilidad 6 Variable Aleatoria Discreta Distribución de Probabilidad Contínua 8 Variable Aleatoria Continua Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales 10 Variables Aleatorias Bidimensionales Bidimensional Discreta Bidimensional Contínua Distribuciones Marginales Distribuciones Condicionadas Independencia de Variables Aleatorias

2 Contenidos Variables Aleatorias. Discretas y Contínuas. Distribución Discreta de Probabilidad. Distribución de Probabilidad Contínua. Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales. Distribuciones Marginales y Condicionadas. Independencia. El cálculo de probabilidades utiliza variables numéricas que se denominan aleatorias, porque sus valores vienen determinados por el azar. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 2 / 16 Variables Aleatorias 3 / 16 Variable Aleatoria Definición: Sea un experimento E y S el espacio muestral asociado con el experimento. Una función X que asigne a cada uno de los elementos s S, un número real X(s), es una Variable Aleatoria. X : S R Si una Variable Aleatoria toma un número finito o numerable de valores, x 1,x 2,...,x n,..., se denomina Variable Aleatoria Discreta. En caso contrario, se denominará Variable Aleatoria Continua. Propiedad: Para todo intervalo I R, {X I} es un suceso, {X I} = {s S : X(s) I} = X 1 (I) Entonces, para las variables aleatorias tiene sentido el preguntarse por la probabilidad: P(X I). El intervalo I puede ser abierto, cerrado, semiabierto,, reducido a un punto, acotado, ilimitado o todo R. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 4 / 16 2

3 Función de Distribución Para cada Variable Aleatoria, podemos definir la función, F(x) = P(X x), con x R. Esta función se conoce como Función de Distribución, de la variable aleatoria X. Algunas propiedades inmediatas de la Función de Distribución son: F() = 0 y F(+ ) = 1. La función de distribución es creciente: Si x 1 x 2, entonces F(x 1 ) F(x 2 ). P(a < X b) = F(b) F(a). F es continua por la derecha. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 5 / 16 3

4 Distribución Discreta de Probabilidad 6 / 16 Variable Aleatoria Discreta Una Variable Aleatoria, se dirá Discreta, cuando toma un número finito o numerable de valores, x 1,x 2,...,x n,..., cada uno de ellos con probabilidades p 1,p 2,...,p n,... Entonces se tendrá: i=1 n p i = 1, i=1 p i = lim n n p i = 1, según se tome un número finito o infinito numerable de valores distintos. El conjunto de valores de X junto con sus probabilidades se llamará Función de Probabilidad, de X, f, y se puede representar gráficamente mediante un diagrama de barras. i=1 f(x i ) = P(X = x i ) = p i f(x i I) = P(X I) = x i I p i Variable Aleatoria Discreta Probabildad X La Función de Distribución de la variable aleatoria X es: F(x) = P(X x) = x i x P(X = x i ) = x i x p i, y su representación gráfica es mediante un diagrama de frecuencias acumuladas. Función de Distribución V. A. Discreta Probabilidad X Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 7 / 16

5 Distribución de Probabilidad Contínua 8 / 16 Variable Aleatoria Continua Se dice que X es una Variable Aleatoria Contínua si existe una función, f, denominada Función de Densidad, que satisface las siguientes condiciones: f(x) 0 para todo x. f(x)dx = 1. Para a y b, tales que < a b <, Una consecuencia de lo anterior implica que: P(a X b) = P(X = x i ) = xi b a f(x)dx. x i f(x)dx = 0. Y por lo tanto las siguientes probabilidades son todas iguales: P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) Siendo X una Variable Aleatoria Contínua, la Función de Distribución de la variable X será, F(x) = P(X x) = x Como consecuencia de esta definición, tendremos: P(a < X < b) = F(b) F(a). f(s)ds, para < x <. f(x) = df(x) dx, siendo f(x) la Función de Densidad, e interpretándose f(x) como la probabilidad por unidad de longitud. Distribución Normal: µ = 0, σ = 1 Distribución Normal: µ = 0, σ = 1 Función de Densidad Probabilidad Acumulada x x Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 9 / 16 5

6 Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales 10 / 16 Variables Aleatorias Bidimensionales Una Variable Aleatoria Bidimensional, (X,Y ), es una par de variables aleatorias, las cuales constituyen una función de S en R 2. Según X e Y sean contínuas o discretas, la variable bidimensional, será contínua o discreta. Recordemos una tabla de frecuencias relativas en el caso de una variable bidimensional discreta. X \ Y y 1... y j... y l Totales x 1 f f 1j... f 1l f x i f i1... f ij... f il f i..... x m f m1... f mj... f ml f m Totales f 1... f j... f l 1 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 11 / 16 6

7 Bidimensional Discreta El par X,Y ) constituye una Variable Aleatoria Bidimensional Discreta, si el número de posibles valores de (X,Y ) es una cantidad finita o finita numerable. (x i,y j ) i = 1,...,m; j = 1,...,l Para cada valor posible (x i,y j ) podemos asociar un número p i,j = P(X = x i,y = y j ), Función de Probabilidad Conjunta, que satisface: p i,j 0, (x i,y j ). i j p i,j = 1. P((X,Y ) I J) = P(X I,Y J) = p i,j, x i I,y j J. F(x,y) = x i x y j y p i,j, Función de Distribución. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 12 / 16 Bidimensional Contínua Para una Variable Bidimensional Contínua, se define la Función de Densidad Conjunta, f(x,y), satisfaciendo las siguientes propiedades: f(x,y) 0, (x,y) R 2. R 2 f(x,y)dxdy = 1. P((X,Y ) I J) = I J f(x,y)dxdy, I J R2. Para la Variable Aleatoria bidimensional (X,Y ) se define su Función de Distribución: F(x,y) = P(X x,y y) = x y f(u, v)dudv, donde f resulta ser la Función de Densidad, si la Función de Distribución tiene derivadas segundas se cumplirá que: 2 F(x,y) = f(x,y) x y Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 13 / 16 7

8 Distribuciones Marginales Las Distribuciones Marginales de X e Y, están dadas por: Caso discreto: f(x, ) = g(x) = y f(x,y); f(,y) = h(y) = x f(x,y). Caso contínuo: f(x, ) = g(x) = f(,y) = h(y) = f(x,y)dy. f(x,y)dx. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 14 / 16 Distribuciones Condicionadas La distribución condicional de la variable aleatoria Y, cuando X = x, viene dada por: h(y x) = f(x,y), para g(x) > 0. g(x) La distribución condicional de la variable aleatoria X, cuando Y = y, viene dada por: g(x y) = f(x,y), para h(y) > 0. h(y) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 15 / 16 8

9 Independencia de Variables Aleatorias Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o contínuas, con Distribución de Probabilidades f(x,y) y Distribuciones marginales g(x), h(y), diremos que X e Y son estadísticamente independientes si y sólo si, f(x,y) = g(x) h(y), para todo (x,y) en su dominio de definición. En caso contrario serán dependientes. Este concepto se puede generalizar para el caso de n variables aleatorias. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 16 / 16 9

Distribuciones de Probabilidad Para Variables Aleatorias Continuas

Distribuciones de Probabilidad Para Variables Aleatorias Continuas Distribuciones de Probabilidad Para Variables Aleatorias Continuas Departamento de Estadística-FACES-ULA 20 de Diciembre de 2013 Introducción Recordemos la definición de Variable Aleatoria Continua. Variable

Más detalles

Tema 4: Variable aleatoria. Métodos Estadísticos

Tema 4: Variable aleatoria. Métodos Estadísticos Tema 4: Variable aleatoria. Métodos Estadísticos Definición de v.a. Definición: Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una función

Más detalles

Variables aleatorias unidimensionales

Variables aleatorias unidimensionales Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012 Outline Variable aleatoria 1 Variable aleatoria 2 3 4 Variable aleatoria Definición Las variables aleatorias son funciones cuyos valores dependen

Más detalles

Dr. Mauro Gutierrez Martinez Dr. Christiam Gonzales Chávez

Dr. Mauro Gutierrez Martinez Dr. Christiam Gonzales Chávez Profesores: Mg. Cecilia Rosas Meneses Dr. Mauro Gutierrez Martinez Dr. Christiam Gonzales Chávez Definición. La función de distribución acumulada F X de una v.a. X es definida para cada número real x como

Más detalles

2. Probabilidad y. variable aleatoria. Curso 2011-2012 Estadística. 2. 1 Probabilidad. Probabilidad y variable aleatoria

2. Probabilidad y. variable aleatoria. Curso 2011-2012 Estadística. 2. 1 Probabilidad. Probabilidad y variable aleatoria 2. Probabilidad y variable aleatoria Curso 2011-2012 Estadística 2. 1 Probabilidad 2 Experimento Aleatorio EL término experimento aleatorio se utiliza en la teoría de la probabilidad para referirse a un

Más detalles

Probabilidad. Distribuciones binomial y normal

Probabilidad. Distribuciones binomial y normal Tema 7 Probabilidad. Distribuciones binomial y normal 7.1. Introducción En este tema trataremos algunas cuestiones básicas sobre Probabilidad. Tanto la Probabilidad como la Estadística son dos campos de

Más detalles

Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional

Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Cuando introducíamos el concepto de variable aleatoria unidimensional, decíamos que se pretendía modelizar los resultados de un experimento aleatorio en el

Más detalles

Teorema de Bayes. mientras que B tiene una tasa de defectos del 4%.

Teorema de Bayes. mientras que B tiene una tasa de defectos del 4%. Teorema de Bayes Ejemplo: En una empresa manufacturera, una máquina A produce el 60% de la producción total, mientras que una máquina B el restante 40%. 71 El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas,

Más detalles

TEMA II: DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA NORMAL

TEMA II: DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA NORMAL ESTADÍSTICA II TEMA II: DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA NORMAL II.1.- Distribución chi-cuadrado. II.1.1.- Definición. II.1..- Función de densidad. Representación gráfica. II.1.3.- Media y varianza.

Más detalles

Variable Estadística Bidimensional

Variable Estadística Bidimensional Capítulo 2 Variable Estadística Bidimensional 21 Distribución de Frecuencias Bidimensional Sea una población de n individuos donde estudiamos, simultáneamente, dos variables X e Y Seanx 1,x 2,,x k las

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar

Más detalles

Introducción al Tema 9

Introducción al Tema 9 Tema 2. Análisis de datos univariantes. Tema 3. Análisis de datos bivariantes. Tema 4. Correlación y regresión. Tema 5. Series temporales y números índice. Introducción al Tema 9 Descripción de variables

Más detalles

DOCUMENTO 3: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE V. A. CONTINUA: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

DOCUMENTO 3: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE V. A. CONTINUA: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DOCUMENTO 3: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE V. A. CONTINUA: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 3.1 INTRODUCCIÓN Como ya sabes, una distribución de probabilidad es un modelo matemático que nos ayuda a explicar los

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Sesión 5 (En esta sesión abracamos hasta tema 5.8)

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Sesión 5 (En esta sesión abracamos hasta tema 5.8) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Sesión 5 (En esta sesión abracamos hasta tema 5.8) 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Y MUESTRALES 5.1 Distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua

Más detalles

Definición: Se llama variable aleatoria a toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral S, un número Real X(s).

Definición: Se llama variable aleatoria a toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral S, un número Real X(s). VARIABLE ALEATORIA Definición: Se llama variable aleatoria a toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral S, un número Real X(s). X : S S s s X () s X(s) Rx Rx es el recorrido

Más detalles

Variables aleatorias

Variables aleatorias Distribuciones continuas Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales,

Más detalles

Unidad III Variables Aleatorias Unidimensionales

Unidad III Variables Aleatorias Unidimensionales Unidad III Variables Aleatorias Unidimensionales En el capítulo anterior se examinaron los conceptos básicos de probabilidad con respecto a eventos que se encuentran en un espacio muestral. Los experimentos

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 10: Inferencia Estadística, Intervalos de Confianza Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 10: Inferencia Estadística, Intervalos de Confianza Grupo B Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 10: Inferencia Estadística, Intervalos de Confianza Grupo B Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Abril 010 Contenidos...............................................................

Más detalles

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 9

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 9 PRUEBA INTEGRAL LAPSO 05-764 - /9 Universidad Nacional Abierta Probabilidad y Estadística I (Cód. 764) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 6 Fecha: 0-04-06 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del al 9 OBJ

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (RESUMEN)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (RESUMEN) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (RESUMEN) VARIABLE ALEATORIA: un experimento produce observaciones numéricas que varían de muestra a muestra. Una VARIABLE ALEATORIA se define como una función con valores

Más detalles

Tema 5: Principales Distribuciones de Probabilidad

Tema 5: Principales Distribuciones de Probabilidad Tema 5: Principales Distribuciones de Probabilidad Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Principales Distribuciones de Probabilidad

Más detalles

Integración por el método de Monte Carlo

Integración por el método de Monte Carlo Integración por el método de Monte Carlo Georgina Flesia FaMAF 29 de marzo, 2012 El método de Monte Carlo El método de Monte Carlo es un procedimiento general para seleccionar muestras aleatorias de una

Más detalles

Valor absoluto de un número real. Potencias de exponente racional. Logaritmos. Logaritmos decimales y neperianos. Propiedades y operaciones.

Valor absoluto de un número real. Potencias de exponente racional. Logaritmos. Logaritmos decimales y neperianos. Propiedades y operaciones. Otras páginas Matemásicas ccss 5º MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA Los números reales Números racionales. Números irracionales. Los números y e. Los números reales.

Más detalles

Unidad II: Fundamentos de la teoría de probabilidad

Unidad II: Fundamentos de la teoría de probabilidad Unidad II: Fundamentos de la teoría de probabilidad 2.1 Teoría elemental de probabilidad El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica

Más detalles

PROBABILIDADES VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES. Prof. Johnny Montenegro 1 M.

PROBABILIDADES VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES. Prof. Johnny Montenegro 1 M. PROBABILIDADES VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES Prof. Johnny Montenegro 1 M. PROBABILIDADES 2 Una variable es aleatoria si toma los valores de los resultados de un experimento aleatorio. Esta

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice la cadena Tabla de Dada una función f : D R R,

Más detalles

ESTADISTICA APLICADA: PROGRAMA

ESTADISTICA APLICADA: PROGRAMA Pág. 1 de 5 ESTADISTICA APLICADA: PROGRAMA a) OBJETIVOS Y BLOQUE 1: Teoría de Probabilidades 1.1 Comprender la naturaleza de los experimentos aleatorios y la estructura de los espacios de probabilidades,

Más detalles

Tema 1. Cálculo diferencial

Tema 1. Cálculo diferencial Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten

Más detalles

El espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : 8. 1(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

El espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : 8. 1(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) El espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : n = {(x 1,x,, x n ) / x 1,x,, x n } A cada uno de los números reales x 1,x,, x n que conforman la

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Marzo 2010 Contenidos...............................................................

Más detalles

Selectividad Junio 2007 JUNIO 2007

Selectividad Junio 2007 JUNIO 2007 Bloque A JUNIO 2007 1.- Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20 % del total, Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea

Más detalles

Variable Aleatoria. Relación de problemas 6

Variable Aleatoria. Relación de problemas 6 Relación de problemas 6 Variable Aleatoria. Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados equilibrados y observar el número máximo de los dos números obtenidos en ellos. Si X es

Más detalles

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta B

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta B Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta B 1. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos

Más detalles

3. Resolver triángulos rectángulos utilizando las definiciones de las razones trigonométricas.

3. Resolver triángulos rectángulos utilizando las definiciones de las razones trigonométricas. Contenidos mínimos MI. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y Álgebra. 1. Conocer las clases de números, los conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos y las propiedades que

Más detalles

ÍNDICE CAPITULO UNO CAPITULO DOS. Pág.

ÍNDICE CAPITULO UNO CAPITULO DOS. Pág. ÍNDICE CAPITULO UNO Pág. Concepto de Estadística 1 Objetivo 1 Diferencia entre estadísticas y estadística 1 Uso de la estadística 1 Divisiones de la estadística 1 1. Estadística Descriptiva 1 2. Estadística

Más detalles

APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO

APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO - DEFINICIÓN: Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor de la magnitud X corresponde un único valor y de la magnitud Y. : variable

Más detalles

Ejercicios de Variables Aleatorias

Ejercicios de Variables Aleatorias Ejercicios de Variables Aleatorias Elisa M. Molanes-López, Depto. Estadística, UCM Función de distribución y función de densidad Ejercicio. Sea X una variable aleatoria con función de distribución dada

Más detalles

Definición de Funciones MATE 3171

Definición de Funciones MATE 3171 Definición de Funciones MATE 3171 Función Una función, f, es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento de E : x 1 x 2 x 3 y 2 y 1 Terminología

Más detalles

7. Distribución normal

7. Distribución normal 7. Distribución normal Sin duda, la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o

Más detalles

Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas

Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas Si disponemos de dos variables aleatorias podemos definir distribuciones bidimensionales de forma semejante al caso unidimensional. Para el caso

Más detalles

Contenidos mínimos 4B ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra.

Contenidos mínimos 4B ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra. Contenidos mínimos 4B ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra. 1. Clasificar distintos tipos de números: naturales, enteros, racionales y reales. 2. Operar con números reales y aplicar las propiedades

Más detalles

1 Variables aleatorias independientes

1 Variables aleatorias independientes 1 Variables aleatorias independientes El concepto de independencia es sumamente importante en teoría de probabilidad y su negación, la dependencia, es un importante objeto de estudio actualmente en diversas

Más detalles

Si quisiéramos estudiar también cuánto distan, es decir a b, tendríamos 6 resultados: 0, 1, 2, 3, 4 ó 5, con distribución de probabilidad dada por:

Si quisiéramos estudiar también cuánto distan, es decir a b, tendríamos 6 resultados: 0, 1, 2, 3, 4 ó 5, con distribución de probabilidad dada por: Capítulo 3 Variables aleatorias 3. Definición, tipos En ocasiones de un experimento aleatorio sólo nos interesará medir ciertas características del mismo. En estos casos nos bastará con conocer la distribución

Más detalles

Probabilidad es una manera de indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento futuro

Probabilidad es una manera de indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento futuro Probabilidad es una manera de indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento futuro La probabilidad nos proporciona un modelo teórico para la generación de los datos experimentales Medidas de la Posibilidad

Más detalles

Distribución Normal Curva Normal distribución gaussiana

Distribución Normal Curva Normal distribución gaussiana Distribución Normal La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. La distribución normal tiene grandes aplicaciones prácticas, en

Más detalles

TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES.

TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor

Más detalles

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media

Más detalles

Propiedades en una muestra aleatoria

Propiedades en una muestra aleatoria Capítulo 5 Propiedades en una muestra aleatoria 5.1. Conceptos básicos sobre muestras aleatorias Definición 5.1.1 X 1,, X n son llamadas una muestra aleatoria de tamaño n de una población f(x) si son variables

Más detalles

Pruebas de bondad de ajuste

Pruebas de bondad de ajuste Pruebas de bondad de ajuste Existen pruebas cuantitativas formales para determinar si el ajuste de una distribución paramétrica a un conjunto de datos es buena en algún sentido probabilístico. Objetivo:

Más detalles

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como:

Más detalles

Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas 1

Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas 1 Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas Apellidos, nombre Martínez Gómez, Mónica (momargo@eio.upv.es) Marí Benlloch, Manuel (mamaben@eio.upv.es) Departamento Centro Estadística,

Más detalles

3. VARIABLES ALEATORIAS

3. VARIABLES ALEATORIAS . VARIABLES ALEATORIAS L as variables aleatorias se clasiican en discretas y continuas, dependiendo del número de valores que pueden asumir. Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad

Más detalles

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp. República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015 Función Universidad

Más detalles

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 7 Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas Contextualización Al igual que la distribución binomial, la distribución

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.7: Aproximación de funciones. Desarrollo de Taylor. Aproximación lineal. La aproximación lineal de una función y = f(x) en un punto x = a es la

Más detalles

D.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LAS TEMPERATURAS DE VERANO

D.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LAS TEMPERATURAS DE VERANO Anejo Análisis estadístico de temperaturas Análisis estadístico de temperaturas - 411 - D.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVO El presente anejo tiene por objeto hacer un análisis estadístico de los registros térmicos

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA (PARTE 2)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA (PARTE 2) Probabilidad DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA (PARTE 2) Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved. 4.1-1 EJEMPLO Calcular σ y σ 2 para una variable aleatoria discreta

Más detalles

Distribución muestral de proporciones. Algunas secciones han sido tomadas de: Apuntes de Estadística Inferencial Instituto Tecnológico de Chiuhuahua

Distribución muestral de proporciones. Algunas secciones han sido tomadas de: Apuntes de Estadística Inferencial Instituto Tecnológico de Chiuhuahua Distribución muestral de proporciones Algunas secciones han sido tomadas de: Apuntes de Estadística Inferencial Instituto Tecnológico de Chiuhuahua Distribución muestral de Proporciones Existen ocasiones

Más detalles

Relación de Problemas. Tema 6

Relación de Problemas. Tema 6 Relación de Problemas. Tema 6 1. En una urna hay 5 bolas blancas y 2 negras y se sacan tres bolas sin reemplazamiento. a) Calcular la distribución conjunta del número de bolas blancas y negras de entre

Más detalles

En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =2)

En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =2) UNIVERSIDAD DEL VALLE PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO CONTINUIDAD. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral..- Continuidad en un intervalo. 3.- Operaciones con funciones continuas 4.- Discontinuidades.

Más detalles

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Probabilidad y Estadística Tema 8 Distribución normal estándar y distribuciones relacionadas Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Explicar los conceptos de la distribución

Más detalles

Distribución Normal. Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa. Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

Distribución Normal. Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa. Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta Distribución Normal La distribución normal (O Gaussiana) se define como sigue: En donde y >0 son constantes arbitrarias. Esta función es en realidad uno de las más importantes distribuciones de probabilidad

Más detalles

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad Indice 1) Sucesos aleatorios. Espacio muestral. 2) Operaciones con sucesos. 3) Enfoques de la Probabilidad.

Más detalles

Variables Aleatorias. Introducción

Variables Aleatorias. Introducción Variables Aleatorias Introducción Concepto de variable aleatoria Es conveniente que los resultados de un experimento aleatorio estén expresados numéricamente. Se prueban tres componentes electrónicos,

Más detalles

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

Distribución de Probabilidad Normal

Distribución de Probabilidad Normal Distribución de Probabilidad Normal Departamento de Estadística-FACES-ULA 22 de Diciembre de 2013 Introducción La distribución normal es quizás la distribución de probabilidad para variables aleatorias

Más detalles

Tema 5: Vectores aleatorios bidimensionales.

Tema 5: Vectores aleatorios bidimensionales. Estadística 52 Tema 5: Vectores aleatorios bidimensionales. Hasta ahora hemos estudiado las variables aleatorias unidimensionales, es decir, los valores de una característica aleatoria. En muchos casos,

Más detalles

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas Índice 3 Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas 3.1 3.1 Introducción.......................................... 3.1 3.2 Concepto de variable aleatoria................................

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.4: La derivada y sus propiedades básicas. La Regla de la cadena. El concepto de derivada aparece en muchas situaciones en la ciencias: en matemáticas

Más detalles

Variables aleatorias y probabilidad

Variables aleatorias y probabilidad Capítulo 2 Variables aleatorias y probabilidad Una variable cuyo valor esta determinado por la ocurrencia de una evento aleatorio se denomina variable aleatoria o estocástica. En otras palabras, una variable

Más detalles

Anexo C. Introducción a las series de potencias. Series de potencias

Anexo C. Introducción a las series de potencias. Series de potencias Anexo C Introducción a las series de potencias Este apéndice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias y al desarrollo de una función ne serie de potencias en torno

Más detalles

Distribuciones unidimensionales discretas

Distribuciones unidimensionales discretas Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012 Outline 1 Distribución de Bernouilli de parámetro p 2 3 4 5 6 7 Distribución de Bernouilli de parámetro p Experimento de Bernouilli Es un experimento

Más detalles

Formulario y Tablas de Probabilidad para los Cursos de Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría

Formulario y Tablas de Probabilidad para los Cursos de Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Formulario y Tablas de Probabilidad para los Cursos de Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Ernesto Barrios Zamudio 1 José Ángel García Pérez2 Departamento Académico de Estadística Instituto

Más detalles

Soluciones Examen de Estadística

Soluciones Examen de Estadística Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación 15 de Febrero, 5 Cuestiones horas C1. Un programa se ejecuta desde uno cualquiera de cuatro periféricos A, B, C y D con arreglo

Más detalles

ANÁLISIS DE DATOS MULTIDIMENSIONALES

ANÁLISIS DE DATOS MULTIDIMENSIONALES ANÁLISIS DE DATOS MULTIDIMENSIONALES INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS MULTIDIMENSIONAL DISTRIBUCIONES MARGINALES DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA ESTUDIO ANALÍTICO DE DISTRIBUCIONES

Más detalles

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano. Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta

Más detalles

Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I

Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo II Unidad 4. Probabilidad Conceptos básicos de probabilidad:

Más detalles

JUNIO 2010. Opción A. 1 2 3

JUNIO 2010. Opción A. 1 2 3 JUNIO 2010 Opción A 2 3 1 1.- Sean las matrices: A 0 1 2 y B 5 3 1 Halla una matriz X tal que 2X BA AB. 2 0 1 3 3 2. 1 2 3 2.- La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 2: Representaciones Gráficas Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 2: Representaciones Gráficas Grupo B Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 2: Representaciones Gráficas Grupo B Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Enero 2010 Contenidos...............................................................

Más detalles

x R F (x) := P (X 1 (, x]) = P ({e Ω : X(e) x}) = P (X x) salvo que en este caso esta función es siempre una función continua.

x R F (x) := P (X 1 (, x]) = P ({e Ω : X(e) x}) = P (X x) salvo que en este caso esta función es siempre una función continua. PROBABILIDAD Tema 2.3: Variables aleatorias continuas Objetivos Distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas. Dominar el uso de las funciones asociadas a una variable aleatoria continua.

Más detalles

CAPÍTULO 4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

CAPÍTULO 4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CAPÍTULO 4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo 1 se introdujo el concepto de variable aleatoria cuantitativa asociada a una población, como una característica expresable numéricamente

Más detalles

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos

Más detalles

Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto

Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Octubre 2010 Contenidos...............................................................

Más detalles

(x,y) tiende a (x0,y0), entonces:

(x,y) tiende a (x0,y0), entonces: 5.1Propiedades de los límites para funciones: R 2 R Sean f(x) y g(x) dos funciones reales de variables independientes Si existen los limites de f(x) y g(x) cuando x tiende a x0, entonces: 1. 2. 3. 4. 5.

Más detalles

Cardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.

Cardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable. Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de

Más detalles

Generación de variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa

Generación de variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa Generación de variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa Georgina Flesia FaMAF 16 de abril, 2013 Generación de v.a. discretas Existen diversos métodos para generar v.a. discretas:

Más detalles

Julio Deride Silva. 27 de agosto de 2010

Julio Deride Silva. 27 de agosto de 2010 Estadística Descriptiva Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 27 de agosto de 2010 Tabla de Contenidos Estadística Descriptiva Julio Deride

Más detalles

Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas

Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Tema Las Funciones y sus Gráficas..- Definición de Función y Conceptos Relacionados Es muy frecuente, en geometría, en física, en economía, etc., hablar de ciertas magnitudes que dependen del valor de

Más detalles

4. Medidas de tendencia central

4. Medidas de tendencia central 4. Medidas de tendencia central A veces es conveniente reducir la información obtenida a un solo valor o a un número pequeño de valores, las denominadas medidas de tendencia central. Sea X una variable

Más detalles

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}

N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Números y Funciones.. Números Los principales tipos de números son:. Los números naturales son aquellos que sirven para contar. N = {,,, 4, 5,...}. Los números enteros incluyen a los naturales y a sus

Más detalles

Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística

Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística Estadística y metodología de la investigación Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística 1. Introducción 1 2. Variables aleatorias 1 2.1. Variable

Más detalles

, con 0 x 1, representa la igualdad perfecta en la distribución de los ingresos. Esto es que cualquier punto de la línea indicaría que el

, con 0 x 1, representa la igualdad perfecta en la distribución de los ingresos. Esto es que cualquier punto de la línea indicaría que el Función de Lorenz Decimos que una función continua siguientes condiciones: R L :, es de Lorenz si satisface las ) ) L, L L, para todo x, La función de Lorenz se utiliza para modelar la distribución de

Más detalles

RESUMEN TEÓRICO DE CLASES

RESUMEN TEÓRICO DE CLASES Página 1 RESUMEN TEÓRICO DE CLASES Página 2 Tema 1. Inecuaciones Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos: >; ;

Más detalles

Tema 5. Variables aleatorias continuas

Tema 5. Variables aleatorias continuas Tema 5. Variables aleatorias continuas Cuestiones de Verdadero/Falso 1. Muchas medidas numéricas de diversos fenómenos, como por ejemplo errores de medida o medidas antropométricas, pueden modelarse mediante

Más detalles

3.1 Representación gráfica de curvas bidimensionales.

3.1 Representación gráfica de curvas bidimensionales. Tema 3 Curvas y superficies Versión: 6 de febrero de 29 3. Representación gráfica de curvas bidimensionales. La representación gráfica de una curva en un ordenador es una linea poligonal construida uniendo

Más detalles

Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes

Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes 1. Sucesiones DEF. Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo dominio es N y su imagen un subconjunto

Más detalles

NOCIONES PRELIMINARES (*) 1

NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras

Más detalles

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las

Más detalles

5. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS MOMENTOS

5. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS MOMENTOS 5. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS MOMENTOS Una variable aleatoria Objetivos Introducir la idea de una variable aleatoria y su distribución y sus características como la media, la varianza, los cuartíles etc.

Más detalles

T1. Distribuciones de probabilidad discretas

T1. Distribuciones de probabilidad discretas Estadística T1. Distribuciones de probabilidad discretas Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada Inferencia estadística: Parte de la estadística que estudia grandes colectivos a partir de

Más detalles