Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias

Transcripción

1 Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Noviembre 2010 Contenidos Variables Aleatorias 3 Variable Aleatoria Función de Distribución Distribución Discreta de Probabilidad 6 Variable Aleatoria Discreta Distribución de Probabilidad Contínua 8 Variable Aleatoria Continua Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales 10 Variables Aleatorias Bidimensionales Bidimensional Discreta Bidimensional Contínua Distribuciones Marginales Distribuciones Condicionadas Independencia de Variables Aleatorias

2 Contenidos Variables Aleatorias. Discretas y Contínuas. Distribución Discreta de Probabilidad. Distribución de Probabilidad Contínua. Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales. Distribuciones Marginales y Condicionadas. Independencia. El cálculo de probabilidades utiliza variables numéricas que se denominan aleatorias, porque sus valores vienen determinados por el azar. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 2 / 16 Variables Aleatorias 3 / 16 Variable Aleatoria Definición: Sea un experimento E y S el espacio muestral asociado con el experimento. Una función X que asigne a cada uno de los elementos s S, un número real X(s), es una Variable Aleatoria. X : S R Si una Variable Aleatoria toma un número finito o numerable de valores, x 1,x 2,...,x n,..., se denomina Variable Aleatoria Discreta. En caso contrario, se denominará Variable Aleatoria Continua. Propiedad: Para todo intervalo I R, {X I} es un suceso, {X I} = {s S : X(s) I} = X 1 (I) Entonces, para las variables aleatorias tiene sentido el preguntarse por la probabilidad: P(X I). El intervalo I puede ser abierto, cerrado, semiabierto,, reducido a un punto, acotado, ilimitado o todo R. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 4 / 16 2

3 Función de Distribución Para cada Variable Aleatoria, podemos definir la función, F(x) = P(X x), con x R. Esta función se conoce como Función de Distribución, de la variable aleatoria X. Algunas propiedades inmediatas de la Función de Distribución son: F() = 0 y F(+ ) = 1. La función de distribución es creciente: Si x 1 x 2, entonces F(x 1 ) F(x 2 ). P(a < X b) = F(b) F(a). F es continua por la derecha. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 5 / 16 3

4 Distribución Discreta de Probabilidad 6 / 16 Variable Aleatoria Discreta Una Variable Aleatoria, se dirá Discreta, cuando toma un número finito o numerable de valores, x 1,x 2,...,x n,..., cada uno de ellos con probabilidades p 1,p 2,...,p n,... Entonces se tendrá: i=1 n p i = 1, i=1 p i = lim n n p i = 1, según se tome un número finito o infinito numerable de valores distintos. El conjunto de valores de X junto con sus probabilidades se llamará Función de Probabilidad, de X, f, y se puede representar gráficamente mediante un diagrama de barras. i=1 f(x i ) = P(X = x i ) = p i f(x i I) = P(X I) = x i I p i Variable Aleatoria Discreta Probabildad X La Función de Distribución de la variable aleatoria X es: F(x) = P(X x) = x i x P(X = x i ) = x i x p i, y su representación gráfica es mediante un diagrama de frecuencias acumuladas. Función de Distribución V. A. Discreta Probabilidad X Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 7 / 16

5 Distribución de Probabilidad Contínua 8 / 16 Variable Aleatoria Continua Se dice que X es una Variable Aleatoria Contínua si existe una función, f, denominada Función de Densidad, que satisface las siguientes condiciones: f(x) 0 para todo x. f(x)dx = 1. Para a y b, tales que < a b <, Una consecuencia de lo anterior implica que: P(a X b) = P(X = x i ) = xi b a f(x)dx. x i f(x)dx = 0. Y por lo tanto las siguientes probabilidades son todas iguales: P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) Siendo X una Variable Aleatoria Contínua, la Función de Distribución de la variable X será, F(x) = P(X x) = x Como consecuencia de esta definición, tendremos: P(a < X < b) = F(b) F(a). f(s)ds, para < x <. f(x) = df(x) dx, siendo f(x) la Función de Densidad, e interpretándose f(x) como la probabilidad por unidad de longitud. Distribución Normal: µ = 0, σ = 1 Distribución Normal: µ = 0, σ = 1 Función de Densidad Probabilidad Acumulada x x Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 9 / 16 5

6 Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales 10 / 16 Variables Aleatorias Bidimensionales Una Variable Aleatoria Bidimensional, (X,Y ), es una par de variables aleatorias, las cuales constituyen una función de S en R 2. Según X e Y sean contínuas o discretas, la variable bidimensional, será contínua o discreta. Recordemos una tabla de frecuencias relativas en el caso de una variable bidimensional discreta. X \ Y y 1... y j... y l Totales x 1 f f 1j... f 1l f x i f i1... f ij... f il f i..... x m f m1... f mj... f ml f m Totales f 1... f j... f l 1 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 11 / 16 6

7 Bidimensional Discreta El par X,Y ) constituye una Variable Aleatoria Bidimensional Discreta, si el número de posibles valores de (X,Y ) es una cantidad finita o finita numerable. (x i,y j ) i = 1,...,m; j = 1,...,l Para cada valor posible (x i,y j ) podemos asociar un número p i,j = P(X = x i,y = y j ), Función de Probabilidad Conjunta, que satisface: p i,j 0, (x i,y j ). i j p i,j = 1. P((X,Y ) I J) = P(X I,Y J) = p i,j, x i I,y j J. F(x,y) = x i x y j y p i,j, Función de Distribución. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 12 / 16 Bidimensional Contínua Para una Variable Bidimensional Contínua, se define la Función de Densidad Conjunta, f(x,y), satisfaciendo las siguientes propiedades: f(x,y) 0, (x,y) R 2. R 2 f(x,y)dxdy = 1. P((X,Y ) I J) = I J f(x,y)dxdy, I J R2. Para la Variable Aleatoria bidimensional (X,Y ) se define su Función de Distribución: F(x,y) = P(X x,y y) = x y f(u, v)dudv, donde f resulta ser la Función de Densidad, si la Función de Distribución tiene derivadas segundas se cumplirá que: 2 F(x,y) = f(x,y) x y Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 13 / 16 7

8 Distribuciones Marginales Las Distribuciones Marginales de X e Y, están dadas por: Caso discreto: f(x, ) = g(x) = y f(x,y); f(,y) = h(y) = x f(x,y). Caso contínuo: f(x, ) = g(x) = f(,y) = h(y) = f(x,y)dy. f(x,y)dx. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 14 / 16 Distribuciones Condicionadas La distribución condicional de la variable aleatoria Y, cuando X = x, viene dada por: h(y x) = f(x,y), para g(x) > 0. g(x) La distribución condicional de la variable aleatoria X, cuando Y = y, viene dada por: g(x y) = f(x,y), para h(y) > 0. h(y) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 15 / 16 8

9 Independencia de Variables Aleatorias Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o contínuas, con Distribución de Probabilidades f(x,y) y Distribuciones marginales g(x), h(y), diremos que X e Y son estadísticamente independientes si y sólo si, f(x,y) = g(x) h(y), para todo (x,y) en su dominio de definición. En caso contrario serán dependientes. Este concepto se puede generalizar para el caso de n variables aleatorias. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 3, Unidad 2 16 / 16 9