Ejercicio 1. Ejercicio 2

Transcripción

1 Guía de Ejercicios Ejercicio. Calcular los momentos de primer y segundo orden (media y varianza) de una variable aleatoria continua con distribución uniforme entre los límites a y b.. Sabiendo que la función rand() de Matlab/Octave devuelve una variable aleatoria uniforme entre 0 y, escriba un algoritmo para dichos programas que permita generar una variable aleatoria uniforme a la que se le pueda especificar la media y la varianza deseadas. Ejercicio. Genere N muestras de una variable aleatoria uniforme entre a y b.. Calcule la media y la varianza muestrales y compárelas con las teóricas. 3. Construya y represente el histograma que aproxima la fdp. Normalice el histograma para que tenga área y compare la función obtenida con la función de densidad de probabilidad teórica. Ejercicio 3 Z es una variable uniforme en [0, ]. Obtener la transformación g( ) tal que X = g(z) sea:. una variable exponencial de parámetro λ,. una variable de Rayleigh de parámetro α. Ejercicio 4. Genere N muestras de una variable aleatoria exponencial de parámetro λ f X (x) = λe λx x 0. Calcule la media y la varianza muestrales y compárelas con las teóricas. 3. Construya el histograma que aproxima la fdp. Compare con la gráfica teórica de la fdp. Ejercicio 5. Genere N muestras de una variable aleatoria de Rayleigh de parámetro α f X (x) = x α e x /α x 0. Calcule la media y la varianza muestrales y compárelas con las teóricas. 3. Construya el histograma que aproxima la fdp y compare con la gráfica de la fdp teórica.

2 Ejercicio 6 Sea Y = X + N, con X y N variables aleatorias independientes.. Demostrar que f Y (y) = f X (y) f N (y),. Demostrar que f Y/X (y/x) = f N (y x), 3. Si X {0, } es una variable aleatoria Bernoulli con P (X = 0) = p 0 y P (X =) = p, expresar y representar f Y (y) y f Y/X (y/x). Ejercicio 7 En este problema se desea analizar la función de densidad de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias. Para ello realice el siguiente experimento computacional:. Genere N muestras de una variable aleatoria uniforme X y N muestras de otra variable aleatoria uniforme X. El soporte de ambas variables es el intervalo [, ].. Utilizando las muestras anteriores, obtenga las muestras de X 3 = X + X, y de X 4 = X + X. 3. Construya el histograma de X 3 y X Verifique que la f X3 (x) es la integral de convolución de f X (x) con f X (x). Qué puede decir de f X4 (x)? 5. Repita los puntos a 4 cuando X es una variable uniforme en el intervalo [, ], y X es una variable uniforme en el intervalo [, ]. Ejercicio 8 Sea X una variable aleatoria discreta. Demuestre que Var(X) = 0 P {X =E [X]} = Ejercicio 9 Sea X un vector aleatorio discreto de media µ X y cuya matriz de covarianza es C X. Demuestre que C X es una matriz singular sí, y sólo sí, existe un vector determinístico z tal que P { z T (X µ X )=0 } =. Ejercicio 0 Analice las siguientes matrices e indique si pueden ser o no matrices de covarianza asociadas a algún vector aleatorio: ,30 0,489 M = 4 3 M = M 3 = ,489 0,6799

3 Ejercicio Un vector aleatorio (X, Y ) posee una función masa de probabilidad como se muestra en las siguientes figuras, donde los puntos son equiprobables. / y y x x (a) (b) Los puntos en la Figura (a) son los mismos que los de la Figura (b) tras haber realizado una rotación de 45. Para ambos casos, calcule p Y X y p Y para determinar si las variables aleatorias son independientes. Ejercicio Se tiene un vector aleatorio X = [X X ] T cuya distribución es Gaussiana con media µ X y matriz de covarianza C X.. Utilizando un cambio de variables, genere un vector aleatorio Y = [Y Y ] T cuyas variables estén descorrelacionadas y tengan media nula.. Demuestre que los autovalores de la matriz C Y son proporcionales a la longitud de los ejes mayores y menores de la cuádrica: Y a + Y a = 3. Qué sucede si la matriz de correlación C Y es singular? Ejercicio 3 Sean X, X... X N variables aleatorias conjuntamente Gaussianas cuya matriz de covarianza es C = {C ij } N N.. Calcular la varianza de la variable aleatoria Y = a X + a X + + a N X N donde a i son coeficientes reales tales que el vector a = [a... a N ] tiene norma unitaria.. Sea C = [ 3 3 Determine el máximo y el mínimo valor posible de la varianza de Y cuando a recorre el círculo unitario. Ejercicio 4 El propósito de este ejercicio es demostrar que la distribución de probabilidad conjunta de un vector de variables i.i.d. Gaussianas es invariante a rotaciones o, lo que es lo mismo, la densidad Gaussiana es esféricamente invariante. 3 ]

4 Sea X = [X X N ] T un vector aleatorio Gaussiano de media cero con matriz de covarianza C X. Sea A una matriz no singular de N N. Defina un nuevo vector aleatorio Y = AX.. Obtenga la media y la matriz de covarianza de Y. Tiene Y una distribución Gaussiana?. Suponga ahora que C X = σ I N, donde σ > 0 e I N es la matriz identidad de orden N, y que A es una matriz ortogonal. Obtenga la función de distribución de Y y compárela con la de X. Qué conclusiones puede elaborar? Ejercicio 5 Sean X e Y variables aleatorias independientes, normales, de media nula y varianza σ. Demostrar que en la transformación X = R cos φ, Y = R sen φ, R y φ son variables de Rayleigh y uniforme, respectivamente. Ejercicio 6. Genere N muestras de una variable aleatoria normal de media nula y varianza σ utilizando el cambio de variable X = R cos φ donde R es una variable Rayleigh y φ, una variable uniforme entre 0 y π.. Qué sucede si se usa la misma realización de la variable aleatoria uniforme para generar las variables aleatorias R y φ? 3. Calcule la media y la varianza muestrales, y compárelas con las teóricas. 4. Construya y represente el histograma que aproxima la f X (x). Normalice el histograma para que tenga área y compare la función obtenida con la función de densidad de probabilidad teórica. Ejercicio 7 Un vector aleatorio X cuya distribución es Gaussiana multivariable posee las curvas de nivel que se muestran en la figura de la derecha.. Es posible estimar gráficamente la media, las varianzas y el coeficiente de correlación? En caso afirmativo, encuentre dichos parámetros.. Imagine los valores particulares de cinco realizaciones de este vector. 3. Pueden existir realizaciones más allá de la última elipse de concentración? Justifique

5 Ejercicio 8 Sea X = [X X ] T un vector aleatorio normal cuya media y matriz de covarianza tienen las siguientes representaciones: [ ] m = [m m ] T σ C = ρσ σ ρσ σ σ. Genere N muestras de X utilizando diferentes valores del coeficiente de correlación ρ = {0; 0,5; 0,95; 0,5}.. Para cada valor del coeficiente de correlación, graficar las curvas de densidad de probabilidad constante en el plano X, X y las muestras del vector obtenidas en la simulación. 3. Para cada valor del coeficiente de correlación, estimar el vector m y los elementos de la matriz de covarianza, comparándolos con los valores teóricos. 5