Ejercicios para auto evaluación Variables continuas y Teorema de Límite Central

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1 Ejercicios para auto evaluación Variables continuas y Teorema de Límite Central Enero Sea f(u) = ce u, u R. Determine el valor de c para que f sea una función de densidad de probabilidad y calcule la función de distribución asociada, el valor esperado y la varianza. 2. La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina es una variable aleatoria con función de densidad { : x > 00 f(x) = x 3 0 : en otro caso. Encuentre la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de a) al menos un año. b) cualquier duración entre uno y dos años. Determine la vida útil esperada, en años, de un frasco de esta medicina. 3. El número total de horas, medidas en unidades de 00 horas, que una familia utiliza en la conexión con Internet en un período de un mes es una variable aletoria continua X que tiene la función de densidad f(x) = x : 0 < x < 2 x : x < 2 0 : en otro caso Encuentre la probabilidad de que, en un período de un mes, una familia utilice la conexión al menos 20 horas. Calcule la tasa de uso diario de conexión por familia. 4. El tiempo de vida de ciertos transistores tiene una distribución exponencial, con parámetro θ =,2 0 8 seg. Si utilizamos 4 de estos transistores, Cuál es la probabilidad de que, luego de un año, al menos la mitad de ellos sigan funcionando?. Si en vez de 4 utilizamos 4000, proponga un método para estimar la misma probabilidad.

2 5. Un juego se llama justo cuando la esperanza de la ganancia de los participantes es cero. La flecha lanzada por un arquero experto caerá a una distancia de R pies del centro de un blanco. Se paga 5$ como entrada para participar en un juego cuyas reglas son las siguientes: Si R < 0,2 pies, el participante recibe 50$. Si 0,2 R < 0,5 pies, el participante recibe 0$. Si 0,5 R < pies, el participante no recibe ningún pago y, finalmente, si R pies, el participante debe pagar x dólares a la casa (adicionales a los cancelados a la entrada). Si R tiene densidad f(r) = re 2 r2, r > 0. Cuánto debe valer x para que el juego sea justo?. 6. A través de una encuesta se quiere estimar la fracción p de adultos de la población que se interesaría en un nuevo producto. Se interroga a n personas de la población, y se estima p como p = X/n, siendo X el número de personas encuestadas que manifiestan interés en el producto. Utilizando el Teorema del Límite Central, y suponiendo que el verdadero valor de p es 0.35, encuentre, aproximadamente, el menor valor de n para el cual p y p difieren en menos de 0.02, con probabilidad mayor que 0.9. Cómo resolvería el problema en el caso (realista) en que p es desconocido? 7. Escriba condiciones acerca de las v.a. X e Y de manera que las siguientes afirmaciones sean ciertas: V ar(x + Y ) = 2V ar(x) E(X + Y ) = 3E(X) 8. Si las variables aleatorias X e Y cumplen σ 2 X = Var X = y σ2 Y = Var Y = 2, (a) Cuanto debe valer ρ X,Y para tener Var(X + Y) = 5? (b) Pruebe que Var(X + Y) no puede ser igual a 6. (c) Cuál es el rango de valores posibles para Var(X + Y)? 9. Demuestre que si X N(0, ) entonces Y = σx + m N(m, σ 2 ) y si Y N(m, σ 2 ) entonces X = Y m σ N(0, ). 0. Sea X es una v.a. con distribución Gamma de parámetros n y λ, n y λ > 0. Es decir, X tiene función de densidad f(x) = siendo Γ la función gamma definida por Γ(n) = λn Γ(n) xn e λx, x > 0, Demuestre que E(X) = n λ y V ar(x) = n λ u n e u du.

3 . Dé tres diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. 2. Un dado es lanzado veces. Use el teorema del límite central para hallar los valores de a y b tal que P (900 < S < 2200) b donde S es el número total de seis lanzados. a 2π e 2 x2 dx, 3. Tomamos 00 números al azar (uniformemente) en el intervalo (0,2). (a) Utilize la desigualdad de Chebyshev para estimar la probabilidad de que el promedio X de estos números se encuentre entre 0.9 y.. (b) Utilize el Teorema del Límite Central para aproximar la misma probabilidad de la parte (a). Según la aproximación que nos dá el T.L.C., Cuánto debe ser ɛ para que X se encuentre en el intervalo ( ɛ, + ɛ) con probabilidad En un instante cualquiera, la relación Señal a Ruido, Z, en uno de los receptores de un sistema de comunicaciones, puede modelarse (aproximadamente) como una variable aleatoria con densidad doble exponencial: f Z (z) = a exp( a z b ), z (, ), siendo a y b parámetros sobre los 2 cuales, el diseñador del sistema tiene cierto control. Si b = 00, hallar el mínimo valor del parámetro a para que la relación S/R caiga por debajo de 50 menos del 5 % del tiempo. 5. Dos máquinas son utilizadas en el proceso de producción de ciertas piezas para motores. Llamemos D al diámetro de las piezas producidas. Cuando se utiliza la máquina I, D puede considerarse una variable aleatoria normal, con media µ = 0,0 cm y desviación standard σ = 0,08 cm, mientras que, al usar la máquina II, D es normal con parámetros µ 2 = 9,9 cm y σ 2 = 0,033. Las piezas producidas deben ser completamente desechadas cuando su diámetro resulta inferior a 9.8 cm. Cuál de las dos máquinas es preferible en el sentido de producir un menor % de piezas que deban ser desechadas? 6. Si la variable aleatoria X tiene función de distribución continua y estrictamente creciente F, demuestre que (a) Y = F (X) es una variable Unif (0, ), y (b) Si Y Unif (0,), entonces Z = F (Y ) tiene función de distribución acumulativa F. 7. Una partícula se mueve, en la dirección del eje x, con velocidad V, que se distribuye N(0, ). Hallar la densidad de probabilidad correspondiente a su energía cinética, E c = 2 m V 2. 3

4 8. En condiciones de descuido severo y humedad excesiva, sobre la superficie de un CD, de radio ρ cms, aparece una mancha producida por un hongo. La mancha daña el contenido del CD, si su distancia R al centro del CD cumple ρ < R < ρ 2, siendo ρ y ρ 2 radios comprendidos entre 0 y ρ, que definen la región sobre la cual se guarda información. Suponga, por simplicidad, que el disco no tiene un agujerito en el centro. Si la mancha aparece al azar (con distribución uniforme) sobre la superficie del disco, (a) Hallar la probabilidad de que la información en el mismo resulte dañada. (b) Hallar la densidad de probabilidad de la coordenada X del punto sobre el disco donde aparece la mancha (tome el centro del disco como origen en su sistema de coordenadas). (c) Hallar la densidad condicional f(y x) para la coordenada Y cuando se conoce la coordenada X del punto donde aparece la mancha. 9. Demuestre que, el par (X, Y ) tiene distribución uniforme sobre el rectángulo (a, b) (c, d) si, y solo si, las variables X e Y son independientes, X Unif (a, b) y Y Unif (c, d). 20. En condiciones ideales, la temperatura T, presión S y volumen V, de un gas, están relacionados mediante T = α S V, siendo α una constante de proporcionalidad. Si S y V son variables aleatorias con densidad conjunta: { si s, v f(s, v) = s 2 v 2 0 en otro caso Determinar la densidad de la variable T. 2. Los tiempos de vida, X,..., X n de n circuitos integrados que forman parte de un módulo, son variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro λ =,2 0 2 seg. Hallar la distribución de la variable correspondiente al tiempo en que, por vez primera, se daña uno de los circuitos. 22. Sean X, Y v.a. independientes con distribuciones Gamma(s, λ) y Gamma(t, λ) respectivamente. Use la fórmula de convolución para encontrar la distribución de Z = X + Y. 23. Sean X, Y v.a.i.i.d con distribución exponencial de parámetro. Cómo se distribuye X/(X + Y )?. 24. Suponga que X, Y son independientes y obtenga las siguientes fórmulas: f X+Y (z) = f X (u)f Y (z u)du f XY (u) = f X (x)f Y (u/x) x dx 4

5 f X/Y (v) = f X (vy)f Y (y) y dy 25. Demuestre que si X, Y son exponenciales independientes con parámetros µ, λ respectivamente, entonces la distribución del mínimo es también exponencial. Determine su parámetro. 26. Sean X,... X n v.a.i.i.d con función de densidad común f(x). Sean U, V el mínimo y el máximo de la muestra. Pruebe que la densidad conjunta de (U, V ) es n(n )f(u)f(v)(f (v) F (u)) n 2, y calcule las marginales (aquí F = f) para u < v 27. Cada uno de los 5 focos de una sala de terminales tienen tiempo de vida exponencial, con esperanza de vida de 80 días. Hallar la probabilidad de que al cabo de 8 meses a partir de su instalación, al menos 3 de los focos sigan funcionando. 28. Considere el punto aleatorio (X, Y ) con distribución normal bivariada y coordenadas independientes. Sea (R, Θ) las coordenadas polares del punto aleatorio. Identifique la distribución marginal de R 2 y Θ. 29. Si (X, Y ) tienen densidad conjunta { e y para 0 < x < y < f(x, y) = 0 si no. Encuentre E[X Y = y] y E[Y X = x]. 30. Sean X, Y v.a. independientes con distribución gamma de parámetros (n, β) y (m, β) respectivamente. Considere las variables U = X + Y V = X X + Y Demuestre que U, V son independientes y calcule sus distribuciones. Deduzca la curiosa identidad válida para este caso [ ] X E = X + Y E[X] E[X] + E[Y ] 3. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con distribución Normal Bivariado: f(x, y) = 2π ( ρ 2 ) exp( 2( ρ 2 ) (x2 2ρxy + y 2 )) para x, y R donde ρ. Verifique que: 5

6 a) X se distribuye N(0,). b) X dado Y = y se distribuye N(ρy, ρ 2 ). c) E(X Y = y) = ρy. d) X, Y son independientes si y sólo si son incorrelacionadas. e) Si X, Y independientes entonces X/Y tiene distribución Cauchy, es decir, su densidad es π(+x 2 ). 32. Se toma un punto (X, Y ) al azar en el triángulo de vértices (0, 0), (0, 2) y (, ). Probar que E(Y X = x) no depende de x. Son X e Y independientes?. 33. Debido a la variabilidad en el proceso de producción, la tasa de vida Γ, de los amplificadores producidos por una fábrica tiene distribución N(µ, σ 2 ) con µ =, seg /2 y σ 2 =, 0 6 seg. A su vez, el tiempo de vida T, de un amplificador con tasa de vida Γ, tiene distribución exponencial de parámetro λ = Γ 2 seg. Hallar el tiempo de vida promedio (en meses) de los amplificadores producidos por esta fábrica. 34. La variable aleatoria X tiene f.d.a. F (x) = x r, 0 x, siendo r un número natural. Dado X = x, la variable Y tiene una distribución Bin(n, x). (a) Hallar E(Y ). (b) Hallar la f.d.p. de Y. Para esto puede necesitar la integral conocida como función β: Si i y j son números naturales, se tiene 0 x i ( x) j dx = i! j! (i + j + )!. 35. El número de llamadas que llegan a la central telefónica de Sartenejas en un minuto, es, en promedio, 0 2. La central puede manejar un máximo de 0 3 llamadas, colapsando si recibe mas de este número de llamadas en un minuto. Usar la desigualdad de Chebyshev para estimar la probabilidad de que la central colapse en un minuto dado. 36. En la fábrica del problema anterior, supóngase que los amplificadores con Γ < 7,5 0 3 seg /2 son rechazados por control de calidad. (a) Use la desigualdad de Chebyshev para estimar el % de amplificadores rechazados. (b) Calcule la misma probabilidad de la parte (a) usando la tabla de la distribución normal. Explique la discrepancia de los resultados. 6