PROBABILIDADES (TELE-00031)

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Francisco José David Cano Sosa
hace 6 años
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1 PROBABILIDADES (TELE-0003) Tema. Variable aleatoria en una dimensión Abril 06. La unción de probabilidad de la variable aleatoria discreta N viene dada por N n p (n) = K.r, n = 0,,.... Calcule el valor de K si 0 < r <.. Determine el valor de la constante A para que la siguiente sea una unción de densidad de probabilidad: i = A3 i,3,,7,... i P( = i) A 4 i =,4,6,8,... 0 enotrocaso 3. Se tienen dos cajas numeradas y. La caja contiene 7 pelotas rojas y pelotas amarillas mientras que la caja contiene 0 pelotas rojas y 6 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis. Si N es menor que se extraen pelotas de la caja, en caso contrario se extraen pelotas de la caja. Sea el número de pelotas rojas extraídas. Calcule la unción de distribución acumulativa de probabilidades y la unción de densidad de probabilidades de la variable aleatoria. 4. El número de extracciones necesarias para obtener el primer objeto deectuoso es una variable aleatoria con unción de probabilidad j P( = j) = 0.0(0.9), j =,,.... Cuál es la probabilidad de que sea necesario examinar a lo sumo 3 objetos antes de obtener el primer deectuoso?. Se lanza un dado n veces y se observa en cuál de los lanzamientos sale el número 3 por primera vez. a. Deina la variable aleatoria de interés b. Construya la unción de probabilidad c. Construya la unción de distribución acumulada 6. La unción de densidad de probabilidades de una variable aleatoria viene dada por la siguiente gráica Pro. José Luis Quintero

2 Calcule a. k y k si se sabe que P( >.) = 0.7 b. F(x) 7. La unción de distribución acumulativa de probabilidades de una variable aleatoria Y viene dada por Calcule 0 y < 0 3y 0 y < F(y) 0 Y. my + b y < k y k a. Los valores de m, b y k tal que P { Y } = 0.4 y { } b. El valor esperado de Y P Y > 3 = La unción de distribución acumulativa de una variable aleatoria viene dada por 0 x < 0 ax 0 x < 3 F(x) x <. 4 3 bx + x < 4 x Si se conoce que { } 4 a. Los valores de a y b b. P { < < } P >./ <. =, calcule P = = y { } 9. Una variable aleatoria continua tiene la siguiente unción de distribución acumulada: 0 x ax + b < x 3 F(x) x 4 <. cx + d 4 < x 6 x > 6 Calcule a. Los valores de a, b, c y d b. (x) 0. Sea Y una variable aleatoria cuya unción de distribución acumulativa viene dada por 0 y < 0 0 y < 8 F(y) Y. ay + y < 4 y P Y < 3 =, calcule E Y/Y 8. Si { }. La mediana de una distribución de una variable aleatoria es un valor de x tal que P < x y P { x}. Si este valor es único, se le llamará la mediana de la distribución. { } Calcule la mediana de las siguientes distribuciones: 4! x 3 4 x ( )( ) x = 0,,,3,4 a. x!(4 x)! 4 4 = 0 otro caso b. < < 3x 0 x 0 otrocaso Pro. José Luis Quintero

3 =, x R π ( + x ) c.. La moda de una distribución de una variable aleatoria es el valor de x que maximiza la unción de densidad. Si este valor es único, representa la moda de la distribución. Calcule la moda de las siguientes distribuciones: x ( ) x =,,3,... a. 0 otro caso b. c. < < x( x) 0 x 0 otro caso x > xe x 0 0 x 0 3. Sea 0 < p <. Un (00p) ésimo percentile de la distribución de una variable aleatoria es un valor único p λ tal que P { < λp} p y P { p} distribución con unción de densidad λ p. Determine el 0 ésimo percentil de la 3 < < 4x 0 x 0 otrocaso 4. Sea una variable aleatoria tal que E ( t) existe para todo t real. Determine el mínimo de (t) = E ( t) y establezca conclusiones al respecto.. Sea una variable aleatoria con distribución continua cuya densidad es positiva si 0 < x < b, siendo b un número real positivo. Pruebe que b E = F(x) dx, 0 donde F(x) es la unción de distribución de. 6. Sea una variable aleatoria continua con unción de densidad (a b + ) 0 x a (x) (a b + ) b x, 0 < a < b. 0 otro valor a. Halle la unción de distribución acumulada b. Qué condiciones deben cumplir a y b para que el valor esperado de sea igual a ½? 7. Sea una variable aleatoria cuya unción de distribución acumulativa de probabilidades viene dada por 0 x < 0 F(x) a + bx + cx 0 x <. x Se sabe además que i) { } a. Determine el valor de las constantes a, b y c 4 P > 0 = ii) F(x) es continua en x = iii) E() = 3 9 Pro. José Luis Quintero 3

4 b. Obtenga la unción generadora de momentos de evaluada en, es decir, m () c. Calcule (/ > ) 4 8. Sea una variable aleatoria discreta con unción de probabilidad (x) positiva en los puntos x =, 0,. Si (0) = y E() =, halle ( ), () y V() Suponga que la variable aleatoria continua representa el interés (en tanto por uno) que genera una acción en bolsa en una jornada elegida al azar con unción de densidad k(x + ) < x < 0 k( x) 0 x <. 0 otro caso a. Calcule el valor de k b. Halle la unción de distribución acumulada 0. Sea una variable aleatoria cuya unción de densidad de probabilidades (x) viene dada por 0 x < b x = a(x + ) < x < a x a( x) < x < b x = 0 x > Se sabe además que la probabilidad de que sea menor que, dado que es mayor a cero, es igual a ¼. a. Calcule los valores de a y b b. Determine (x/x ). El tiempo de vida útil (representado por la variable aleatoria Z) de un cierto tipo de diodo sigue una distribución probabilística. De la variable aleatoria Z se sabe que 0 z < 0 z e 0 z < a (z) Z ; E be z = a Z = e z e z > a a. Determine los valores de las constantes a y b b. Calcule el valor de m( Z ), donde m(t) Z es la unción generadora de momentos de Z. Sea una variable aleatoria con unción de densidad x si x <. 0 otrocaso Obtenga F(x/ > ). 3. Sea una variable aleatoria que representa el diámetro de un cable eléctrico con unción de densidad 6x( x) 0 x. 0 otro caso Pro. José Luis Quintero 4

5 a. Veriique que (x) es una unción de densidad b. Encuentre la unción de distribución acumulada F(x) c. Encuentre un número b tal que P { < b} = P { > b} d. Calcule P { < < } Sea una variable aleatoria continua con unción de densidad dada por kx 0 < x k < x k(3 x) < x < 3 0 en otro caso Encuentre la varianza de.. En una caja hay 4 ichas marcadas con los números 3, 4, y 6 respectivamente. La variable aleatoria es la suma de los números de dos ichas tomadas al azar sin reemplazo. Halle la unción de densidad y la unción de distribución de. 6. Sea una variable aleatoria Y de tipo mixto cuya unción de densidad de probabilidades viene dada por la gráica siguiente: 43 Se sabe además que E[Y] = y F() 30 Y = 0.3. Calcule a. los valores de a, b y c b. la unción de distribución acumulativa de probabilidades 7. La unción de distribución acumulativa de probabilidades de una variable aleatoria Y viene dada por 0 y < 0 y e 0 y < 0. F(y) Y 0.y y < y Calcule la varianza de Y. Pro. José Luis Quintero

6 8. Sea Y una variable aleatoria cuya unción de densidad viene dada por k < y < Y(y) k < y < 6 0 y > 4 y el evento A { Y } = >. Calcule ( /A). Y 9. Sea Y una variable aleatoria cuya unción de densidad viene dada por y cye y 0 Y(y) 0 y < 0 a. Encuentre el valor de c b. Obtenga el valor esperado y la varianza de Y c. Obtenga la unción generadora de momentos de Y 30. Sean Y una variable aleatoria continua con unción de distribución F(y) Y y unción de densidad Y(y) y c una constante real. Demuestre que E(YY c) = F(c) + y (y)dy Y. Y c E E. 3. Si la varianza de una variable aleatoria existe, pruebe que ( ) 3. Sea una variable aleatoria tal que P { 0} 0 desigualdad de Markov para probar que { } =. Se supone que µ = E P µ. existe. Use la 33. Sea una variable aleatoria continua no negativa tal que µ = E, m es la única mediana de la distribución de y F(x) es su unción de distribución. Pruebe que a. µ m b. F(x) x E x. = 34. Sea una variable aleatoria tal que E = 3 y E 3. Use la desigualdad de Chebyshev P < < 8. para determinar una cota inerior para { } 3. Sean una variable aleatoria tal que µ = E y σ = V y k > 0 una constante real. Pruebe que { µ kσ} P k Pro. José Luis Quintero 6

7 0 [] K = r [] A = 3 RESPUESTAS [3] F(x) = U(x) + U(x ) + U(x ), = δ (x) + δ(x ) + δ(x ) x < 0 x 0 x < [6] a. k =, k = b. F(x) x 4 = 30 + < 7 [7] a. m = 0.4, b = 0.4, k = b. [8] a. a, b = = b. { } 8 P < < = x x x x > 4 0 y < 0 Y(y) = < < 3 0 y < 0 y 49 0, E Y = y y 3 < x 3 3 [9] a. a =, b =, c =, d = b. 4 < x 6 0 otrocaso [0] 7 E Y/Y = [] a. b. 3 6 c. 0 [] a. b. 3 [4] Mínimo = E(), (E()) = V() b b b b b [] E = F(x) dx = b F(x)dx = b x.f(x) + x dx = x dx x < 0 x 0 x a a b+ a [6] a. F(x) a < x < b a b+, 0 < a < b x (b a) b x a b+ x > [7] a. a = b 0 3 = 3 b. a + b = 0 otrocaso c = b. m () = c. 3 (x/ > ) = 4 3 x < x < 4 0 x (x + ) < x < 0 7 [8] ( ) = () = V() = [9] a. k = b. F(x) ( x) 0 x < x [0] a. a = /8, b = /6 b. x ( x) < x < (x/x ) x = 0 otro caso c. Pro. José Luis Quintero 7

8 0 x x + 4x + < x < [] a. a =, b = b. m( Z ) = e [] F(x/ > ) = x x + 4x x < < x [4] 4 [] = δ(x 7) + δ(x 8) + δ(x 9) + δ(x 0) + δ(x ) 4 F(x) = U(x 7) + U(x 8) + U(x 9) + U(x 0) + U(x ) [34] Pro. José Luis Quintero 8

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