Función Característica

Transcripción

1 Germán Bassi 21 de marzo de Variable Aleatoria Continua Para una variable aleatoria escalar y continua X, la función característica se define como el valor esperado de e jωx, donde j es la unidad imaginaria, y ω R es el argumento de la función característica: E [ e jωx] Valor esperado de la función e jωx = f X (x) e jωx dx. Transformada de Fourier de f X (x) (con el signo cambiado) Dado que existe una correspondencia uno a uno entre la función de densidad de probabilidad y la función característica, siempre es posible encontrar una de ellas si se conoce la otra. La fórmula anterior nos permite calcular Φ X (ω) cuando conocemos la función de densidad de probabilidad f X (x). Si, por el contrario, conocemos la función característica Φ X (ω) y deseamos encontrar la función de densidad de probabilidad correspondiente, tendremos que utilizar alguno de los teoremas de inversión. Uno de ellos se basa en la definición de Φ X (ω) como la transformada de Fourier de f X (x), por lo que, de la misma manera, podemos definir a f X (x) como la antitransformada de Φ X (ω): Ejemplo: exponencial f X (x) = 1 2π Φ X (ω) e jωx dω. Sea X una variable aleatoria exponencial de parámetro λ. Por lo tanto, su f.d.p. es f X (x) = λe λx, con x. Calculamos su función característica según la definición: = λ λ jω λe λx e jωx dx = λe (λ jω)x dx [ e (λ jω)x ] = λ λ jω. 1

2 2. Variable Aleatoria Discreta Sea X una variable aleatoria discreta, se define a la función característica como E [ e jωx] = k p X (x k ) e jωx k. Generalmente, x k Z, por lo que la función característica adquiere la forma k= p X (k) e jωk, que se puede ver como la transformada discreta de Fourier de p X (k) con el signo invertido. Igual que en el caso anterior, podemos obtener p X (k) a partir de Φ X (ω) antitransformando: p X (k) = 1 2π Φ X (ω) e jωk dω. 2π Recordemos: La Transformada de Fourier de una variable discreta es una función periódica. Por esto, al antitransformar, sólo se necesita integrar un período [, 2π]. Ejemplo: Bernoulli Sea X una variable aleatoria Bernoulli de parámetro p, dicha variable tiene la siguiente distribución: 1 p x = p X (x) = p x = 1 otro x Calculamos la función característica usando la definición: x p X (x) e jωx = (1 p) + p e jω. 3. Propiedades Para los siguientes casos, suponemos que todas las variables aleatorias y constantes involucradas son reales. Φ X (ω = ) = 1 Φ X (ω) 1, ω R Φ X ( ω) = Φ X (ω), ω R Sean X y Y variables aleatorias independientes. Se define una nueva variable aleatoria Z = X + Y. En este caso, se puede demostrar que Φ Z (ω) = Φ X (ω)φ Y (ω). 2

3 Demostración. Φ Z (ω) = E [ e jωz] = E [ jω(x+y e )] = E [ e jωx e ] jωy = E [ e jωx] E [ e ] jωy = Φ X (ω)φ Y (ω) Sea X una variable aleatoria, y a y b dos constantes escalares. Se define una nueva variable aleatoria Y = ax + b. En este caso, se puede demostrar que Demostración. Φ Y (ω) = e jωb Φ X (ωa). Φ Y (ω) = E [ e jωy ] = E [ e jω(ax+b)] = E [ e jωax e jωb] = e jωb E [ e jωax] = e jωb Φ X (ωa) Ejemplo: binomial Sea X una variable aleatoria binomial de parámetro p, dicha variable tiene la siguiente función: ( ) n p n (x) = p x (1 p) n x. x Calcular la función característica utilizando la definición es bastante complicado así que nos valdremos de una de la propiedades antes explicadas. Una variable aleatoria binomial puede ser considerada como la suma de n variables aleatorias Bernoulli. Por lo que, Φ X1 + +X n (ω) = Φ X1 (ω) Φ Xn (ω) = [(1 p) + p e jω ] n. n veces (1 p)+p e jω 4. Teorema de Momentos La función característica de una variable aleatoria puede usarse para encontrar los momentos de dicha variable. Siempre y cuando exista el n-ésimo momento, la función característica podrá ser derivada n veces para hallarlo: E [X n ] = 1 d n j n dω Φ X(ω) n Demostración. En la definición de función característica, expandimos en serie e jωx alrededor del origen } f X (x) e jωx dx = f X (x) {1 + jωx + (jωx)2 + dx 2! ω= 3

4 Suponiendo que los momentos son finitos y que se puede integrar término a término la anterior sumatoria, obtenemos 1 + jωe[x] + (jω)2 E[X 2 ] 2! + + (jω)n E[X n ] n! Finalmente, derivando n veces y evaluando en ω = vemos que d n dω Φ X(ω) n = j n E[X n ] ω= + Ejercicio 1 Aplicando el método de la función característica, demostrar que 1. El valor medio y la varianza de la distribución binomial de parámetro p, p n (k) = ( n k) p k (1 p) n k valen, respectivamente, np y np(1 p). 2. El valor medio y la varianza de la distribución de Poisson de parámetro a, p(k) = a k e a /k! valen, en los dos casos, a. Ejercicio 2 La función característica de un vector aleatorio X = [X 1 X N ] T R N se define como E [ exp ( jω T X )], con ω R N. Demostrar las siguientes propiedades: 1. Φ Xi (ω i ) = Φ X (,,..., ω i,..., ) 2. Si Y = AX + b, con A R M N, e Y y b R M, entonces Φ Y (ν) = exp ( jν T b ) Φ X (A T ν), con ν R M. 3. Caso particular del anterior: si Y = a T X, con a R N, entonces Φ Y (ν) = Φ X (νa); y si las componentes X i de X son independientes, entonces Φ Y (ν) = N i=1 Φ X i (νa i ). Ejercicio 3 Demostrar que la función característica de una variable normal de media µ X y varianza σ 2 X es Φ X(ω) = exp ( jm X ω 1 2 σ2 X ω2). Ejercicio 4 Demostrar que la función característica de un vector aleatorio normal de media µ X y matriz de covarianza C X es exp ( jµ X T ω 1 2 ωt C X ω ). Referencias [1] Papoulis, Athanasios: Probability, Random Variables and Stochastic Processes, 3 ra edición. New York: McGraw-Hill, [2] Picinbono, Bernard: Random Signals and Systems. New Jersey: Prentice-Hall International,

5 [3] Proakis, John: Digital Communications, 4 ta edición. New York: McGraw-Hill, 2. [4] Wikipedia: Characteristic function (probability theory) Wikipedia, The Free Encyclopedia. (probability_theory) (consultado el 4 de agosto de 21). 5